2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題二數(shù)列第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列練習(xí)

1、第 1 講等差數(shù)列與等比數(shù)列高考定位1.等差、等比數(shù)列基本運(yùn)算和性質(zhì)的考查是高考熱點(diǎn)，經(jīng)常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)；2.數(shù)列的通項(xiàng)也是高考熱點(diǎn)，常在解答題中的第（1）問出現(xiàn)，難度中檔以下真題感悟1.（2017 全國(guó)川卷）等差數(shù)列an的首項(xiàng)為 1,公差不為 0.若 電a3,a6成等比數(shù)列，則an J前 6 項(xiàng)的和為（）D.8A. - 24B. - 3C.3解析根據(jù)題意得a3=a2a6,即（+ 2d）2= G+d）（a1+ 5d），由a1= 1 及 dK 解得d=-2,所以 S= 6a1+65d= 1X6+6|5x( - 2) =- 24.答案 A2.（2018 北京卷）“十二平均律”是通用的音

2、律體系，明代朱載埴最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依12于2 若第個(gè)單音的頻率為f,則第八個(gè)單音的頻率為（）3B. 22f12D. 27f,每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于12,2,第一個(gè)單音的頻率為f.由等比數(shù)列的定義知，這十三個(gè)單音的頻率構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為12f,公比為,212 12的等比數(shù)列，記為an.則第八個(gè)單音頻率為a8=f（ 2）8-1= 27f.答案 D3.（2018 全國(guó)I卷）記S為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若 S= 2 勿+ 1,貝

3、U$=_.解析 因?yàn)?S= 2an+ 1，所以當(dāng)n= 1 時(shí)，a1=2a+ 1,解得a1=- 1,當(dāng)n2時(shí)，an=S S-1= 2an+1 （2an-1+ 1），所以an= 2an-1，所以數(shù)列an是以一 1 為首n-1-1X（1-26）項(xiàng)，2 為公比的等比數(shù)列，所以an=- 2 ，所以Sa=- 63.A.C.解析從第3答案 -63a1(1qn)a1anqq=1, S=na；qz1, S=百一=F孑；性質(zhì): 若mn,p,q N，且m+ n=p+q,貝Uam-an=apQ；n man=am- q； Sm,S2mSm,S3m Sm,（Sm 0）成等比數(shù)列.溫馨提醒應(yīng)用公式an=SnSn-1時(shí)一定注

4、意條件門2,門 N.4.（2018 全國(guó)川卷）等比數(shù)列亦中,ai= 1,a5= 4a3.（1）求an的通項(xiàng)公式;記S為an的前n項(xiàng)和若Sm= 63,解（1）設(shè)an的公比為q,由題設(shè)得n1an=q由已知得q4= 4q2,解得q= 0（舍去），q= 2 或q= 2.故an= ( 2)n1或an= 2n1若 an= ( 2) n1,則 S= 12)由Sm= 63 得（2）m= 188，此方程沒有正整數(shù)解.若an= 2n1,貝ySn= 2n 1.由Sm= 63 得 2m= 64,解得 m= 6.綜上，m= 6.1.等差數(shù)列（1）通項(xiàng)公式:an=a1+ (n 1)d;求和公式:小n(a1+an)Si=n

5、a1+2性質(zhì):q N，且m+ n=p+q,貝Uam+an=ap+Q；2an=am+ (nm)d；3Sm,Sem Sn,若m n, p,S3mS2m,，成等差數(shù)列.2.等比數(shù)列（1）通項(xiàng)公式:n 1,只、an=aq(qz0)；求和公式:考點(diǎn)整合”1）d；4烈點(diǎn)聚焦 I 好類突確 I研熱點(diǎn)析考法熱點(diǎn)一等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算【例 1】（1）（2018 濰坊三模）已知an為等比數(shù)列，數(shù)列bn滿足bi= 2,b2= 5，且an（bn+1-bn) =an+1,則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為()A.3n+ 1解析 由b1= 2 ,b2= 5，且an(bn+ 1bn) =an+ 1.an的公比q=a=b2b1= 3

