@好 全面 九年級數(shù)學(xué)_二次函數(shù)的實際應(yīng)用---最值問題

1、二次函數(shù)的實際應(yīng)用-最值問題再現(xiàn)及鞏固二次函數(shù)的一般式()化成頂點式，如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值）即當(dāng)時，函數(shù)有最小值，并且當(dāng)，；當(dāng)時，函數(shù)有最大值，并且當(dāng)，鞏固練習(xí)1. 求下列二次函數(shù)的最值：（1）求函數(shù)的最值（2）求函數(shù)的最值2. 某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：每漲價1元，每星期少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？附答案：鞏固練習(xí)：1（1）解析：解：當(dāng)時，有最小值，無最大值 （2）解：，對稱軸為當(dāng)2解：設(shè)漲價（或降價）為每件元，利潤為元，為漲價時的利

2、潤，為降價時的利潤則： 當(dāng)，即：定價為65元時，（元） 當(dāng)，即：定價為57.5元時，（元）綜合兩種情況，應(yīng)定價為65元時，利潤最大三、知識點梳理1二次函數(shù)在沒有范圍條件下的最值 二次函數(shù)的一般式()化成頂點式，如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值）即當(dāng)時，函數(shù)有最小值，并且當(dāng)，；當(dāng)時，函數(shù)有最大值，并且當(dāng)，2二次函數(shù)在有范圍條件下的最值如果自變量的取值范圍是，如果頂點在自變量的取值范圍內(nèi)，則當(dāng)，如果頂點不在此范圍內(nèi)，則需考慮函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)的增減性；如果在此范圍內(nèi)隨的增大而增大，則當(dāng)時，當(dāng)時，；如果在此范圍內(nèi)隨的增大而減小，則當(dāng)時，當(dāng)時，講練同步【例1】

3、某商店購進一批單價為20元的日用品，如果以單價30元銷售，那么半個月內(nèi)可以售出400件根據(jù)銷售經(jīng)驗，提高單價會導(dǎo)致銷售量的減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應(yīng)減少20件如何提高售價，才能在半個月內(nèi)獲得最大利潤？【同步練習(xí)】1. 某旅行社組團去外地旅游，30人起組團，每人單價800元旅行社對超過30人的團給予優(yōu)惠，即旅行團每增加一人，每人的單價就降低10元你能幫助分析一下，當(dāng)旅行團的人數(shù)是多少時，旅行社可以獲得最大營業(yè)額？【例2】某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(元)與產(chǎn)品的日銷售量(件)之間的關(guān)系如下表： 若日銷售量是銷售價的一次函數(shù)1 求出日銷售量(件)與銷售價(元)的函數(shù)關(guān)

4、系式；2 要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？x（元）152030y（件）252010【同步練習(xí)】2. 市“健益”超市購進一批20元/千克的綠色食品，如果以30元/千克銷售，那么每天可售出400千克由銷售經(jīng)驗知，每天銷售量(千克)與銷售單價(元)(）存在如下圖所示的一次函數(shù)關(guān)系式（1）試求出與的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)“健益”超市銷售該綠色食品每天獲得利潤P元，當(dāng)銷售單價為何值時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？（3）根據(jù)市場調(diào)查，該綠色食品每天可獲利潤不超過4480元，現(xiàn)該超市經(jīng)理要求每天利潤不得低于4180元，請你幫助該超市確定綠色食品銷售單價的

5、范圍(直接寫出答案) 同步練習(xí) 2圖【例3】有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養(yǎng)，最多只能存活兩天如果放養(yǎng)在塘內(nèi)，可以延長存活時間，但每天也有一定數(shù)量的蟹死去假設(shè)放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個體質(zhì)量基本保持不變，現(xiàn)有一經(jīng)銷商，按市場價收購這種活蟹1000 kg放養(yǎng)在塘內(nèi)，此時市場價為每千克30元，據(jù)測算，此后每千克活蟹的市場價每天可上升1元，但是，放養(yǎng)一天需支出各種費用為400元，且平均每天還有10 kg蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天全部銷售出，售價都是每千克20元(1)設(shè)x天后每千克活蟹的市場價為p元，寫出p關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果放養(yǎng)x天后將活蟹一次性出售，并記1000 kg蟹的銷售總額為Q元，寫出Q關(guān)于x的函

