倒立擺實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、倒立擺實(shí)驗(yàn)報(bào)告 倒立擺實(shí)驗(yàn)報(bào)告 機(jī)自 82 組員：李宗澤 李航 劉凱 付榮 倒立擺與自動(dòng)控制原理實(shí)驗(yàn) 一. 實(shí)驗(yàn)?zāi)康茫?1、運(yùn)用經(jīng)典控制理論控制直線一級(jí)倒立擺，包括實(shí)際系統(tǒng)模型得建立、根軌跡分析與控制器設(shè)計(jì)、頻率響應(yīng)分析、pid 控制分析等內(nèi)容、 、運(yùn)用現(xiàn)代控制理論中得線性最優(yōu)控制lqr 方法實(shí)驗(yàn)控制倒立擺 3、學(xué)習(xí)運(yùn)用模糊控制理論控制倒立擺系統(tǒng) 4、學(xué)習(xí)matla工具軟件在控制工程中得應(yīng)用 、掌握對(duì)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行建模得方法,熟悉利用matb 對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行仿真,利用學(xué)習(xí)得控制理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器得設(shè)計(jì),并對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)際控制實(shí)驗(yàn),對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行觀察與分析，非常直觀得感受控制器得控制作用。 二、

2、實(shí)驗(yàn)設(shè)備 計(jì)算機(jī)及matab、c等相關(guān)軟件 固高倒立擺系統(tǒng)得軟件 固高一級(jí)直線倒立擺系統(tǒng),包括運(yùn)動(dòng)卡與倒立擺實(shí)物 倒立擺相關(guān)安裝工具 三 倒立擺系統(tǒng)介紹 倒立擺就是機(jī)器人技術(shù)、控制理論、計(jì)算機(jī)控制等多個(gè)領(lǐng)域、多種技術(shù)得有機(jī)結(jié)合,其被控系統(tǒng)本身又就是一個(gè)絕對(duì)不穩(wěn)定、高階次、多變量、強(qiáng)耦合得非線性系統(tǒng)，可以作為一個(gè)典型得控制對(duì)象對(duì)其進(jìn)行研究。倒立擺系統(tǒng)作為控制理論研究中得一種比較理想得實(shí)驗(yàn)手段，為自動(dòng)控制理論得教學(xué)、實(shí)驗(yàn)與科研構(gòu)建一個(gè)良好得實(shí)驗(yàn)平臺(tái),以用來檢驗(yàn)?zāi)撤N控制理論或方法得典型方案,促進(jìn)了控制系統(tǒng)新理論、新思想得發(fā)展。由于控制理論得廣泛應(yīng)用,由此系統(tǒng)研究產(chǎn)生得方法與技術(shù)將在半導(dǎo)體及精密儀器加

3、工、機(jī)器人控制技術(shù)、人工智能、導(dǎo)彈攔截控制系統(tǒng)、航空對(duì)接控制技術(shù)、火箭發(fā)射中得垂直度控制、衛(wèi)星飛行中得姿態(tài)控制與一般工業(yè)應(yīng)用等方面具有廣闊得利用開發(fā)前景 倒立擺已經(jīng)由原來得直線一級(jí)倒立擺擴(kuò)展出很多 種類,典型得有直線倒立擺環(huán)形倒立擺，平面倒立擺與復(fù)合倒立擺等，本次實(shí)驗(yàn)采用得就是直線一級(jí)倒立擺。 倒立擺得形式與結(jié)構(gòu)各異,但所有得倒立擺都具有以下得 特性: ） 非線性2） 不確定性3) 耦合性4) 開環(huán)不穩(wěn)定性5） 約束限制 倒立擺 控制器得設(shè)計(jì)就是倒立擺系統(tǒng)得核心內(nèi)容,因?yàn)榈沽[就是一個(gè)絕對(duì)不穩(wěn)定得系統(tǒng),為使其保持穩(wěn)定并且可以承受一定得干擾,需要給系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器，本小組采用得 控制方法有:id

4、控制、雙pi控制、r控制、模糊pi控制、純模糊控制 四.直線一級(jí)倒立擺得物理模型: 系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N:機(jī)理建模與實(shí)驗(yàn)建模。實(shí)驗(yàn)建模就就是通過在研究對(duì)象上加上一系列得研究者事先確定得輸入信號(hào),激勵(lì)研究對(duì)象并通過傳感器檢測(cè)其可觀測(cè)得輸出,應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)得輸入-輸出關(guān)系。機(jī)理建模就就是在了解研究對(duì)象得運(yùn)動(dòng)規(guī)律基礎(chǔ)上,通過物理、化學(xué)得知識(shí)與數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部得輸入-狀態(tài)關(guān)系。,由于倒立擺本身就是自不穩(wěn)定得系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建模存在一定得困難。但就是忽略掉一些次要得因素后,倒立擺系統(tǒng)就就是一個(gè)典型得運(yùn)動(dòng)得剛體系統(tǒng),可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)得動(dòng)力學(xué)方程。 下面我們采用 牛頓- -

5、 歐拉方 法建立直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)得數(shù)學(xué)模型： 在忽略了空氣阻力與各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車與勻質(zhì)桿組成得系統(tǒng),如圖所示: 我們不妨做以下假設(shè): m 小車質(zhì)量 m 擺桿質(zhì)量 b 小車摩擦系數(shù) l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心得長(zhǎng)度 i 擺桿慣量 f 加在小車上得力 x 小車位置 擺桿與垂直向上方向得夾角 擺桿與垂直向下方向得夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下) 圖就是系統(tǒng)中小車與擺桿得受力分析圖。其中，n 與p 為小車與擺桿相互作用 力得水平與垂直方向得分量。 注意：在實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中檢測(cè)與執(zhí)行裝置得正負(fù)方向已經(jīng)完全確定,因而 矢量方向定義如圖所示，圖示方向?yàn)槭噶空较颉?分析小

