波動和聲習題復(fù)習過程

1、第十章波動和聲習題10.2.1頻率在20至20000Hz的彈性波能使人耳產(chǎn)生聽到聲音的感覺.0oC時，空氣中的聲 速為331.5m/s，求這兩種頻率聲波的波長解答,20Hz, 220000Hz331.5(m/s)331.52016.58(m)圖 16.5810-3(m)10.2.2平面簡諧聲波的振幅為0.001m,頻率為1483Hz ,在20 °C的水中傳播，寫出其波方程.解答已知 A .001m.1483Hz,表 P309 知波速 1483m/s。0。則位于處的體元相位設(shè)O-x軸沿波傳播方向，x表示質(zhì)元平衡位置坐標，y表示質(zhì)心相對平衡位置的位移, 選坐標原點處位相為零的時刻為計時起

2、點。即原點處初相為零 落后空。即:2 x2 xxy A cos( t ) A cos (t) A cos (t )2y=Acos2 (t -)0.001cos(2996 t 2 x)10.2.3已知平面簡諧波的振幅 A 0.1cm，波長1m，周期為10 2s，寫出波方程(最簡形 式).又距波源9m和10m兩波面上的相位差是多少？解答選坐標原點處位相為零刻為計時起點。O-x軸沿波傳播方向，則可得波的最簡形式：y A cos2 ()T代入已知數(shù)據(jù)得t xy 103 cos2 (2) 103 cos2 (100t x)102 1設(shè)波源處為x0，則x1 x09,x2 x0 10因此位相差是：2 100

3、t (x0 9) 2 100t (x0 10) 21024寫出振幅為A , f，波速為 C,沿Ox軸正方向傳播的平面簡諧波方程波源在原點O,且當t=0時，波源的振動狀態(tài)被稱為零，速度沿Ox軸正方向解答波源振動方程:y A cos( t )A sin 0,sinQ t 0時，y0 A cos 0,2因此波源振動方程為:Acos( t )任一 x處的位相比波源的相位落后，得波方程為2 xy A cos( t)22 xA cos(2 tx)2xA cos2 (t )2將已知量代入得：y Acos2 f(t *)-10.2.5已知波源在原點(x 0)的平面簡諧波方程為y Acos(bt cx)，A,b

4、,c均為常量。試求：(1)振幅，頻率，波速和波長；(2)寫出在傳播方向上距波源處一點的振動方程式，此質(zhì)點振動的初位相如何？解答y Acos( t - kx)比較可得:y Acos(bt cx)與平面簡諧波方程的標準形式(1) 振幅為A，頻率:波速K-，波長k cb/c 2b/2 c(2) x l時，該點的振動方程式為:y A cos(bt cl)此質(zhì)點振動的初位相為0 cl。10.2.6 一平面簡諧波逆軸傳播，波方程為y Acos 2 (t3),試利用改變計時起點的方法將波方程化成最簡形式。解答y Acos 2 (t - 3)，最簡形式應(yīng)為 y Acos 2 (t X)如改變計時起點后的新計時

5、系統(tǒng)以t應(yīng)滿足XXt t 3，因此 t t 3即將計時起點提前 3秒，就可將波方程化成最簡形式t 3s時的波形圖。(SI)5y Acos 2 (t -)10.2.7平面簡諧波方程y 5cos2 (t 4)，試用兩種方法畫出答方法一:5cos2 (t有方程求得。4),t3的波形圖。A 5m, 4m5cos(2 -5找出對應(yīng)于方程的各晉)5cos(645x,y )點,例如：0, y0, X5, XM4.045;1.4;2.4通過各點描繪出所求波形圖(右圖)方法二：由方程求得,A 5m,4m,先畫出 0, y5cos-x的圖形,35在將縱坐標軸向右移動X0 :6 /523即向右移動，就可以得到所求的

6、波形圖。5XoXo=0.30m,畫出 x 0.20m_t x ,10.2.8 對于平面簡諧波 S r cos2 ()中 r=0.01m,T=12s,處體元的位移-時間曲線。畫出t 3s,6s時的波形圖。解答(1) y r cos2 ( X), r 0.01m,T 12s,0.30m0.01cos203)xo 0.20m0.01cos2 (旦)120.30.°1cos(-t可求得T=12s,t=0時；4y 0.01cos()0.053(2)t=3s、6s時波形圖433 八a. y 0.01cos2 ()120.302 x0.01cos()20.30x 0,y0;2 x 0,x20.30

7、b. y 0.01cos 20.01cos(6 x( )120.302 x0.30)其相位與t=3s時相差，所以將t=3s的波形圖向右移 一，即得t=6s時的波形圖。2410.2.9二圖分別表示向右和向左傳的兩列平面簡諧波在某瞬時的波形圖，說明此時Xl,X2,X3 以及3各質(zhì)元的位移和速度為正還是為負？它們的相位如何？（對于x2和2只要求說明其相位在第幾象限）解答若波用余弦函數(shù)表示，則所求結(jié)果如下表橫坐標位移速度相位X1正最大02X2負負n象限X30負最大21正最大022負正川象限30正最大3210.2.10圖(a)、(b)分別表示t 0和t 2s時的某一平面簡諧波的波形圖。試寫出此平 面簡諧

