第七章微分方程5,6,7,8節(jié)

1、v 一階微分方程內(nèi)容回顧：一階微分方程內(nèi)容回顧：1 1、可分離變量可分離變量方程方程 （主要步驟）（主要步驟）()f x dxg y dy （1 1）分離變量）分離變量: :（2 2）兩端積分）兩端積分: :()gyfxdxyd 2 2、齊次方程、齊次方程( )dyfdxyx（解題思路：通過解題思路：通過變量代換變量代換轉(zhuǎn)化成轉(zhuǎn)化成可分離可分離變量型變量型）,yux主要步驟：再分離變量21(1)2yxxy引例 ：求的通解2(d21)dyxxyx兩端積分兩端積分: :2dd2(1)yxxyx2lnln(1)ln,yxC22d(1)(1)xx2(1)yCx即通解為3、一階線性微分方程、一階線性微分

2、方程.（1） 一階一階齊次線性齊次線性方程方程. 0)( yxPdxdy齊次方程的通解為齊次方程的通解為( )P x dxyCe2、一階、一階非齊次線非齊次線性方程性方程( )(. )dyyxdxQPx非齊次線性方程的通解：非齊次線性方程的通解：)()( )P x dxP x dxyeQ x edxC ()( ).P x dxP x dxP x dxyeQ x edxCe 對應齊次對應齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解也可為也可為 教學內(nèi)容：教學內(nèi)容： 1 2 3 重點與難點重點與難點 )()(xfyn),(yxfy ),(yyfy ( )yf x 1cossinyxdxCx21

3、1(sin)cosyxC dxxCxC 例例1 求方程求方程 的通解的通解xycos 解解 因為因為 ，所以，所以xycos )()(xfyn例例2. .cos2xeyx 求解解解: 21cosxyex dxC 211sin2xexCxey241xey2811121CC此處xsin21xC23CC xxcos21CC x ：)()(xfyn令令,) 1( nyz)(ddnyxz則因此因此1d)(Cxxfz即即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(, )(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 ),(yxfy 例例3. 求解求解yxyx

4、 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 設,py 則代入方程得代入方程得pxpx2)1(2)1(d2d2xxxpp積分得積分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用利用, 31C得于是有于是有)1(32xy兩端再積分得兩端再積分得233Cxxy利用利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解為因此所求特解為),(yyfy 令令 ,yp ddpypx則ddddpyyxddppy例例4. 求解求解.02 yyy解解:( )y代入方程得代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即兩端積分得兩端積分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1故

5、所求通解為故所求通解為xCeCy12例例5. 解初值問題解初值問題解解: 令令02 yey,00 xy10 xy( ),dypdyxd,dpypy 則代入方程得代入方程得yeppydd2積分得積分得1221221Cepy利用初始條件利用初始條件, 0100 xyyp, 01C得根據(jù)根據(jù)yepxydd積分得積分得,2Cxey, 00 xy再由12C得故所求特解為故所求特解為xey1得得在實際解高階微分方程時，還可考慮一些在實際解高階微分方程時，還可考慮一些的技的技巧巧例例6. 求解求解210.yyy 解：解： 方程的左邊可寫成方程的左邊可寫成()xdxydy故得：故得：1yyxC分離變量后積分分

6、離變量后積分, 得原方程的通解得原方程的通解22122yC xxC)(. 1)(xfyn逐次積分),(. 2yxfy 令, )(xpy xpydd 則),(. 3yyfy 令, )(ypy yppydd 則1. 方程方程)(yfy 如何代換求解如何代換求解 ?答答: 令令)(xpy 或或)(ypy 一般說一般說, 用前者方便些用前者方便些. 均可均可. 有時用后者方便有時用后者方便 .例如例如,2)(yey 2. 解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題 ?答答: (1) 一般情況一般情況 , 邊解邊定常數(shù)計算簡便邊解邊定常數(shù)計算簡便.(2) 遇到開