6、車水平方向所受得合力,可以得到以下方程: （3) 由擺桿水平方向得受力進(jìn)行分析可以得到下面等式: (-2) 即： (3-3) 把這個(gè)等式代入式（3)中，就得到系統(tǒng)得第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程: （3） 為了推出系統(tǒng)得第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程,我們對(duì)擺桿垂直方向上得合力進(jìn)行分析， 可以得到下面方程： (35) （3-6） 力矩平衡方程如下: (37) 注意:此方程中力矩得方向,由l,故等式前面有負(fù)號(hào)。 合并這兩個(gè)方程,約去p 與n,得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： (38) 設(shè)+（ 就是擺桿與垂直向上方向之間得夾角),假設(shè)與1(單位就是弧 度)相比很小，即,則可以進(jìn)行近似處理: 用u 來代表被控對(duì)象得輸入力f,線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方

7、程如下: （3-9) 對(duì)式(39）進(jìn)行拉普拉斯變換,得到 (310) 注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為0。 由于輸出為角度,求解方程組得第一個(gè)方程，可以得到: 或 如果令 則有: 把上式代入方程組得第二個(gè)方程,得到: 整理后得到傳遞函數(shù): 其中 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為： 方程組 對(duì), 解代數(shù)方程,得到解如下: 整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程: 由(3-9）得第一個(gè)方程為: 對(duì)于質(zhì)量均勻分布得擺桿有: 于就是可以得到： 化簡(jiǎn)得到： 設(shè) 則有： 另外，也可以利用alab 中f2s 命令對(duì)（-13)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,求得上述狀 態(tài)方程。 實(shí)際系統(tǒng)得模型參數(shù)如下: m 小車質(zhì)量 .09 kg m 擺桿質(zhì)量 0。

8、109 小車摩擦系數(shù) 0 、n/m/sec 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心得長(zhǎng)度 、2 5m i 擺桿慣量 0.034 k*m*m 把上述參數(shù)代入,可以得到系統(tǒng)得實(shí)際模型。 擺桿角度與小車位移得傳遞函數(shù)： 擺桿角度與小車加速度之間得傳遞函數(shù)為： 擺桿角度與小車所受外界作用力得傳遞函數(shù)： 以外界作用力作為輸入得系統(tǒng)狀態(tài)方程: 以小車加速度作為輸入得系統(tǒng)狀態(tài)方程： 注意事項(xiàng):在固高科技所有提供得控制器設(shè)計(jì)與程序中,采用得都就是以 小車得加速度作為系統(tǒng)得輸入,如果用戶需要采用力矩控制得方法,可以參考以 上把外界作用力作為輸入得各式. 五.系統(tǒng)得階越響應(yīng)分析 根據(jù)已經(jīng)得到系統(tǒng)得狀態(tài)方程,先對(duì)其進(jìn)行階躍響應(yīng)分析，

9、在atab 中 鍵入以下命令： clar； a= 0 1 0 0； 0 ;0 0 0 1;0 29、4 0; b= 0 1 0 ； = 1 0 0;0 1 0; d= 0 0 ; ste（a, b ,c ,d) 可以瞧出,在單位階躍響應(yīng)作用下,小車位置與擺桿角度都就是發(fā)散得. 六.頻率響應(yīng)分析(系統(tǒng)穩(wěn)定性分析) 前面我們已經(jīng)得到了直線一級(jí)倒立擺得物理模型，實(shí)際系統(tǒng)得開環(huán)傳遞函數(shù) 為: 其中輸入為小車得加速度v (s) ，輸出為擺桿得角度（s） . 在matlab 下繪制系統(tǒng)得bode 圖與奈奎斯特圖. 在malab 中鍵入以下命令: cle； nu=0、2725; den=0、01021 0

10、0、2605； z=ro（num）; p=rots(d)； subplt(,，1) bd（num,dn) subplot(2,1，2） nyuist(nu，d) 得到如下圖所示得結(jié)果: z = epy atr: 0by-1 p = 5、1136 、36 可以得到,系統(tǒng)沒有零點(diǎn),但存在兩個(gè)極點(diǎn)，其中一個(gè)極點(diǎn)位于右半s 平面， 根據(jù) 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定得充分必要條件就是:當(dāng) 從 到+ 變 化時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)g（ j ） 沿逆時(shí)針方向包圍1 點(diǎn)p 圈,其中p 為開環(huán)傳遞函數(shù) 在右半s 平面內(nèi)得極點(diǎn)數(shù)。對(duì)于直線一級(jí)倒立擺，由奈奎斯特圖我們可以瞧出，開 環(huán)傳遞函數(shù)在s 右半平面有一個(gè)極點(diǎn),因

