直線(xiàn)的另一種設(shè)法（數(shù)學(xué)教學(xué)通訊）

1、直線(xiàn)的另一種設(shè)法摘要 在討論直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系時(shí)，常會(huì)設(shè)出直線(xiàn)的方程，而直線(xiàn)方程的設(shè)法通常采用點(diǎn)斜式（斜截式），本文介紹另一種直線(xiàn)的設(shè)法，并將兩種設(shè)法進(jìn)行比較。關(guān)鍵詞 直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn) 直線(xiàn)方程的設(shè)法 點(diǎn)斜式 在解析幾何里面經(jīng)常會(huì)碰到直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的題目，解決這類(lèi)問(wèn)題的基本方法是設(shè)出直線(xiàn)的方程，然后與圓錐曲線(xiàn)的方程聯(lián)立得出根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)的是一種“設(shè)而不求”的思想.在實(shí)際做題中設(shè)直線(xiàn)的方程我們通常采用斜截式，這種設(shè)法忽略了直線(xiàn)斜率不存在的情況，需要單獨(dú)討論.在這里我將介紹直線(xiàn)的另一種設(shè)法，并通過(guò)實(shí)例比較兩種設(shè)法的優(yōu)劣.例1.（09全國(guó)）已知橢圓：的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與相交

2、于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為.（）求的值；（）上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？若存在，求出所有的的坐標(biāo)與的方程；若不存在，說(shuō)明理由.解法1：（直線(xiàn)的設(shè)法采用）（）容易求得過(guò)程略.（）上存在點(diǎn)，使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立.由（）知的方程為設(shè)（）當(dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè)的方程為將代入并化簡(jiǎn)得于是進(jìn)而由題意：將帶入橢圓方程有：解得因此，當(dāng)時(shí)，的方程為當(dāng)時(shí)，的方程為（）當(dāng)垂直于軸時(shí)，由知，上不存在點(diǎn)使成立.綜上，上存在點(diǎn)使成立.此時(shí)的方程為解法2：（直線(xiàn)的設(shè)法采用）（）同上（）明顯，當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，不存在滿(mǎn)足題設(shè)條件的點(diǎn).故可設(shè)直線(xiàn)的方程為：，與聯(lián)立有：由題意：將帶入橢

3、圓方程有：可解得上存在點(diǎn)使成立.此時(shí)的方程為在此題第二問(wèn)中，很容易判斷當(dāng)直線(xiàn)斜率為0時(shí)不存在滿(mǎn)足題設(shè)條件的點(diǎn)，采用這種設(shè)法避免了分類(lèi)討論，聯(lián)立得到的方程也較為簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程，對(duì)于爭(zhēng)分奪秒的高考，無(wú)疑是一種可取的方法.下面這一些例題更突出了“”的優(yōu)越性.例2.過(guò)的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，求面積的最大值，以及取得最大值時(shí)的直線(xiàn)的方程.分析：通法是求出弦長(zhǎng)，以及邊上的高.解法1：（直線(xiàn)的設(shè)法采用）（1）若直線(xiàn)的斜率不存在，則為，容易求得;(2) 若直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)，為，與聯(lián)立得綜上可知當(dāng)為時(shí)，取得最大值，最大值為解法2：（直線(xiàn)的設(shè)法采用）設(shè)為，與聯(lián)立得 為，到的距離：（當(dāng)時(shí)取等號(hào)）此時(shí)的方程為：對(duì)比兩種解法直線(xiàn)方程采用的形式，不但避免了分類(lèi)討論，聯(lián)立所得方程簡(jiǎn)潔，在處理最值時(shí)也容易得多，降低了題目難度，簡(jiǎn)化了運(yùn)算量，大大提高了運(yùn)算速度. 適用于斜率存在的直線(xiàn)，適用于斜率不為0的直線(xiàn)，在解題中若能靈活選取直線(xiàn)的設(shè)法，可以避免分類(lèi)討論，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，降低題目難度.有興趣的讀者可以嘗試用上面兩種方法解決下面的問(wèn)題：1.設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，拋物線(xiàn)與過(guò)其焦點(diǎn)的直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，則的夾角