7、平方時遇到開平方時, 要根據(jù)題意確定正負號要根據(jù)題意確定正負號.教學內(nèi)容：教學內(nèi)容： 1 2 3 重點與難點重點與難點 二階線性微分方程舉例二階線性微分方程舉例 當重力與彈性力抵消時當重力與彈性力抵消時, 物體處于物體處于 平衡狀態(tài)平衡狀態(tài), 例例1. 質(zhì)量為質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復運動力作用下作往復運動,xxo解解:阻力的大小與運動速度阻力的大小與運動速度下拉物體使它離開平衡位置后放開下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向若用手向物體在彈性力與阻物體在彈性力與阻取平衡時物體的位置為坐標原點取平衡時物體的位置為坐標原點,建立坐標

8、系如圖建立坐標系如圖. 設時刻設時刻 t 物位移為物位移為 x(t).(1) 自由振動情況自由振動情況.彈性恢復力彈性恢復力物體所受的力有物體所受的力有:(虎克定律虎克定律)xcf成正比成正比, 方向相反方向相反.建立位移滿足的微分方程建立位移滿足的微分方程.據(jù)牛頓第二定律得據(jù)牛頓第二定律得txxctxmdddd22,2mck,2mn令則得有阻尼則得有阻尼自由振動方程自由振動方程:0dd2dd222xktxntx阻力阻力txRdd(2) 強迫振動情況強迫振動情況. 若物體在運動過程中還受鉛直外力若物體在運動過程中還受鉛直外力作用，t pHFsin，令mhH則得則得強迫振動方程強迫振動方程:t

9、phxktxntxsindd2dd222求電容器兩兩極板間電壓求電容器兩兩極板間電壓 0ddiRCqtiLE例例2. 聯(lián)組成的電路聯(lián)組成的電路, 其中其中R , L , C 為常數(shù)為常數(shù) ,sintEEm所滿足的微分方程所滿足的微分方程 .cu提示提示: 設電路中電流為設電路中電流為 i(t), LERKCqqi上的電量為上的電量為 q(t) , 自感電動勢為自感電動勢為,LE由電學知由電學知,ddtqi ,CquCtiLELdd根據(jù)回路電壓定律根據(jù)回路電壓定律:設有一個電阻設有一個電阻 R , 自感自感L ,電容電容 C 和電源和電源 E 串串極板極板在閉合回路中在閉合回路中, 所有支路上的

10、電壓降為所有支路上的電壓降為 0LCLR1,20令tLCEututumCCCsindd2dd2022串聯(lián)電路的振蕩方程串聯(lián)電路的振蕩方程:如果電容器充電后撤去電源如果電容器充電后撤去電源 ( E = 0 ) , 則得則得0dd2dd2022CCCututuLERKCqqi22ddtuCLCtuCRCddCutEmsin化為關于化為關于cu的方程的方程:,ddtuCiC注意故有故有 的一般形式為的一般形式為方程的方程的共性共性 為為二階線性微分方程二階線性微分方程. , )()()(xfyxqyxpy 可歸結(jié)為可歸結(jié)為同一形式同一形式:)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynn

11、nn時時, 稱為稱為非齊次非齊次方程方程 ; 0)(xf時時, 稱為稱為齊次齊次方程方程.復習復習: 一階線性方程一階線性方程)()(xQyxPy通解通解:xexQexxPxxPd)(d)(d)(xxPeCyd)(非齊次方程特解非齊次方程特解齊次方程通解齊次方程通解Yy0)(xf )(11yCxP )(11yCxQ0證畢證畢)(),(21xyxy若函數(shù)是二階線性齊次方程是二階線性齊次方程0)()( yxQyxPy的兩個解的兩個解,也是該方程的解也是該方程的解.證證:)()(2211xyCxyCy將代入方程左邊代入方程左邊, 得得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxP

12、yC )()(2222yxQyxPyC )()(2211xyCxyCy則),(21為任意常數(shù)CC不一定不一定是所給二階方程的通解是所給二階方程的通解.例如例如,)(1xy是某二階齊次方程的解是某二階齊次方程的解,)(2)(12xyxy也是齊次方程的解也是齊次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解并不是通解但是但是)()(2211xyCxyCy則則為解決通解的判別問題為解決通解的判別問題, 下面引入函數(shù)的線性相關與下面引入函數(shù)的線性相關與 線性無關概念線性無關概念. 定義定義:)(,),(),(21xyxyxyn設是定義在區(qū)間是定義在區(qū)間 I 上的上的 n 個函