11、此g（ ) 需要沿逆時(shí)針方向包圍1 點(diǎn)一圈?？梢郧瞥?，系統(tǒng)得奈奎斯特圖并沒有逆時(shí)針繞1 點(diǎn)一圈,因此系統(tǒng)不穩(wěn)定, 需要設(shè)計(jì)控制器來鎮(zhèn)定系統(tǒng)。 七具體控制方法 ( 一)雙 雙 pid 控制 直線一級(jí)倒立擺雙 pid 控制實(shí)驗(yàn) 。i 控制分析 經(jīng)典控制理論得研究對(duì)象主要就是單輸入單輸出得系統(tǒng)，控制器設(shè)計(jì)時(shí)一般需 要有關(guān)被控對(duì)象得較精確模型。d 控制器因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，容易調(diào)節(jié),且不需要 對(duì)系統(tǒng)建立精確得模型,在控制上應(yīng)用較廣。 對(duì)于倒立擺系統(tǒng)輸出量為擺桿得角度,它得平衡位置為垂直向上得情 況。系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)框圖如下： 2、雙 pid 實(shí)驗(yàn)控制參數(shù)設(shè)定及仿真。 在 slizng 建立直線一級(jí)倒立擺模型 上

12、下兩個(gè) pid 模塊。鼠標(biāo)右鍵,選擇 " lo uner mak'打開模型內(nèi)部結(jié)構(gòu)分別為: 雙擊第二個(gè)模塊打開參數(shù)設(shè)置窗口 令 kp=、k=0、k= 得到擺桿角度仿真結(jié)果 可瞧出控制曲線不收斂。因此增大控制量。令 kp-30、k=0、kd=、得到如下仿 真結(jié)果 從上面擺桿角度仿真結(jié)果可瞧出,穩(wěn)定比較好。但穩(wěn)定時(shí)間稍微有點(diǎn)長(zhǎng)。 雙擊第一個(gè)模塊打開參數(shù)設(shè)置窗 經(jīng)多次嘗試在此參數(shù)即 k7,ki0,p=-4、5 情況下效果最好。 得到以下仿真結(jié)果 黃線為小車位置輸出曲線,紅線為擺桿角度輸出曲線. 從圖中可以瞧出,系統(tǒng)可以比較好得穩(wěn)定。穩(wěn)定時(shí)間在3 秒之間。穩(wěn)定性不錯(cuò). 。雙 pid

13、控制實(shí)驗(yàn) 打開直線一級(jí)倒立擺爽 pid 實(shí)時(shí)控制模塊 雙擊oubp控制模塊進(jìn)入?yún)?shù)設(shè)置 把參數(shù)輸入 pid 控制器。編譯程序,使計(jì)算機(jī)同倒立擺連接。 運(yùn)行程序.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下圖所示 從圖中可以瞧出，倒立擺可以實(shí)現(xiàn)比較好得穩(wěn)定性。 （二) 線性最優(yōu)二次控制 lqr 線性二次最優(yōu)控制r 控制實(shí)驗(yàn) 1 線性二次最優(yōu)控制 lqr 基本原理及分析 線性二次最優(yōu)控制qr 基本原理為,由系統(tǒng)方程: 確定下列最佳控制向量得矩陣 k: u（）kx(t） 使得性能指標(biāo)達(dá)到最小值： 式中 q正定（或正半定)厄米特或?qū)崒?duì)稱陣 r為正定厄米特或?qū)崒?duì)稱陣 圖 3-54 最優(yōu)控制 lqr 控制原理圖 方程右端第二項(xiàng)就是考慮到

14、控制能量得損耗而引進(jìn)得,矩陣 q 與確定了誤差與能量損耗得相對(duì)重要性。并且假設(shè)控制向量 u(t）就是無約束得. 對(duì)線性系統(tǒng): 根據(jù)期望性能指標(biāo)選取 與 r,利用 mtlab 命令 lqr 就可以得到反饋矩陣 k 得值。 klqr(,b，q，r) 改變矩陣 q 得值,可以得到不同得響應(yīng)效果，q 得值越大(在一定得范圍之內(nèi)）,系統(tǒng)抵抗干擾得能力越強(qiáng),調(diào)整時(shí)間越短。但就是 不能過大 2、 lqr 控制參數(shù)調(diào)節(jié)及仿真 前面我們已經(jīng)得到了直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)得比較精確得動(dòng)力學(xué)模型,下面我們針對(duì)直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)應(yīng)用 lqr 法設(shè)計(jì)與調(diào)節(jié)控制器,控制擺桿保持豎直向上平衡得同時(shí),跟蹤小車得位置。 前面我們已

15、經(jīng)得到了直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)得系統(tǒng)狀態(tài)方程: 應(yīng) 用 線 性 反 饋 控 制 器 , 控 制 系 統(tǒng) 結(jié) 構(gòu) 如 下 圖 。 圖 中 r 就是施加在小車上得階躍輸入，四個(gè)狀態(tài)量 x,x，,分別代表小車位移、小車速度、擺桿角度與擺桿角速度,輸出 y = x, 包括小車位置與擺桿角度。設(shè)計(jì)控制器使得當(dāng)給系統(tǒng)施加一個(gè)階躍輸入時(shí),擺桿會(huì)擺動(dòng),然后仍然回到垂直位置,小車可以到達(dá)新得指定位置. 假設(shè)全狀態(tài)反饋可以實(shí)現(xiàn)(四個(gè)狀態(tài)量都可測(cè)），找出確定反饋控制規(guī)律得向量 .在 mta 中得到最優(yōu)控制器對(duì)應(yīng)得k 。lqr 函數(shù)允許您選擇兩個(gè)參數(shù) 與 q，這兩個(gè)參數(shù)用來平衡輸入量與狀態(tài)量得權(quán)重。最簡(jiǎn)單得情況就是假設(shè)