8、波波方程。解答由圖知A 2m, 2m由圖(a)知，原點處質(zhì)元t=0時,位移最大，速度為零，因此原點處質(zhì)元初相0.1比較t=0和t=2s的(b)圖知( n)T 2S,48因此 Ts,( n 0,1,2,L)4n 1取 n 0,T 8s,將A,T之值代入波方程的一般表示式就可以得到所求波方程的一個表達式：ytxAcos2 ()Tt X2cos2 ()08 22cos( t x)410.3.12有一圓形橫截面的銅絲，手張力1.0N，橫截面積為1.0mm .求其中傳播橫波和縱波時的波速各多少？銅的密度為 8.9 103kg/m3，銅的楊氏模量為12 109N /m3.解答339Q 8.9 10 kg/

9、m ,r 12 10 N /m12 1098.9 10331.16 10 (m/s)4可把很細的銅絲看作柔軟的弦線（設(shè)弦線的密度為）,計算在其中傳播的橫波的波速Q(mào)T 1.0 N631 1.0 108.9 1038.9 101.08.9 10 310.6(m/s)10.3.2已知某種溫度下水中聲速為31.45 10 m/s，求水的體變模量.解答k,已知 1.45 103m/s,103kg/m33 292(1.45 103)22.10 109(N /m2)v300m / s.( 1)求最大能量密度和平均能量密度，（2）求相鄰冋相位波面間的總能量解答(1)能量密度2A2 sin2(t -)最大能量密

10、度2 Amax2能流密度12 2I 12A2 ,2A22Imax已知'1 9erg / s cm27429 1010 J/s m300m/ s2I 6max65310 (J/m )1I平均能流密度3 105(J/m3)210.4.1在直徑為14cm管中傳播的平面簡諧聲波.平均能流密度9erg/s cm，300Hz，2 A2,s.一周期內(nèi)單位體積媒質(zhì)具有的平均能量為由于相鄰?fù)幌嗖骈g的距離為 同位相波面間的總能量為d2匸 4" 107(J)21043 面向街道的窗口面積約 40m，街道上的噪聲在窗口的聲強級為60dB，問有多少聲功率傳入室內(nèi)解答(即單位時間內(nèi)進入多少聲能)？1

11、0log 丄1 0L1。10訶L60聲功率 W IS I01010S 10101210 12 404510 5(w)10.4.4 距一點聲源10m的地方, 距聲源多遠，就聽不到解答1000Hz,聲音的聲強級為 的聲音了？20dB.求(1)距聲源5m處的聲強級；(2)I22I 2I1 21丨2 L2 10時1 0已知10lg1 02I 21 210lgI020dBf因此L220(2)設(shè)距聲源10lg10m, r2 5m26.02(dB)r0時,剛好聽不到聲音r0(山)1/2(10%2)1/2 100cm1010.5.1聲音干涉儀用于顯示聲波的干涉 ，見圖.薄膜S在電磁鐵的作用下振動.D為聲音檢測

12、 器,SBD長度可變，SAD長度固定.聲音干涉儀內(nèi)充滿空氣.當B處于某一位置時，在D處聽到 強度為100單位的最小聲音，將B移動則聲音加大，當B移動1.65 cm時聽到強度為900單位 的最強音.(1)求聲波的頻率，(2)求到達D處二聲波振幅之比.已知聲速為342.4 m/s.解答 (1)由最小聲音到相鄰的最強音，經(jīng)SAD，SBD管內(nèi)穿到D處的二相干波，傳播距離差應(yīng)改變 一，2此改變量是由B管的移動引起的，因此2 1.65cm24 1.65cm 6.6 105188Hz10.5.2兩個聲源發(fā)出橫波，振動方向與紙面垂直，二波源具有相同的位相，波長0.34m.(1)至少求出三個x數(shù)值使得在P點合振

13、動最強,(2)求出三個x數(shù)值使得在P點合振動 最弱.解答此二橫波振動方向相同，波長相同，在同一種媒質(zhì)中傳播，波速相同，因此其周期相同，圓頻 率也相同 傳到P點的此二橫波的方程可寫成：y1 A1 cos2y2 A2 cos2Tx-)此結(jié)果的前一項表示一行波成了一駐波與一行波的疊加10.5.4入射波 y 10 104 cos2000 (t，坐標原點與固定端相距(1)在P點合振動最強時，二橫波在該點引起的多振動位相相同，即2 (* 7 2 & L)2n由此得，x n .已知 0.34m取 n 0,1,2時得x 0.17m,0.51 m,0.85 m10.5.3試證明兩列頻率相同，振動方向相同