6、.從而bn + 1bn= 3,則數(shù)列bn是首項(xiàng)為 2,公差為 3 的等差數(shù)列廠,厶一n(n 1)12因此bn的刖n項(xiàng)和Tn= 2n+x3= -(3n+n).答案 C（2018 全國(guó)n卷）記 S 為等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，已知 a = 7,S=15.1求an的通項(xiàng)公式；2求 S1，并求 S 的最小值.解 設(shè)an的公差為d,由題意得 3a1+ 3d= 15.由a1= 7 得d= 2.所以an的通項(xiàng)公式為an= 2n 9.2 2由得 S=n8n=（n 4） 16.所以當(dāng)n= 4 時(shí)，S 取得最小值，最小值為16.探究提高 1.等差（比）數(shù)列基本運(yùn)算的解題途徑：（1）設(shè)基本量a1和公差d（公比q）

7、.列、解方程組：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d（q）的方程（組），然后求解，注意整體計(jì)算，以減少運(yùn)算量.2.第（2）題求出基本量a1與公差 d,進(jìn)而由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式將結(jié)論表示成“n”的函數(shù),求出最小值.【訓(xùn)練 1】（1）（2018 鄭州調(diào)研）已知等差數(shù)列an的公差為 2,a2,as,a6成等比數(shù)列，則B.3n-1C.3n2+n2D.3n2-n25an的前n項(xiàng)和 S=（）A.n(n 2)B.n(n 1)6C.n(n+ 1)D.n(n+ 2)、.22解析 依題意a3=a2a6,得(ai+ 4) = (ai+ 2)(ai+10).解得ai= 1.fn（n 1）2因此Si=na1+x2=n 2n.答案

8、 A（2017 全國(guó)n卷）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,a1=1，b1= 1，a2+b2= 2.若a3+b3= 5，求bn的通項(xiàng)公式;若 T3= 21,求 S.當(dāng)d= 1 時(shí)，S3= 6;當(dāng)d= 8 時(shí)，S= 21.解 設(shè)an公差為d, bn公比為q,由題設(shè)得1 +d+q= 2,1 + 2d+q2= 5解得d= 1,q=2d= 3,或U0(舍去),故bn的通項(xiàng)公式為bn= 2n1.由已知得1 +d+q= 2,1 +q+q2= 21,執(zhí)占一八、等差（比）數(shù)列的性質(zhì)q= 5,d= 8.7（1）（2018 石家莊調(diào)研）在等比數(shù)列an中，a6,a10是方程x2+ 6x+ 2 =

9、 0 的兩個(gè)實(shí)【例2】數(shù)根，則a8的值為（）A.2C. 2B. 2 或 2D. 2(2018北京海淀區(qū)質(zhì)檢）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,且滿足 S= 2an 2,若數(shù)列bn滿足bn= 10 log2an,則使數(shù)列bn的前n項(xiàng)和取最大值時(shí)的n的值為_.解析(1)由題意a6a10= 2,且a6+ ao= 6，所以a60, ao0,又?jǐn)?shù)列an為等比數(shù)列，所 以a80,S2=a2+1入$+1,其中入為常數(shù).(1)證明：S+1= 2S1 + 入;（2）是否存在實(shí)數(shù) 入,使得數(shù)列an為等比數(shù)列，若存在，求出入；若不存在，請(qǐng)說明理由(1)證明an+ 1=S+1Sn,Sn=Nn+ 1入S+1,Sn= (Sn+

10、1Sn)2一 入Sn+1,則Sn+1(Sn+1 2S入)=0.* an0，知 S+10,S+1 2Sn入=0, 故 Si+1= 2S+ 入.解 由（1）知，S+1= 2S+入，當(dāng)n2時(shí)，S=2S1+入，兩式相減，an+1= 2an（n2,n N）,所以數(shù)列an從第二項(xiàng)起成等比數(shù)列，且公比q= 2.（又S2=2S+ 入，即a2+a1= 2a1+ 入,a2=a1+ 入=1 + 入 0,得入 1.rZ1,n= 1, 因此an= Wn 2 2（入 +1）2,n2.若數(shù)列an是等比數(shù)列，則a2= 1 +入=2a1= 2.入=1,經(jīng)驗(yàn)證得入=1 時(shí)，數(shù)列an是等比數(shù)列.【遷移探究】 若本例中條件“a1=

11、1”改為“a1= 2”其它條件不變，試求解第（2）問.解 由本例（2），得an+1= 2an（n2,n N*）.又S= 2S1+ 入，a2=a1+ 入=2+ 入 0.-an= (2 + 入)(n2).又 = 2,若an是等比數(shù)列， - a2=（2+入）2 2=2a1=4, 入=2.故存在入=2，此時(shí)an= 2n，數(shù)列an是等比數(shù)列.探究提高1.判定等差（比）數(shù)列的主要方法：（1）定義法：對(duì)于任意n1,n N*,驗(yàn)證an+111an+ 12_ _2.=q和an=an-Q+i(n2)都是數(shù)列an為等比數(shù)列的必要不充分條件，判定時(shí)還要看an各項(xiàng)是否為零【訓(xùn)練 3】(2017 全國(guó)I卷)記S為等比數(shù)列

