”十字交叉法“的原理和應(yīng)用

1、化學(xué)計(jì)算中“十字交叉法”的數(shù)學(xué)原理和應(yīng)用一. “十字交叉法”簡介“十字交叉法”是二元混合物（或組成）計(jì)算中的一種特殊方法，若已知兩組分量和這兩個(gè)量的平均值，求這兩個(gè)量的比例關(guān)系等，多可運(yùn)用“十字交叉法”計(jì)算。十字交叉法在化學(xué)計(jì)算中是一種常用的方法，在很多習(xí)題中采用十字交叉法可以簡化計(jì)算過程，提高計(jì)算效率。下面先從一道簡單的例題來介紹何為十字交叉法。例1、50克10%的硫酸溶液和150克30%的硫酸溶液混合后，所得硫酸溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)是多少？采用十字交叉法計(jì)算的格式如下：設(shè)混合后溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為x%，則可列出如下十字交叉形式所得的等式：50g(10%的溶液質(zhì)量)10%的溶液 10 30 x 150

2、(30%的溶液質(zhì)量) X = 30%的溶液 30 x 10 由此可得出 x = 25，即混合后溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為25%。以上習(xí)題的計(jì)算過程中有一個(gè)十字交叉的形式，因此通常將這種方法叫做“十字交叉法”。然而怎樣的計(jì)算習(xí)題可以采用這種方法？且在用“十字交叉法”時(shí)，會(huì)涉及到最后差值的比等于什么的問題，即交叉后所得的差值之比是實(shí)際中的質(zhì)量之比還是物質(zhì)的量之比？這些問題如果不明確，計(jì)算中便會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論。 針對(duì)以上問題，在以前的教學(xué)中，可能往往讓學(xué)生從具體的習(xí)題類型死記差值之比的實(shí)際意義。由于十字交叉法常用于：核素“豐度”與元素相對(duì)原子質(zhì)量的計(jì)算；混合氣體不同組分體積之比和混合氣體平均相對(duì)分子質(zhì)量的計(jì)算

3、；不同濃度的同種溶液混合后質(zhì)量分?jǐn)?shù)與組分溶液質(zhì)量之比的計(jì)算等類型的習(xí)題中。因此可以簡單記憶為前兩種類型中，差值之比為物質(zhì)的量之比，第三種類型差值之比為質(zhì)量之比。這種記憶方法束縛了學(xué)生的思維，同時(shí)也限制了“十字交叉法”的使用范圍。實(shí)質(zhì)上“十字交叉法”的運(yùn)用范圍很廣，絕不僅僅只能在以上三種類型的習(xí)題中才可運(yùn)用。然而不同情況下，交叉后所得的差值之比的實(shí)際意義是什么？該怎樣確定其實(shí)際意義？是我們應(yīng)該探討和明了的問題。要解決此問題，就要明了“十字交叉法”的數(shù)學(xué)原理，然后再從原理的角度去分析，便能確定差值之比在何時(shí)為組分的質(zhì)量之比，何時(shí)為組分的物質(zhì)的量之比。 二、“十字交叉法”的數(shù)學(xué)原理若用A、B分別表示

4、二元混合物兩種組分的量，混合物總量為A+B（例如mol）若用M1、M2分別表示兩組分的特性數(shù)量（例如相對(duì)分子質(zhì)量），x表示混合物的特性數(shù)量（例如平均分子量）則有：M1×A M2×B x ×（A + B）將此數(shù)學(xué)表達(dá)式變形即可轉(zhuǎn)化為下式： A/B = （x - xb）/ (xa - x）此式又可由十字交叉法推導(dǎo)得出。A組分 xa x - M2 A X = 即：B組分 xb M1 - x B兩組份物質(zhì)的量之比等于各自摩爾質(zhì)量與平均摩爾質(zhì)量之差的比 由此我們可以看出“十字交叉法”是由二元一次方程演變而來的，這就是“十字交叉法”的數(shù)學(xué)原理。即運(yùn)用“十字交叉法”計(jì)算的習(xí)題必