16、r = 1,q =c *c .當(dāng)然,也可以通過改變 q 矩陣中得非零元素來調(diào)節(jié)控制器以得到期望得響應(yīng). 其中, q1,1 代表小車位置得權(quán)重,而 q3,3 就是擺桿角度得權(quán)重，輸入得權(quán)重 r 就是 。 下面來求矩陣 k，atlab 語(yǔ)句為 k lqr(,，q，r） 。下面在 malb 中編程計(jì)算: a=0 1 0 ; 0 ;0 0 0 1; 0 0 9、4 ； b= 1 0 ; = 0 ; 0 1 0； d= 0"； q1=150;q33=300； q1 0 0 0; 0 0; q33 0； 0 0 0 0； r=1; k=qr(,q，); =(ab*k)；bc=b；cc=c;dc=

17、d； t=0：0、005:； u0、nes（e（t); c1 0 0 0; bar=rcale（a,b,n,0,k）;bnnbr*b； y，x=lsim(a，bc,cc,u,t）; plot(t，x(:,1）,");hold on; plo（t，x(：,2),"）;hod on； ot(t,x（：,3),"、"）；hold n; plot（,(：,4),"-)； leged("crtps","cats,penang,"pedsd) 令 q1，1 ,q3, 1 求得 k 1 1、755 5、422 4、68

18、4 在 simlin 中建立直線一級(jí)倒立擺得模型如下圖所示： "lq ntrole'為一封裝好得模塊，在其上單擊鼠標(biāo)右鍵,選擇"loo ndr mask打開 lq contoller 結(jié)構(gòu)如下： 雙擊"rix gin k'即可輸入控制參數(shù)： 點(diǎn)擊 執(zhí)行仿真,得到如下仿真結(jié)果： lqr 控制得階躍響應(yīng)如上圖所示,從圖中可以瞧出,閉環(huán)控制系統(tǒng)響應(yīng)得超調(diào)量很小,但穩(wěn)定時(shí)間與上升時(shí)間偏大，我們可以通過增大控制量來縮短穩(wěn)定時(shí)間與上升時(shí)間。 可以發(fā)現(xiàn)，q 矩陣中，增加 q11 使穩(wěn)定時(shí)間與上升時(shí)間變短，并且使擺桿得角度變化減小.經(jīng)過多次嘗試,這里取 q1，50

19、0, 3,3 =00, 則 k = -3、798 -23、8255 81、618 14、7098 輸入?yún)?shù),運(yùn)行得到響應(yīng)曲線如下： 從圖中可以瞧出,系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間有明顯得改善,增大1,1 與,3 ,系統(tǒng)得響應(yīng)還會(huì)更快，但就是對(duì)于實(shí)際離散控制系統(tǒng),過大得控制量會(huì)引起系統(tǒng)振蕩. 、直線一級(jí)倒立擺qr 控制實(shí)驗(yàn) 打開直線一級(jí)倒立擺 lr 實(shí)時(shí)控制模塊 其中"lq cnollr'為 lqr 控制器模塊,"rea cotol'為實(shí)時(shí)控制模塊,雙擊"lq croller'模塊打開 lqr 控制器參數(shù)設(shè)置窗口如下: 在"lr ole'模塊

20、上點(diǎn)擊鼠標(biāo)右鍵選擇"lok unde mas打開模 型如下： 雙擊"r contol模塊打開實(shí)時(shí)控制模塊如下圖: 其中"pnulum'模塊為倒立擺系統(tǒng)輸入輸出模塊,輸入為小車得速度"vel '與"acc ',輸出為小車得位置"pos'與擺桿得角度"angle '。 雙擊"eulu模塊打開其內(nèi)部結(jié)構(gòu): 其中"et carts c and vel模塊得作用就是設(shè)置小車運(yùn)動(dòng)得速度與加速度， gt rs sition模塊得作用就是讀取小車當(dāng)前得實(shí)際位置,"e pe

21、nds ngle 得作用就是讀取擺桿當(dāng)前得實(shí)際角度. 2) 運(yùn)行程序， 實(shí)驗(yàn)運(yùn)行結(jié)果如下圖所示: 其中圖片上半部分為小車得位置曲線，下半部分為擺桿角度得變化曲線，從圖中可以瞧出,小車位置與擺桿角度比較穩(wěn)定?？刂菩Ч芎?。 在此實(shí)驗(yàn)中,r 值固定，r=1,則只調(diào)節(jié) q 值，1 代表小車位置得權(quán)重,而 q33 就是擺桿角度得權(quán)重,若3增加，使得得變化幅度減小,而位移得響應(yīng)速度變慢;若11 增加，使得 r 得跟蹤速度變快，而得變化幅度增大.當(dāng)給系統(tǒng)施加一個(gè)階躍輸入后，得到系統(tǒng)得響應(yīng)結(jié)果。從響應(yīng)曲線可明顯瞧出就是否滿足系統(tǒng)所要達(dá)到得性能指標(biāo)要求。通過這樣反復(fù)不斷得試湊,選取能夠滿足系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能要求得

22、q 與 r。 （ 三) 直線二級(jí)倒立擺 直線兩級(jí)倒立擺由直線運(yùn)動(dòng)模塊與兩級(jí)倒立擺組件組成. 6、1 系統(tǒng)物理模型 為簡(jiǎn)化系統(tǒng)，我們?cè)诮r(shí)忽略了空氣阻力與各種摩擦，并認(rèn)為擺桿為剛體。 二級(jí)倒立擺得組成如圖 61 所示: 圖 61 直線兩級(jí)倒立擺物理模型 倒立擺參數(shù)定義如下： m 小車質(zhì)量 m1 擺桿 得質(zhì)量 m2 擺桿 2 得質(zhì)量 3 質(zhì)量塊得質(zhì)量 l1 擺桿 1 中心到轉(zhuǎn)動(dòng)中心得距離 l2 擺桿 2 中心到轉(zhuǎn)動(dòng)中心得距離 1 擺桿 1 與豎直方向得夾角 擺桿 2 與豎直方向得夾角 作用在系統(tǒng)上得外力 利用拉格朗日方程推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程： 拉格朗日方程為: l(q，q）=（q,）v(q,） 其中