6、數(shù)關(guān)系式(3)該經(jīng)銷商將這批蟹放養(yǎng)多少天后出售，可獲最大利潤(利潤=Q收購總額)？【同步練習(xí)】3. 研究所對某種新型產(chǎn)品的產(chǎn)銷情況進行了研究，為投資商在甲、乙兩地生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品提供了如下成果：第一年的年產(chǎn)量為(噸)時，所需的全部費用(萬元）與滿足關(guān)系式，投入市場后當(dāng)年能全部售出，且在甲、乙兩地每噸的售價，（萬元）均與滿足一次函數(shù)關(guān)系（注：年利潤年銷售額全部費用）（1）成果表明，在甲地生產(chǎn)并銷售噸時，請你用含的代數(shù)式表示甲地當(dāng)年的年銷售額，并求年利潤（萬元）與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）成果表明，在乙地生產(chǎn)并銷售噸時，（為常數(shù)），且在乙地當(dāng)年的最大年利潤為35萬元試確定的值；（3）受資金、生產(chǎn)能力

7、等多種因素的影響，某投資商計劃第一年生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品18噸，根據(jù)（1），（2）中的結(jié)果，請你通過計算幫他決策，選擇在甲地還是乙地產(chǎn)銷才能獲得較大的年利潤？【例4】小明的家門前有一塊空地，空地外有一面長10米的圍墻，為了美化生活環(huán)境，小明的爸爸準(zhǔn)備靠墻修建一個矩形花圃，他買回了32米長的不銹鋼管準(zhǔn)備作為花圃的圍欄，為了澆花和賞花的方便，準(zhǔn)備在花圃的中間再圍出一條寬為一米的通道及在左右花圃各放一個1米寬的門（木質(zhì)）花圃的長與寬如何設(shè)計才能使花圃的面積最大？【同步練習(xí)】4. 已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1試在AB上求一點P，使矩形PNDM有最大面

8、積。【例5】某人定制了一批地磚，每塊地磚（如圖(1)所示）是邊長為0.4米的正方形ABCD，點E、F分別在邊BC和CD上，CFE、ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成CFE、ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格依次為30元、20元、10元，若將此種地磚按圖(2)所示的形式鋪設(shè)，且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH(1)判斷圖(2)中四邊形EFGH是何形狀，并說明理由；(2)E、F在什么位置時，定制這批地磚所需的材料費用最??？【同步練習(xí)】5. 如圖，要建一個長方形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，如果用50 m長的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養(yǎng)雞場，設(shè)它的長度為x米(1)要使雞場面積最

9、大，雞場的長度應(yīng)為多少m？(2)如果中間有n(n是大于1的整數(shù))道籬笆隔墻，要使雞場面積最大，雞場的長應(yīng)為多少米？比較(1)(2)的結(jié)果，你能得到什么結(jié)論？ 答案1. 解：設(shè)每件價格提高元，利潤為元，則： 當(dāng)，（元）答：價格提高5元，才能在半個月內(nèi)獲得最大利潤2. 解：（1）設(shè)一次函數(shù)表達式為則 解得，即一次函數(shù)表達式為（2） 設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為元，所獲銷售利潤為元 當(dāng)，（元）答：產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為25元時，每日獲得最大銷售利潤為225元3. 解：(1)由題意知：p=30+x,(2)由題意知：活蟹的銷售額為(100010x)(30+x)元,死蟹的銷售額為200x元.Q=(100010x)