5、須具備的條件，是此習(xí)題能列出二元一次方程。也可以說只要能用二元一次方程解決的習(xí)題就能用“十字交叉法”計(jì)算。由于我們?cè)诹卸淮畏匠虝r(shí)，要設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，因此轉(zhuǎn)化為“十字交叉法”時(shí)，所涉及的最后差值的比的意義就與所設(shè)未知數(shù)的意義有了緊密的關(guān)系。也就是說用二元一次方程計(jì)算時(shí)，所設(shè)未知數(shù)的物理意義是什么，則最后差值的比就等于該物理量之比。因此在運(yùn)用“十字交叉法”計(jì)算時(shí)，特別要注意避免不明化學(xué)涵義而濫用。否則會(huì)由于不明確差值之比的物理意義，而使計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤。我們可以根據(jù)下面例題來體會(huì)明確差值之比物理意義的重要性。例2、由CO2和CO組成的混合氣體，經(jīng)分析測(cè)知含氧的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為70%，則該混合氣體中CO和C

6、O2的體積比為多少？解法一：利用CO和CO2中氧的質(zhì)量分?jǐn)?shù)列十字交叉式。(注意物理意義表述的質(zhì)量)在CO中氧的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為4/7，CO2中氧的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為8/11，則 7 CO 4/7 8/11 7/10 33 7/10 = CO2 8/11 7/10 4/7 至此若即得出CO和CO2的體積比為7 ：33，則為錯(cuò)誤結(jié)果，原因是不明了如此計(jì)算所得的比值的物理意義。而實(shí)際上由此得出的比值是兩種氣體的質(zhì)量之比，而非物質(zhì)的量之比，也不是體積之比。這一點(diǎn)我們可以從下面二元一次方程的解法去理解。解法二：設(shè)混合氣體中CO2質(zhì)量為x，CO質(zhì)量為y，根據(jù)氧元素的質(zhì)量固定可得出下列方程： 不難解得 x : y = 3

7、3 : 7由此我們可以看出在解法一中所得的CO和CO2的比值7 ：33是兩種氣體的質(zhì)量之比。再從兩氣體的質(zhì)量比求物質(zhì)的量之比就很容易了。n(CO) /n(CO2) = V(CO)/V(CO2) = m(CO)/28 : m(CO)/44 =7/28 : 33/44 = 1:3那么能否用“十字交叉法”直接計(jì)算出兩種氣體的體積之比呢？要解決此問題，應(yīng)該利用混合氣體中氧元素的質(zhì)量分?jǐn)?shù)求出混合氣體的平均分子式或平均分子量，然后再利用“十字交叉法”進(jìn)行計(jì)算。解法三：設(shè)：混合氣體的平均分子式為COx，則：利用混合氣體中氧元素的質(zhì)量相等可以列出下列方程。16x/(12+16x) = 7/10，解得：x =

8、7/4。即我們可以認(rèn)為混合氣體的平均分子式為CO7/4，然后依據(jù)“十字交叉法”原理可列出下面式子計(jì)算。CO 1 8/4 7/4 1 V(CO) 7/4 = = CO2 2 7/4 4/4 3 V(CO2)求出平均分子式后，還可繼續(xù)求出平均分子量，然后再利用“十字交叉法”進(jìn)行計(jì)算。解法四：因?yàn)榛旌蠚怏w的平均分子式為CO7/4，故混合氣體的平均分子量為12+16×7/4 = 40CO 28 44 40 1 V(CO) 40 = = CO2 44 40 28 3 V(CO2)利用這種方法求出的差值之比之所以能確定是兩種氣體的物質(zhì)的量之比，或者說能確定是兩種氣體的體積之比，我們可以利用下面方

9、程來進(jìn)行證明。方法五：設(shè)：混合氣體中CO2物質(zhì)的量為x，CO物質(zhì)的量為y，則: 利用混合氣體中氧元素的質(zhì)量相等可以列出下列方程。32x +16y = (44x + 28y) ×7/10，解得x :y = 3 : 1 因此：混合氣體中CO和CO2的體積之比為1 : 3。為了將“十字交叉法”理解透徹，我們?cè)倏聪铝幸恍├}，認(rèn)真體會(huì)“十字交叉法”解計(jì)算題的類型和原理。例3 K35ClO3與 K37Cl 在酸性溶液中反應(yīng)生成 Cl2，則該Cl2的相對(duì)分子質(zhì)量為多少？解：因?yàn)镵35ClO3中Cl的化合價(jià)為+5價(jià)， K37Cl中Cl的化合價(jià)為-1價(jià)，所以生成 Cl2時(shí)， K35ClO3與 K37