13、數(shù)個函數(shù),21nkkk使得使得1122( )( )( )0,nnk y xk yxk yxxI則稱這則稱這 n個函數(shù)在個函數(shù)在 I 上上, 否則稱為否則稱為例如，例如， ,sin,cos,122xx在在( , )上都有上都有221 cossin0 xx故它們在任何區(qū)間故它們在任何區(qū)間 I 上都上都線性相關線性相關;又如，又如，,12xx若在某區(qū)間若在某區(qū)間 I 上上21230,kk xk x則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點 ,321,kkk必需全為必需全為 0 ,可見可見2,1xx故在任何區(qū)間在任何區(qū)間 I 上都上都 線性無關線性無關.若存在若存在不全為不全為

14、0 的常數(shù)的常數(shù)兩個函數(shù)在區(qū)間兩個函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關與線性無關的上線性相關與線性無關的:)(),(21xyxy線性相關線性相關存在存在不全為不全為 0 的的21, kk使使1122( )( )0k y xk yx1221( )( )y xkyxk ( 無妨設無妨設)01k)(),(21xyxy線性無關線性無關)()(21xyxy常數(shù)常數(shù))(),(21xyxy若中有一個恒為中有一個恒為 0, 則則)(),(21xyxy必線性必線性)(),(21xyxy若是二階線性齊次方程的是二階線性齊次方程的兩個線兩個線性無關特解性無關特解, 則則)()(2211xyCxyCy數(shù)數(shù)) 是該方程的是該方程

15、的通解通解.例如例如, 方程方程0 yy有有特解特解,cos1xy ,sin2xy 且且常數(shù)常數(shù),故方程的故方程的通解通解為為xCxCysincos21(自證自證) nyyy,21若是是 n 階齊次方程階齊次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的的 n 個線性無關解個線性無關解, 則則方程的通解方程的通解為為)(11為任意常數(shù)knnCyCyCyxytan21y為任意常21,(CC)(* xy設是二階非齊次方程是二階非齊次方程的一個的一個特解特解, )(*)(xyxYy,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 則則是是非齊次方程的通解非齊次方程的通解 .證證:

16、將將)(*)(xyxYy代入方程左端代入方程左端, 得得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ)(*)(xyxYy故是非齊次方程的解是非齊次方程的解, 又又Y 中含有中含有兩個獨立任意常數(shù)兩個獨立任意常數(shù),例如例如, 方程方程xyy 有有xy *xCxCYsincos210 yy有有因此該因此該為為xxCxCysincos21證畢證畢因而因而 也是通解也是通解 .), ,2, 1()(nkxyk設分別是方程分別是方程的的,是方程是方程),2, 1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1則)()

17、()(1xfyxQyxPynkk 的的. 定理定理3, 定理定理4 均可推廣到均可推廣到 n 階線性非齊次方程階線性非齊次方程. )(,),(),(21xyxyxyn設是是 )(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn, 給定給定 n 階非齊次線性方程階非齊次線性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy則非齊次方程則非齊次方程的的為為常數(shù)常數(shù), 則該方程的通解是則該方程的通解是 ( ).321,yyy設線性無關函數(shù)設線性無關函數(shù)都是二階非齊次線都是二階非齊次線性方程性方程)()()(xfyxQyxPy 的解的解, 21,CC是任意是任意;)(

18、32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例3.提示提示:3231,yyyy都是對應齊次方程的解都是對應齊次方程的解,二者線性無關二者線性無關 . 3322311)()()(yyyCyyCC3322311)()()(yyyCyyCD例例4. 已知微分方程已知微分方程)()()(xfyxqyxpy 個解個解,2321xxeyeyxy求此方程滿足初始條件求此方程滿足初始條件3)0(, 1)0(yy的特解的特解 .解解:1312yyyy與是對應齊次方程的解是對應齊次方程的解, 且且xexeyy

19、yyxx21312常數(shù)常數(shù)因而因而, 故原方程通解為故原方程通解為)()(221xeCxeCyxxx代入初始條件代入初始條件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.22xxeey故所求特解為故所求特解為有三有三 基本思路基本思路: 求解求解常系數(shù)線性齊次微分方程常系數(shù)線性齊次微分方程 求求(代數(shù)方程代數(shù)方程)之根之根(疊加原理疊加原理) ),(21為任意常數(shù)CC1、 的解的性質(zhì)的解的性質(zhì)0ypyqy21,( )y xyx是是0ypyqy的兩個的的兩個的解解,若若也是該方程的也是該方程的解解.1212( )( )yCCyyxx則有則有2、 的的通解通解的結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)0yyypq則則)()