10、(30+x)+200x=10x2+900x+30000.(3)設(shè)總利潤為W元則：W=Q1000×30400x=10x2+500x=10(x250x) =10(x25)2+6250.當(dāng)x=25時，總利潤最大，最大利潤為6250元答：這批蟹放養(yǎng)25天后出售，可獲最大利潤4. 解：設(shè)花圃的寬為米，面積為平方米則長為：(米)則： ，與的二次函數(shù)的頂點不在自變量的范圍內(nèi)，而當(dāng)內(nèi)，隨的增大而減小，當(dāng)時，(平方米)答：可設(shè)計成寬米，長10米的矩形花圃，這樣的花圃面積最大5. 解：(1) 四邊形EFGH是正方形圖(2)可以看作是由四塊圖(1)所示地磚繞C點按順(逆)時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到

11、的，故CE=CF =CGCEF是等腰直角三角形因此四邊形EFGH是正方形 (2)設(shè)CE=x, 則BE=0.4x，每塊地磚的費用為y元那么：y=x×30+×0.4×(0.4-x)×20+0.16-x-×0.4×(0.4-x)×10 當(dāng)x=0.1時，y有最小值，即費用為最省，此時CE=CF=0.1答：當(dāng)CE=CF=0.1米時，總費用最省同步練習(xí)答案1. 解：設(shè)旅行團有人，營業(yè)額為元，則： 當(dāng)，（元）答：當(dāng)旅行團的人數(shù)是55人時，旅行社可以獲得最大營業(yè)額2. 解：設(shè)y=kx+b由圖象可知，即一次函數(shù)表達式為(2) P有最大值當(dāng)時，

12、（元）（或通過配方，也可求得最大值）答：當(dāng)銷售單價為35元/千克時，每天可獲得最大利潤4500元(3) 31x34或36x393. 解：（1）甲地當(dāng)年的年銷售額為萬元；（2）在乙地區(qū)生產(chǎn)并銷售時，年利潤由，解得或經(jīng)檢驗，不合題意，舍去，（3）在乙地區(qū)生產(chǎn)并銷售時，年利潤，將代入上式，得（萬元）；將代入，得（萬元），應(yīng)選乙地4. 解：設(shè)矩形PNDM的邊DN=x，NP=y，則矩形PNDM的面積S=xy（2x4）易知CN=4-x，EM=4-y過點B作BHPN于點H則有AFBBHP，即，此二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為x=5，當(dāng)x5時，函數(shù)值隨的增大而增大，對于來說，當(dāng)x=4時，5. 解：(1)長為

13、x米，則寬為米，設(shè)面積為平方米當(dāng)時，(平方米)即：雞場的長度為25米時，面積最大(2) 中間有道籬笆，則寬為米，設(shè)面積為平方米則：當(dāng)時，(平方米)由(1)(2)可知，無論中間有幾道籬笆墻，要使面積最大，長都是25米即：使面積最大的值與中間有多少道隔墻無關(guān)作業(yè)1. 1 1.某人從地面垂直向上拋出一小球，小球的高度(單位：米)與小球運動時間(單位：秒)的函數(shù)關(guān)系那么小球運動中的最大高度_.2. 將一張邊長為30的正方形紙片的四角分別剪去一個邊長為的小正方形，然后折疊成一個無蓋的長方體當(dāng)取下面哪個數(shù)值時，長方體的體積最大. A7 B6 C5 D43. 蘭州市“安居工程”新建成的一批樓房都是8層高，房

14、子的價格y(元/平方米)隨樓層數(shù)x(樓)的變化而變化(x=1，2，3，4，5，6，7，8)；已知點(x，y)都在一個二次函數(shù)的圖像上，(如圖所示)，則6樓房子的價格為 元/平方米4. 如圖，鉛球運動員擲鉛球的高度(m)與水平距離(m)之間的函數(shù)關(guān)系式是：，則該運動員此次擲鉛球的成績是（ ） A6 m B12 m C8 m D10m5. 某幢建筑物，從10 m高的窗口A，用水管向外噴水，噴出的水流呈拋物線狀(拋物線所在的平面與墻面垂直，如圖所示，如果拋物線的最高點M離墻1 m，離地面m，則水流落地點B離墻的距離OB是( )A2 m B3 m C4 m D5 m 家庭作業(yè)4 圖 家庭作業(yè)5 圖6.