14、，傳播方向相反而振幅大小不同的平面簡諧波相 疊加可形成一駐波與一行波的疊加.解答設(shè)滿足題目要求的二平面簡諧波為：y1 A cos( t kx)y2Acos( t kx)且 AA2則：y2A cos( t kx) A cos( t kx)(A A?)cos( t kx) 2A2 coskxcos t，后一項表示一駐波，可見滿足題目要求的二平面簡諧波疊加后形0.51m，寫出反射波方程.無振幅損失.(SI)解答反射波的振幅，頻率，波速均與入射波相同，傳播方向與入射波傳播方向相反，初位相也不同入射波在坐標原點的初位相為零.故反射波在原點的初位相為0 (空2)(4V 1) (V 0.51m)其中為落后位

15、相，為半波損失x入射波 y 10 10 4 cos2000 (t )104 0.51 100 八 ( 1) 3410 4 cos2(1/1000x34/1000)可見34/1000,61由以上各條件可寫出所求反射波在原點的振動方程y 10 10 4 cos( t 61 ) 10 10 4 cos2000 (t反射波的振動方程為：y 10 104cos2000 (t -6)10 104 cos2000 (t )34 200034t x10.5.5入射波方程為y Acos2 (),在X=0處的自由端反射，求反射波的波方程.無振幅損失.解答由入射波方程y Acos2 (- x)知T反射波振幅為 A,

16、周期為T,波長為，傳播方向沿坐標軸 O-X正方向.因在X=0處自由端 反射，故反射波與入射波在原點處位相相同因此反射波方程為：y Acos2 (半)10.5.6圖示某一瞬時入射波的波形圖，在固定端反射.試畫出此瞬時反射波的波形圖.無振幅損失.解答因為反射波與入射波傳播方向相反，在固定端反射時，二者位相差為，所以可以按以下方法作出反射波波形圖：以界面處質(zhì)元平衡位置為原點如圖建立 坐標系.y Acos( t kx )設(shè)入射波波方程為先作出入射波波形圖，以y軸為對稱軸的對稱波形圖，并畫出該波形圖在固定端左側(cè)的部 分.設(shè)此波是逆X軸正方向傳播的，則其方程可寫為yAcos( tkx)因為固定端反射波在界

17、面處有半波損失，所以反射波方程應(yīng)為：yAcos( t kx)其波形應(yīng)比前述的入射波對稱波形圖向右移動半個波長.可見這兩個波形圖是以X軸為對稱軸的對稱圖形.因此，再作出以X軸為對稱軸的前述波形圖的對稱圖形.即得所求反射波的波形圖.10.5.7若10.5.6題圖中為自由端反射，畫出反射波波形圖.解答因為入射波在自由端反射時，沒有半波損失，即反射波和入射波在界面處位相相同，而傳播方向相反，所以反射波波形圖是入射波波形圖以界面為對稱的對稱圖形，其圖形如圖所示10.5.8 平面簡諧波自左向右傳播 ，在波射線上某質(zhì)元 A的振動曲線如圖示后來此波在前 進方向上遇儀障礙物而反射，并與該入射平面簡諧波疊加形成駐

18、波，相鄰波節(jié)波腹距離為 3m，以質(zhì)元A的平衡位置為Oy軸原點，寫出該入射波波方程解答振動的一般方程可寫為x Acos(2 t )T由題意知A 0.2m，T2s，2一 一 2因此質(zhì)兀A的振動方程為：x 0.2cos( t )這就是所求波方程中原點y 0處質(zhì)心的振動方程.已知相鄰波節(jié)，波腹間距離為一3m4由以上諸條件可寫出以質(zhì)元a的平衡位置為t yx Acos2 ()10.5.9同一媒質(zhì)中有兩個平面簡諧波波源作同頻率12mOY軸原點的入射波方程為：0.2cos( t2，同方向，同振幅的振動.二波相對傳播，波長8m.波射線上A,B兩點相距穌.一波在A處為波峰時另一波在B處位相為.求AB 連線上因干涉

19、而靜止的各點的位置.解答由已知條件可知，此二平面簡諧波為相干波，在二波源間的連線上形成駐波. 以A為原點建立OX坐標軸，以甲波在點位相為零時刻為計時起點.在A,B間,甲波方程為：2 y Acos( t x)2乙波方程為：y2 Acos( t x )由題知，甲波在A處質(zhì)點位移為正最大時，在x 20m處的B點位相為，因此當t 0時,2在x 20m處220 g112，2y2 Acos（ t Zx 牛）當AB間的點因干涉而靜止時，甲乙二波在該點的位相差應(yīng)滿足(t x112)( t2 x) (2n 1)即2112xx(2n1)828因此，x 2(2 n1) 114n13當 n 3, 2, 1,0,1 時,x 1,5,9,13,17 ,這就是AB間靜止各點的位置坐標 10.5.10 一提琴弦長50cm，兩端固定不用手指按時，發(fā)出的聲音是 A調(diào):440 Hz.若欲發(fā)出C 調(diào):528 HZ,手指應(yīng)按在何處？解答，若欲使它發(fā)生的頻率比原來提高一倍，問弦內(nèi)張力音調(diào)決定了基頻，弦的基頻為1 -（丄（JT,2l）Q,T 一定，1/2I11/2I已知440 Hz,528 Hz, I 50cm因此 I,440I5041.67(cm