12、an的前n項(xiàng)和已知S2= 2,圧=-6.(1) 求an的通項(xiàng)公式；(2) 求 S,并判斷S+1, S, S+2是否成等差數(shù)列解(1)設(shè)an的公比為q,由題設(shè)可得a1( 1 +q)= 2,a1(1 +q+q)= 6,(2)中項(xiàng)公式法解得v=a1= 2.n無(wú)關(guān)的一常數(shù);12故an的通項(xiàng)公式為an= ( 2)nna1(1 q) 21 ( 2)由得s=C丿=(2)丿2n=3【(2) 1,2 2+ 1n + 2則 S+1= ( 2) 1 , S+2= ( 2) 1,所以 S1+ 1+ S1+2n+1-1 + 3( - 2)n +22n4n1 = 3【2( 2) 2=亍(2) 1 = 2SS+1, S,

13、S+ 2成等差數(shù)列熱點(diǎn)四等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題【例 4】(2018 天津卷)設(shè)an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為$(n N*) ； bn是等比數(shù)列, 比大于 0，其前n項(xiàng)和為Tn(n N*).已知b= 1,bs=b?+ 2,b4=as+a5,b5=a4+ 2a6.(1) 求 S 和 Tn；(2) 若 S+ (T1+T2+Tn) =an+ 4bn，求正整數(shù)n的值.解(1)設(shè)等比數(shù)列因?yàn)閝0,可得q= 2,故bn= 2n1所以,n1 2nTn= 2 1.1 2設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.由b4=a3+a5，可得a1+ 3d= 4.13由b5=a4+ 2a6，可得 3a+ 13d= 16，從而ai=

14、1,d= 1, 故an=n.(2)由(1)，有12nT1+T2+-+Tn= (2 + 2 + 2) n由Sn+ (T1+T2+Tn) =an+ 4bn整理得n23n 4 = 0，解得n= 1(舍)，或n= 4.所以，n的值為 4.探究提高1.等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題，常用“基本量法”求解，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便.2.數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和可以看作關(guān)于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問題.【訓(xùn)練 4】(2018 武漢質(zhì)檢)在公比為q的等比數(shù)列時(shí)中，已知a1= 16,且 a,a2+ 2,Ia3成等差數(shù)列.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 若q10 的最小正整數(shù)n的值.解(1)

15、依題意，2(a2+ 2) =a1+a3,且 a= 16.2 2(16q+ 2) = 16+ 16q,2即 4q 8q+ 3= 0.1、3因此q=2或q=2.n 1當(dāng)q= 2 時(shí)，an= 16 1= 25n；n 1當(dāng)q= 2 時(shí),an= 16 3由(1)知，當(dāng)q2,正整數(shù)n的最小值為 3.曲躺總結(jié)思維升華1. 在等差(比)數(shù)列中，ai,d(q),n,an,S五個(gè)量中知道其中任意三個(gè)，就可以求出其他兩個(gè).解這類問題時(shí)，一般是轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)ai和公差d(公比q)這兩個(gè)基本量的有關(guān)運(yùn)算.2. 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用但在

16、應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形IS,n=1,3. 應(yīng)用關(guān)系式an=時(shí)，一定要注意分n= 1,n2兩種情況，在求出結(jié)果后，|SnSn- 1,n2看看這兩種情況能否整合在一起專題圳練對(duì)接高考|求落交迎高淆一、選擇題1. (2018 全國(guó)I卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若 3S3=S2+S,a= 2，則a5=()A. 12B. 10C.10D.12解析 設(shè)數(shù)列an的公差為d,T3S= $+S4,(3X2、4x33 3|3a1+d= 2a1+d+4a+d,解得d= ;ai.v.2 丿22a1=2, d=3,a5=a1+4d=2+4x(3)=10.答案 B1.”I on2. 等