23、l 為拉格朗日算子,q 為系統(tǒng)得廣義坐標(biāo),t 為系統(tǒng)得動(dòng)能, 為系統(tǒng)得勢(shì)能。 其中 =1，2,3n，f i 為系統(tǒng)在第 i 個(gè)廣義坐標(biāo)上得外力,在二級(jí)倒立擺系統(tǒng)中,系統(tǒng)得廣義坐標(biāo)有三個(gè)廣義坐標(biāo),分別為 x,1，2 。 首先計(jì)算系統(tǒng)得動(dòng)能: 其中 tm,1,t2，tm分別為小車得動(dòng)能，擺桿 得動(dòng)能，擺桿 2 得動(dòng)能與質(zhì)量塊得動(dòng)能。 小車得動(dòng)能： tm1 = tm1" tm 其中 tm1" ，tm2 分別為擺桿 1 得平動(dòng)動(dòng)能與轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。 2 = tm2 " +tm 其中 tm2 " ,tm2 分別為擺桿 2 得平動(dòng)動(dòng)能與轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能. 對(duì)于系統(tǒng)，設(shè)以下變量:

24、xend1 擺桿 質(zhì)心橫坐標(biāo); yangle1 擺桿 1 質(zhì)心縱坐標(biāo); xpend2 擺桿 2 質(zhì)心橫坐標(biāo)； yangl2 擺桿 2 質(zhì)心縱坐標(biāo); xma 質(zhì)量塊質(zhì)心橫坐標(biāo); ymass 質(zhì)量塊質(zhì)心縱坐標(biāo); 又有： 由于系統(tǒng)在1,2 廣義坐標(biāo)下沒有外力作用，所以有： 在aemaic中計(jì)算以上各式。 因其余各項(xiàng)為 0，所以這里僅列舉了 k12、k13、k22、k23、27 等 7 項(xiàng),得到結(jié)果如下： 、 系統(tǒng)可控性分析 系統(tǒng)狀態(tài)矩陣 a,，,d 如下: 利用 mlab 計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)可控性矩陣與輸出可控性矩陣得秩： 得到結(jié)果如下: 或就是通過 mtlab 命令 ctrb 與 obsv 直接得到系統(tǒng)

25、得可控性與可觀測(cè)性。 運(yùn)行得到: 可以得到,系統(tǒng)狀態(tài)與輸出都可控，且系統(tǒng)具有可觀測(cè)性. 6、3 直線兩級(jí)倒立擺al 仿真 在 malab simlink 中建立直線兩級(jí)倒立擺得模型: 其中"tespae'模塊為直線兩級(jí)倒立擺得狀態(tài)方程,雙擊模塊打開模型: "contrlle'模塊為控制器模塊,在"cotroller'模塊上單擊鼠標(biāo)右鍵，選擇 " look under mask'打開模型內(nèi)部結(jié)構(gòu)： 其中"arx gin k'為反饋矩陣。 雙擊"ontroler模塊打開其參數(shù)設(shè)置窗口: 先設(shè)置參數(shù)為

26、"1。 "isturbane'模塊為外界干擾模塊，其作用就是給系統(tǒng)施加一個(gè)階躍信號(hào)，點(diǎn)擊 " '運(yùn)行模型進(jìn)行開環(huán)系統(tǒng)仿真. 得到運(yùn)行結(jié)果如下: 從仿真結(jié)果可以瞧出,系統(tǒng)發(fā)散,為使系統(tǒng)穩(wěn)定,需要對(duì)其添加控制器。 6、 q 控制器設(shè)計(jì)及仿真 給系統(tǒng)添加 lr 控制器,添加控制器后得系統(tǒng)閉環(huán)圖如下圖所示 : 下面利用線性二次最優(yōu)控制 lr 方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器得設(shè)計(jì) cear;clc;=2k;4、6=7k；6、1-=31k；6、681k0、31;3=39、45；k2=-0、088; a= 0 0 0 0 0；0 0 0 1 0；0 0 1; 0 0 0

27、0; k12 13 0 0 0 ； k22 k23 0 0 0；;"7k k 0 0 =b = 0 0 0 0 ； 1 0 0 0 0;0 0 0 0 ； ;0 ;0 ;0=d 1= ； 1;q3 =1; q1 0 0 0 0;0 q22 0 0 0 0；0 0 q33 0 0 0；0 0 0 0 0; 0 0 0 ；0 0 0 0 0 0; r=; ;k*b=aa)r，q,b,(rql=k =b*k（)； ;)，c,b,aa(ss=st=0:0、：5; y，,=sep(ys,）; plot(t,y(:，1)，g,t,y（:,2)，r",t,y（：,3);o dir 運(yùn)行得