20、(2211xyCxyCy是該方程的是該方程的通解通解. .21,( )y xy x是是0ypyqy的兩個的兩個線性無關線性無關的的解解,若若),(21為任意常數(shù)CC3、如何求、如何求 的的通解？通解？0yyypqr xye( ),設有一設有一特解特解：)()(2211xyCxyCy通解通解結(jié)構(gòu)：結(jié)構(gòu)：),(21為任意常數(shù)CC21,( )y xy x其中其中 是兩個是兩個線性無關線性無關的的。代入原方程得代入原方程得2()0r xrprq e 20rprq其根稱為其根稱為.21,242ppqr故可根據(jù)特征根尋求線性無關的特解，進而得通解。故可根據(jù)特征根尋求線性無關的特解，進而得通解。),(0為常

21、數(shù)qpyqypy 結(jié)論結(jié)論:以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 . 1、求方程、求方程0 yay的通解的通解 .答案答案:0a通解為通解為xCCy21:0a通解為通解為xaCxaCysincos21:0a通解為通解為xaxaeCeCy21 2、求以、求以 為通解的微分方程為通解的微分方程 。 2312xxyC eC e答案答案:560yyy1( )( )xmeP xf x、型2 ( )cos( )sin( )xlneP xxfPxxx、型( )ypyf xqy),(為常數(shù)qp1) 線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) )(* xy設是二階非齊次

22、方程是二階非齊次方程的的, Y (x) 是是 ,定理定理 2.)()()(xfyxQyxPy (0( )yP x yQ x y( )*( )yYyxx則則是是 .證證: 將)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ)(xfyqypy ),(為常數(shù)qp二階常系數(shù)線性非齊次微分方程二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為其通解為Yy *y特解特解通解通解求求特解特解的方法的方法 待定系數(shù)法待定系數(shù)法1( )( )xmf xeP x、型2(

23、 ) ( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx、型1( )( )xmf xeP x、型( )ypyf xqy求特解的方法求特解的方法 待定系數(shù)法待定系數(shù)法*( )(0,1, 2)mkxyx Qx ek特解特解例例1.1332 xyyy求方程的一個特解的一個特解.解解: 本題本題而特征方程為而特征方程為,0322 rr不是特征方程的根不是特征方程的根 .設所求特解為設所求特解為,*10bxby代入方程代入方程 :13233010 xbbxb比較系數(shù)比較系數(shù), 得得330 b13210bb31,110bb于是所求特解為于是所求特解為.31*xy0,0例例2. xexyyy265 求方

24、程的的通解通解. 解解: 本題本題特征方程為特征方程為,0652 rr其根為其根為對應齊次方程的對應齊次方程的通解通解為為xxeCeCY3221設非齊次方程設非齊次方程特解特解為為xebxbxy210)(*比較系數(shù)比較系數(shù), 得得120 b0210bb1,2110bb因此特解為因此特解為.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得代入方程得xbbxb01022所求通解為所求通解為xxeCeCy3221.)(2221xexx ,2思考與練習思考與練習時可設特解為時可設特解為 xexf2)() 1當xexxf2)()2當xeby0*yxexbxbb)(2210)(xfyy 時可設特解為時可

25、設特解為 1 . (填空填空) 設設時可設特解為時可設特解為 xxf)()3 當xbby10*2 . 若微分方程變?yōu)槿粑⒎址匠套優(yōu)?如何設如何設 特解？特解？ )(xfyy 練習題：練習題：通解通解:1、求、求的的通解通解. 2、求、求2321yyyx223xyyye3122139xxC eC exy231215xxxC eC eey的的通解通解. 3、求、求233yyy3121xxCyeC e的的通解通解. 4、求、求23xyyye312()4xxxyC eCe的的通解通解. 通解通解:通解通解:通解通解:xxPxxPenlxsin)(cos)(對非齊次方程對非齊次方程yqypy ),(為常