17、差數(shù)列an中的a1,a4 033是函數(shù)f(x) =TX 4x+ 6x 1 的極值點(diǎn)，則 log2a2。仃=()3A.2B.3C.4D.5解析因?yàn)閒(x) =x2 8x+ 6,探規(guī)律防失誤152依題意，a1,a4 033是方程f(x) =x 8x+ 6= 0 的兩根，- a1+a4 033= 8,貝Va2 017= 4,故 log2a2 017= log24 = 2.16bnbn-1, 設(shè)bn中最大的項(xiàng)為bn，則*bnbn+ 1.答案 A3. 一個(gè)等比數(shù)列的前三項(xiàng)的積為2,最后三項(xiàng)的積為 4,且所有項(xiàng)的積為 64,則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是()A.13B.12C.11D.10解析設(shè)等比數(shù)列為an，其前n項(xiàng)

18、積為Tn，由已知得 aa2a3= 2,anan心2= 4,可得(ao)3=2x4,aian=2,Tn=aia2an,.T= (aia2an)2=(aian)(a2an 1)(anai) = (aian)n=2 = 64 = 22,.n= 12. 答案 B4中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作 算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難， 次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”其意思為：“有一個(gè)人走 378 里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6 天才到達(dá)目的地.”則此人第 4 天和第 5 天共走的路程為()A.60 里B.48 里C.36

19、里D.24 里解析由題意，每天走的路程構(gòu)成公比為11 的等比數(shù)列設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為ai,則2ai 1-261- 211=378，解得ai= 192，貝Ua4= 192X-=24,a5= 24X；= 12,a4+a5= 24 + 12 = 36.所以此人82第 4 天和第 5 天共走了 36 里.答案 C5.(20i8 北京燕博園能力測(cè)試 )數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S，且 3an+S=4(n N)，設(shè)bn=nan,3C.2D.23解析由條件可知：3an+S= 4, 3an-1+Sn-1= 4（n2）.相減，得an=an-i.又 3ai+S= 4ai則數(shù)列81A.6427B.164答案 3 或 417

20、答案 B、填空題6._ （2018 北京卷）設(shè)an是等差數(shù)列，且ai= 3,a2+a5= 36，則an的通項(xiàng)公式為 _ .解析 設(shè)等差數(shù)列的公差為d,：ai= 3,且a?+a5= 2ai+ 5d= 36,.d= 6,.an= 3+ （n1) 6= 6n 3.答案an= 6n 3ani7. （2018 福州質(zhì)檢）數(shù)列an滿足an+1= ,a3=-,貝Uai=_ .2an十 i5an解析 易知anM0,且an + 1= 2a+ 1 .11r111 -=2,則是公差為 2 的等差數(shù)列，又a3=2，知一=5, + 2X2= 5,貝yai=an+1ann“5a3ai1.答案 18. （2018石家莊質(zhì)檢

21、）等差數(shù)列an的公差dM0,且a3,a5,ai5成等比數(shù)列，若a5= 5,S為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則數(shù)列彳警|的前n項(xiàng)和取最小值時(shí)的n為_ .（ai+ 2d）（ai+ i4d）= 25,解析由題意知*ai+ 4d= 5,n4,且=0,bn的項(xiàng)的最大值為27b3=b4=話由dM0,解得ai= 3,d= 2,Snnnai+)dn4.解之得 3wnw4.4答案 3 或 418數(shù)列n項(xiàng)和取最小值時(shí)的n的值為 3 或 4.19三、解答題9.(2018 北京卷)設(shè)an是等差數(shù)列，且ai= ln 2 ,a?+a3= 5ln 2.(1)求an的通項(xiàng)公式；求 eai+ ea+ ean.解設(shè)an的公差為d.因?yàn)閍

22、2+a3= 5ln 2 ,所以 2ai+ 3d= 5ln 2.又ai= In 2，所以d= In 2.所以an=ai+ (n 1)d= In 2 + (n 1)ln 2 =nln 2.ean因?yàn)?eai= eln 2= 2, 沖=eanan-1= eln 2= 2,所以ean是首項(xiàng)為 2,公比為 2 的等比數(shù)列.i 2所以幾養(yǎng)+十/= 口 = 22n+ 1i0.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,且 i,an,S成等差數(shù)列.(i)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;若數(shù)列bn滿足anbn= i + 2nan,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(i)由已知 i,an,S成等差數(shù)列得 2an= i+S,當(dāng)n= i 時(shí)，2ai= i +S= i +ai, ai= i,當(dāng)n2時(shí)，2an-1= i +S-1，一得 2an 2an i=an,an= 2ani(n2)，且a= i.數(shù)列an是以 i