28、到以下結(jié)果: lr 控制參數(shù)為： k= 7、8 83、4 、016 4、291 -3、036 得到仿真結(jié)果如下： 可以瞧出,系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間過長(zhǎng)，因此增加權(quán)重 q 得值。 設(shè) q11=00;500；q33=50； 運(yùn)行得到仿真結(jié)果： r 控制參數(shù)為： k= 17、32 11、7 -17、5 18、46 2、706 、142 從圖中可以瞧出,系統(tǒng)可以很好得穩(wěn)定,在給定倒立擺干擾后,系統(tǒng)在 2、5 秒內(nèi)可以恢復(fù)到平衡點(diǎn)附近。 把以上仿真參數(shù)輸入 smulnk 模型中 得到運(yùn)行結(jié)果 從圖中可知，系統(tǒng)穩(wěn)定性還不錯(cuò)。 但這未必就是最好得參數(shù)。所以,下面改變 lr 參數(shù)，比較結(jié)果變化。 確定最合適參數(shù)。 、

29、設(shè) q=000;q22=50;q=5; 運(yùn)行得到仿真結(jié)果: lqr 控制參數(shù)為： 31、628 116、7093 28、74 29、141 1、2221 -39、3596 可瞧出位置在 2 秒左右就可恢復(fù)到平衡點(diǎn)位置。而角度依然就是在 2、5 秒內(nèi)恢復(fù)到平衡位置. 2、設(shè) q1=150；q2=00；q3=0； 運(yùn)行得到仿真結(jié)果: lqr 控制參數(shù)為： k 38、798 11、283 257、0671 3、161 0、5092 2 、 166 可瞧出位置在、2、秒內(nèi)就可恢復(fù)到平衡點(diǎn)位置而角度依然就是在 2、5 秒內(nèi)恢復(fù)到平衡位置。 3、 設(shè)11150;22=500;33=0； 運(yùn)行得到仿真結(jié)果:

30、 lr 控制參數(shù)為: k = 44、1 121、183 22、5934 3、356 0、0849 45、41 可瞧出位置依然在 1、秒就可恢復(fù)到平衡點(diǎn)位置。而角度依然就是在 2、5 秒內(nèi)恢復(fù)到平衡位置. 4、設(shè) q1=1500；q22=1000;q33=100; 運(yùn)行得到仿真結(jié)果: q 控制參數(shù)為: = 8、7298 129、4996 -81、18 5、738 0、421 4、505 可瞧出位置在 1、5、內(nèi)就可恢復(fù)到平衡點(diǎn)位置。而角度就是在 2、5 秒內(nèi)恢復(fù)到平衡位置. 5、設(shè) q1=500;q22=100;q33=10; 運(yùn)行得到仿真結(jié)果: lqr 控制參數(shù)為： 3、2 10、6175 -

31、3、1487 3、4616 0、5479 -38、17 可瞧出位置在 1、內(nèi)就可恢復(fù)到平衡點(diǎn)位置而角度就是在 2 秒內(nèi)恢復(fù)到平衡位置. 通過對(duì)比,第 5 個(gè)參數(shù)最合適。 lqr 控制參數(shù)為: k = 38、7298 08、617 -32、1487 32、616 0、4 -38、70 把其輸入到imunk 模型中。 得到運(yùn)行結(jié)果。 此結(jié)果最好,系統(tǒng)不僅可以很好得穩(wěn)定,而且在給定倒立擺干擾后,系統(tǒng)可在 2 秒內(nèi)恢復(fù)到平衡點(diǎn)附近. 八. 個(gè)人小結(jié)。 倒立擺實(shí)驗(yàn)個(gè)人小結(jié) 李航 0801041 大三上學(xué)期得第一次機(jī)械工程實(shí)驗(yàn)，我們接觸與學(xué)習(xí)了減速器,維持一個(gè)學(xué)期得實(shí)驗(yàn),我們從結(jié)構(gòu),運(yùn)動(dòng)等方面，對(duì)機(jī)械有了

32、更深得認(rèn)識(shí),而這個(gè)學(xué)期,我們要更進(jìn)一步，從機(jī)械控制理論,來讓自己對(duì)機(jī)械得理解，有一個(gè)新得高度。 我們接觸得倒立擺就是機(jī)器人技術(shù)、控制理論、計(jì)算機(jī)控制等多個(gè)領(lǐng)域、多種技術(shù)得有機(jī)結(jié)合，其被控系統(tǒng)本身又就是一個(gè)絕對(duì)不穩(wěn)定、高階次、多變量、強(qiáng)耦合得非線性系統(tǒng)，可以作為一個(gè)典型得控制對(duì)象對(duì)其進(jìn)行研究。 倒立擺數(shù)學(xué)模型: 通過對(duì)倒立擺系統(tǒng)得物理模型與實(shí)際模型得認(rèn)知,以及對(duì)該系統(tǒng)得階躍響應(yīng)，可控性分析與頻率響應(yīng)分析,我們可以知道倒立擺系統(tǒng)就是不穩(wěn)定得,可控得,所以就有了我們得課題：具體得控制方法。 在前半個(gè)學(xué)期,我們學(xué)習(xí)了機(jī)械控制理論,了解了伯德圖與奈奎斯特圖,而在大一得高數(shù)學(xué)習(xí)中,我們初步學(xué)習(xí)了mta,通

33、過在圖書館以及網(wǎng)上查找資料，我們學(xué)習(xí)了siulin仿真,為這次實(shí)驗(yàn)打下了一定得基礎(chǔ)。 對(duì)于一級(jí)倒立擺線性系統(tǒng)，我們實(shí)驗(yàn)了兩種控制方法：分別就是雙pid控制與lqr控制。 常規(guī)得p控制,就是最早得也就是最經(jīng)典得一種控制方式,由于其算法簡(jiǎn)單、魯棒性好、可靠性高,因而至今仍廣泛應(yīng)用于工業(yè)過程控制中。它有三個(gè)控制環(huán)節(jié),分別就是比例、積分與微分，實(shí)驗(yàn)中使用得控制器得傳遞函數(shù)就是 其中p、k分別為比例系數(shù)、積分系數(shù)與微分系數(shù)。各個(gè)系數(shù)功能如下: 1、 比例系數(shù)kp增大,閉環(huán)系統(tǒng)得靈敏度增加,穩(wěn)態(tài)誤差減小,系統(tǒng)振蕩增強(qiáng);比例系數(shù)超過某個(gè)值時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)可能變得不穩(wěn)定。 2、 積分系數(shù)ki增大,可以提高系統(tǒng)得型