15、 某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻(墻長15m)的空地上修建一個矩形花園ABCD，花園的一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍成若設(shè)花園的寬為x(m) ，花園的面積為y(m²)(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出自變量的取值范圍；（2）根據(jù)（1）中求得的函數(shù)關(guān)系式，描述其圖象的變化趨勢；并結(jié)合題意判斷當(dāng)x取何值時，花園的面積最大，最大面積是多少？7. 如圖，矩形ABCD的邊AB=6 cm，BC=8cm，在BC上取一點P，在CD邊上取一點Q，使APQ成直角，設(shè)BP=x cm，CQ=y cm，試以x為自變量，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式8. 隨著綠城南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對花木的需求量逐年提

16、高某園林專業(yè)戶計劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，種植樹木的利潤與投資量成正比例關(guān)系，如圖12-所示；種植花卉的利潤與投資量成二次函數(shù)關(guān)系，如圖12-所示(注：利潤與投資量的單位：萬元)（1）分別求出利潤與關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲取的最大利潤是多少？9. 如圖，把一張長10cm，寬8cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子（紙板的厚度忽略不計）（1）要使長方體盒子的底面積為48cm2，那么剪去的正方形的邊長為多少？（2）你感到折合而成的長方體盒子的側(cè)面積會不會有更大的情況

17、？如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由；（3）如果把矩形硬紙板的四周分別剪去2個同樣大小的正方形和2個同樣形狀、同樣大小的矩形，然后折合成一個有蓋的長方體盒子，是否有側(cè)面積最大的情況；如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由10. 一座拱橋的輪廓是拋物線型(如圖16所示)，拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m（1）將拋物線放在所給的直角坐標(biāo)系中(如圖17所示)，求拋物線的解析式；（2）求支柱的長度；（3）拱橋下地平面是雙向行車道(正中間是一條寬2m的隔離帶)，其中的一條行車道能否并排行駛寬2m、高3m的三輛汽車(汽車間

18、的間隔忽略不計)？請說明你的理由答案1. 4.9米；2. 選C。3提示：利用對稱性，答案：20804.選D5.選B6. 解： 二次函數(shù)的頂點不在自變量的范圍內(nèi)，而當(dāng)內(nèi)，隨的增大而減小，當(dāng)時，(平方米)答：當(dāng)米時花園的面積最大，最大面積是187.5平方米7. 解：APQ=90°, APB+QPC=90°.APB+BAP=90°,QPC=BAP，B=C=90°.ABPPCQ.8. 解：（1）設(shè)=,由圖12-所示，函數(shù)=的圖像過（1，2），所以2=，故利潤關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是=；因為該拋物線的頂點是原點，所以設(shè)=，由圖12-所示，函數(shù)=的圖像過（2，2），所以， 故利潤關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是；（2）設(shè)這位專業(yè)戶投入種植花卉萬元（），則投入種植樹木()萬元，他獲得的利潤是萬元，根據(jù)題意，得=+=當(dāng)時，的最小值是14； 他至少獲得14萬元的利潤因為，所以在對稱軸的右側(cè)，隨的增大而增大所以，當(dāng)時，的最大值為329. 解：（1）設(shè)正方形的邊長為cm，則即解得（不合題意，舍去），剪去的正方形的邊長為1cm（2）有側(cè)面積最大的情況設(shè)正方形的邊長為cm，盒子的側(cè)面積為cm2，則與的函數(shù)關(guān)系式為：即改寫為當(dāng)時，即當(dāng)剪去的正方形的邊長為2.25cm時，長方體盒子的側(cè)面積最大為40.5cm2