26、數(shù)qpxRxRexymmxksincos*則可設特解則可設特解:其中其中 為特征方程的為特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), ilnm,max上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.2、型xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(例例3. xxyy2cos 求方程的一個特解的一個特解 .解解: 本題本題 特征方程特征方程, 2, 0故設特解為故設特解為xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根不是特征方程的根,ii2代入方程得代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl, 0

27、)(xPn比較系數(shù)比較系數(shù) , 得得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一個特解于是求得一個特解13 a043cb03 c043ad0 cb例例4. xxyy3sin303cos189 求方程的通解的通解. 解解: 特征方程為特征方程為, 092r其根為其根為對應齊次方程的通解為對應齊次方程的通解為xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比較系數(shù)比較系數(shù), 得得,5a,3b因此特解為因此特解為)3sin33cos5(*xxxyir32, 1代入方程代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解為所求通解為xCxCy3sin3cos21為特征方程的單

28、根為特征方程的單根 ,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此設非齊次方程特解為因此設非齊次方程特解為), ,2, 1()(nkxyk設分別是方程分別是方程的特解的特解,是方程是方程),2, 1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1則)()()(1xfyxQyxPynkk 的特解的特解. () 例例5：設：設 的特解形式的特解形式:2cos2xyyxxe2*()cos2()sin2xyaxbxcxdxke例例6.xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程特征方程, 01224rr, 0)1(22r即有二重根有二重根, ir所以設非齊次方程

29、特解為所以設非齊次方程特解為(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程特征方程, 024 rr0)1(22rr即有根有根irr4,32, 1, 0 xexyyxsin3)2()4( 利用疊加原理利用疊加原理 , 可設非齊次方程特解為可設非齊次方程特解為)(*2baxxyxce)sincos(xkxdx設下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式設下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)xmexPyqypy)(. 1 為特征方程的為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根重根,xmkexQxy)(*則設特解為則設特解為sin)(cos)(. 2xxPxxPeyqypynlx

30、為特征方程的為特征方程的 k (0, 1 )重根重根, ixkexy*則設特解為則設特解為sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3. 上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.),(yxfy ( )yf x ),(yyfy 對此類方程只需通過連續(xù)兩次積分就可得到通解對此類方程只需通過連續(xù)兩次積分就可得到通解設設( ),yp x ,py 則化為化為一階方程一階方程),(pxfp 令令( ),yp y ddpypy 則故方程化為故方程化為),(ddpyfypp4、二階常系數(shù)齊次線性微分方程、二階常系數(shù)齊次線性微分方程:),(0為常數(shù)qpyqypy ,02qrpr

31、特征方程特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 實根實根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特特 征征 根根通通 解解( )xmypyqyP xe),(為常數(shù)qp5、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :通解結(jié)構(gòu)為通解結(jié)構(gòu)為( )yY x*y非齊次方程特解非齊次方程特解齊次方程通解齊次方程通解( )(0,1, 2)*kxmx Qx eky特解特解xxPxxPenlxsin)(cos)(對非齊次方程對非齊次方程yqypy ),(為常數(shù)qpxRxRexymmxksincos*則可設特解則可設特解:其中其中

32、 為特征方程的為特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), ilnm,max上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.6、型xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(),(0為常數(shù)qpyqypy 特征方程特征方程：1. 當當042qp時時, 有有,21r ,r方程有兩個線性無關的特解方程有兩個線性無關的特解:,11xrey ,22xrey 因此方程的通解為因此方程的通解為xrxreCeCy2121則微分則微分r xye( ),特解特解：20rprq：21,242ppqr2. 當當042qp時時, 特征方程有兩個相等實根特征方程有兩個相等實根21rr 則微分

33、方程有則微分方程有21( )uyx y設另一特解設另一特解( u (x) 待定待定)代入方程得代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根是特征方程的重根0 u取取 u = x , 則得則得,12xrexy 因此原方程的通解為因此原方程的通解為xrexCCy1)(21,2p.11xrey 1( )r xu x e0)()2(1211 uqrprupru3. 當當042 qp時時, 特征方程有一對共軛復根特征方程有一對共軛復根irir21,這時原方程有兩個復數(shù)解這時原方程有兩個復數(shù)解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的疊加原理利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關特解得原方程的線性無關特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解為因此原方程的通解為)sincos(21xCxCeyx)(xQex )()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx1、 型)()(xPe