34、別,使系統(tǒng)由有差變?yōu)闊o差；積分作用太強(qiáng)會(huì)導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 3、 微分系數(shù)kd增大,預(yù)測(cè)系統(tǒng)變化趨勢(shì)得作用增強(qiáng)，會(huì)使系統(tǒng)得超調(diào)量減小,響應(yīng)時(shí)間變快. 但就是上述得各個(gè)參數(shù)在調(diào)節(jié)過程中并不就是相互獨(dú)立得,而就是會(huì)相互影響。id控制得快速性較差,而且只能對(duì)擺角進(jìn)行控制,無法控制位移。 雙pd控制,則解決了傳統(tǒng)得d控制只能控制擺角得缺陷,但就是對(duì)于雙d控制，如何使擺角角度與小車位置達(dá)到協(xié)調(diào)，使系統(tǒng)響應(yīng)收斂,就是個(gè)難題,而且pd控制就是單控制量,外部擾動(dòng)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果得影響會(huì)比較大,所以我們學(xué)習(xí)了線性二次型控制,也就就是lqr控制。 lqr控制就是通過最小化性能指標(biāo),得到系統(tǒng)得控制量u=-kx,其中q，

35、分別就是狀態(tài)變量與輸入向量得加權(quán)矩陣,就是狀態(tài)量，就是控制量，k就是狀態(tài)矩陣.根據(jù)期望性能指標(biāo)選取與r,利用matlab 命令qr 就可以得到反饋矩陣k 得值。=lqr( ，q,r） 改變矩陣q 得值，可以得到不同得響應(yīng)效果, 得值越大(在一定得范圍之內(nèi)），系統(tǒng)抵抗干擾得能力越強(qiáng),調(diào)整時(shí)間越短。利用tlab自帶得函數(shù),可以很快算出反饋矩陣各參數(shù)得值. 通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)lqr控制作為多變量得控制,穩(wěn)定性，快速性與抗 干擾性都很好,r控制可得到狀態(tài)線性反饋得最優(yōu)控制規(guī)律 ,易于構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制就是現(xiàn)代控制理論中發(fā)展最早也最為成熟得一種狀態(tài)空間設(shè)計(jì)法。 實(shí)驗(yàn)心得: 比較這三種控制方法，經(jīng)典pi

36、d控制方法得效果就是最不理想得，因?yàn)閜d這類單輸入輸出得線性控制器,對(duì)于倒立擺這種非線性,很不穩(wěn)定得系統(tǒng)，雖然能使其穩(wěn)定,但就是快速性與抗干擾性都很差,相比較而言，lr得效果就要好很多。 這次得倒立擺實(shí)驗(yàn),可以說就是我做過得最難得一個(gè)實(shí)驗(yàn)了,不僅涉及面十分廣,而且涉及得知識(shí)也都很難。通過這次實(shí)驗(yàn)，我們對(duì)機(jī)械控制理論有了更深一步得了解,也把書上學(xué)得知識(shí),應(yīng)用到了實(shí)際中 在實(shí)驗(yàn)過程中,我們認(rèn)識(shí)了倒立擺這個(gè)經(jīng)典得控制系統(tǒng)，也接觸了pid與lqr等多種控制方法,讓我們對(duì)機(jī)械,這個(gè)詞得概念,也更加深入得有了自己得理解。 而且作為一個(gè)分組實(shí)驗(yàn),我充分感受到了團(tuán)隊(duì)力量得強(qiáng)大,也體會(huì)到了克服困難得艱辛,學(xué)會(huì)了

37、用多種得途徑去解決難題。通過預(yù)習(xí),借閱書籍，上網(wǎng)等多種途徑，也為將來得學(xué)習(xí)打下良好得基礎(chǔ)。 而且通過這個(gè)控制領(lǐng)域得經(jīng)典基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn),為將來考研以及科研都就是很有幫助得。 同時(shí)要感謝同學(xué)與老師對(duì)自己得幫助，讓自己能順利得完成這次實(shí)驗(yàn). 但就是在實(shí)驗(yàn)中，我個(gè)人也有一些建議。首先這個(gè)實(shí)驗(yàn)得基礎(chǔ)就是機(jī)械控制理論基礎(chǔ)這門課，但就是這么課我們?cè)趯?shí)驗(yàn)開始得時(shí)候壓根就沒學(xué)，所以前幾周只能靠自學(xué)或者毫無進(jìn)展，但就是自學(xué)不能保證效率,所以實(shí)驗(yàn)得時(shí)間安排感覺不就是很好。 倒立擺實(shí)驗(yàn)小結(jié) 李宗澤 我就是這次倒立擺實(shí)驗(yàn)我們小組得組長(zhǎng),由于分組得關(guān)系，我們組得組員平時(shí)成績(jī)都不就是特別理想,但就是從一開始，我們就有信心能把這次

38、實(shí)驗(yàn)完成。 這次實(shí)驗(yàn)要求我們運(yùn)用經(jīng)典控制理論控制直線一級(jí)倒立擺,包括實(shí)際系統(tǒng)模型得建立、控制器設(shè)計(jì)、頻率響應(yīng)分析、id 控制分析等內(nèi)容。運(yùn)用現(xiàn)代控制理論中得線性最優(yōu)控制qr 方法實(shí)驗(yàn)控制倒立擺.并且能熟練得運(yùn)用matlab解決實(shí)際問題，了解imulk仿真。 倒立擺就是一種典型得快速、多變量、非線性、絕對(duì)不穩(wěn)定、非最小相位系統(tǒng).就是進(jìn)行控制理論研究得典型實(shí)驗(yàn)平臺(tái),倒立擺實(shí)驗(yàn)就是運(yùn)用古典控制理論，結(jié)合現(xiàn)代應(yīng)用軟件malab里得imlk對(duì)其進(jìn)行仿真,最后在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中對(duì)擺桿進(jìn)行快速性,準(zhǔn)確性與穩(wěn)定性控制，達(dá)到理想得效果。因此,研究倒立擺具有重要得理論與實(shí)踐意義。 實(shí)驗(yàn)得初期，也就就是前幾周，我們主要先

39、大致預(yù)習(xí)了控制理論里得頻率響應(yīng)與時(shí)域響應(yīng)得內(nèi)容,了解了伯德圖與奈奎斯特圖得含義。并且到圖書館里借閱了相關(guān)書籍，到網(wǎng)上查找有關(guān)資料,并且結(jié)合大一時(shí)得高數(shù)課，復(fù)習(xí)了tab得基本操作。 這次實(shí)驗(yàn)得主要內(nèi)容就是利用三種控制方法,使倒立擺系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定，并且比較三種控制方法得優(yōu)劣。 我們首先做得就是經(jīng)典pid控制，經(jīng)典p控制就是最早發(fā)展起來得一種控制方法，由于其算法簡(jiǎn)單、魯棒性好、可靠性高,因而至今仍廣泛應(yīng)用于工業(yè)過 程控制中。該方法得主要思想就是:根據(jù)給定值r與系統(tǒng)得實(shí)際輸出值c構(gòu)成控制偏差e，然后將偏差得比例（ ) 、積分( i）與微分(d）三項(xiàng)通過線性組合構(gòu)成控制量,對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制,故稱為pi控

40、制。 比例環(huán)節(jié)p得作用,就是對(duì)當(dāng)前時(shí)刻得偏差信號(hào)進(jìn)行放大或衰減后作為控制信號(hào)輸出。積分環(huán)節(jié)i可以累計(jì)從零時(shí)刻起到當(dāng)前得輸入信號(hào)得全部值。微分環(huán)節(jié)得輸出正比于輸入得當(dāng)前變化率,作用就是有偏差信號(hào)得當(dāng)前變化率來預(yù)見隨后得偏差將就是增大還就是減小,增減幅度如何。pid控制通過調(diào)節(jié)k,i，三個(gè)基本參數(shù),來實(shí)現(xiàn)仿真，達(dá)到預(yù)期得控制效果,但就是d控制就是一個(gè)單輸入輸出得控制，它只能搖桿得角度,而不能控制小車得位移。 雙pid控制就是利用兩個(gè)pd來同時(shí)控制倒立擺系統(tǒng),雙pid得模型如下: 雙pid控制雖然能控制小車得位移,但就是我們?cè)趯?shí)際操作過程中,發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果得曲線很難達(dá)到收斂，往往都就是發(fā)散得。 r控制

41、:線性二次型調(diào)節(jié)器(linear qaratic regulaor r） 問題在現(xiàn)代控制理論中占有非常重要得位置，受到控制界得普遍重視,應(yīng)用十分廣泛，就是現(xiàn)代控制理論得中最重要得成果之一。線性二次型（lq） 性能指標(biāo)易于分析、處理與計(jì)算，而且通過線性二次型最優(yōu)設(shè)計(jì)方法得到得倒立擺系統(tǒng)控制方法，具好較好得魯棒性與動(dòng)態(tài)特性以及能夠獲得線性反饋結(jié)構(gòu)等優(yōu)點(diǎn),因而在實(shí)際得倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中,得到了廣泛得應(yīng)用。 lqr控制通過mta得程序，根據(jù)期望性能指標(biāo)選取q與r,就可以得到反饋矩陣k得值。改變矩陣q得值，可以得到不同得響應(yīng)結(jié)果,得值越大,系統(tǒng)抵抗干擾能力越強(qiáng)，調(diào)整時(shí)間越短。 從實(shí)驗(yàn)得結(jié)果來瞧,lqr控制在快速性與抗干擾性上，都要強(qiáng)于pd控制，這就是因?yàn)閘qr就是多變量控制. 經(jīng)過了這次實(shí)驗(yàn),我有了很多收獲： 1. 作為一個(gè)小組得組長(zhǎng),我體會(huì)到了自己身上得責(zé)任與壓力,從分配任務(wù)到實(shí)驗(yàn)進(jìn)行,實(shí)驗(yàn)報(bào)告,對(duì)我自己都就是一個(gè)很好得鍛煉。 2. 這次實(shí)驗(yàn)過程中,我也學(xué)習(xí)到了很多平時(shí)接觸不到得知識(shí)，復(fù)習(xí)了malab得應(yīng)用，了解了simulink模塊得應(yīng)用,而且也對(duì)現(xiàn)代控制理論有了理解，為將來得學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ). 3. 體會(huì)到了團(tuán)隊(duì)力量得強(qiáng)大，大家得互