10、Cl的物質(zhì)的量之比為1/5，即生成的 Cl2分子中35Cl與37Cl的原子個(gè)數(shù)之比為1/5。設(shè)生成的 Cl2的相對(duì)分子質(zhì)量為M，則6 × M= (35 g/mol + 37 g/mol × 5)× 2 M 73.33 g/mol 由：6 × M= 35 g/mol × 2 + 37 g/mol × 2 × 5 可以推出5×M+M = 70 g/mol + 74 g/mol × 5 5×（ 74 g/mol - M ）= 1 ×（ M - 70 g/mol ） （ 74 g/mol -

11、M ）/ （ M - 70 g/mol ）= 1/5 因此對(duì)于此題我們可以直接利用右邊的式子進(jìn)行計(jì)算，即十字交叉法37Cl2 74g/mol M - 70g/mol 5 M = 35Cl2 70g/mol 74g/mol - M 1 例4已知自然界中銥有兩種質(zhì)量數(shù)分別為191和193的同位素，而銥的平均原子量為192.22，這兩種同位素的原子個(gè)數(shù)比應(yīng)為 A3961 B6139 C11 D3911此題可列二元一次方程求解，但運(yùn)用十字交叉法最快捷： 銥-191 191 0.78 39 192.22 = 銥-193 193 1.22 61 解得這兩種核素的原子個(gè)數(shù)比為39 ：61，正確答案是A。例5

12、一定量的乙醇在氧氣不足的情況下燃燒，得到CO、CO2和水的總質(zhì)量為27.6g，若其中水的質(zhì)量為10.8g，則CO的質(zhì)量是 A1.4g B2.2g C4.4gD在2.1g和4.4g之間此題考查有機(jī)物的不完全燃燒，可運(yùn)用十字交叉法：CO與CO2總質(zhì)量：27.6 g - 10.8 g = 16.8 g，生成水的物質(zhì)的量為：10.8 g ÷ 18 g/mol = 0.6 mol，則燃燒的乙醇為：0.6 mol × 1/3 = 0.2 mol。因此生成CO、CO2的物質(zhì)的量共 0.2 mol × 2 = 0.4 mol則CO和CO2混合氣體的平均分子量為：16.8 g /

13、0.4 mol = 42CO 28 44 42 1 n(CO) 42 = = CO2 44 42 28 7 n(CO2)所以，n(CO) = 0.4 mol × 1/ 8 = 0.05 molm（CO）=28 g/mol × 0.05 mol = 1.4 g正確答案是A例6右圖中橫坐標(biāo)表示完全燃燒時(shí)耗用可燃?xì)怏wX（X=A、B、C）的物質(zhì)的量n（X），縱坐標(biāo)表示消耗O2的物質(zhì)的量n（O2），A、B是兩種可燃性氣體，C是A和B的混合氣體，則C中n（A）n（B）為（ ） A 21B12 C11D任意比 仔細(xì)地觀察圖示，分析圖象可以看出：1 mol A完全燃燒消耗0.5 mol O

14、21 mol B完全燃燒消耗2 mol O21 mol C（C是A、B混合氣）完全燃燒消耗1 mol O2可以利用1mol氣體燃燒耗O2進(jìn)行十字交叉計(jì)算：A 0.5 1 2 n(A) 1 = = B 2 0.5 1 n(B)正確答案為A。三、結(jié)論“十字交叉法”是中學(xué)化學(xué)中很常見的一種計(jì)算方法，有很多類型的計(jì)算習(xí)題均可采用此方法進(jìn)行求解，所有二元混合物中，求解各組分比例的習(xí)題就可以采用“十字交叉法”進(jìn)行計(jì)算。關(guān)鍵是要明確得出的差值之比的物理意義。由于此方法是由二元一次方程轉(zhuǎn)化而來，所以在列方程時(shí)所設(shè)未知數(shù)的物理意義就是此方法中所得差值之比的物理意義。十字交叉法的原理及其在化學(xué)計(jì)算中的應(yīng)用陳積常（

15、 瓊州學(xué)院化學(xué)系,海南 五指山 572200 ）摘要:十字交叉法是有關(guān)二組分混合物計(jì)算中一種常見的巧解方法,它可以簡化解題過程、提高解題速度.介紹了十字交叉法的原理,并通過例證說明其應(yīng)用.關(guān)鍵詞：十字交差法;原理;應(yīng)用;化學(xué)計(jì)算 十字交叉法又稱對(duì)角線法,也叫混合規(guī)則.作為一種簡化的解題方法,是實(shí)際計(jì)算方程式圖解形式，應(yīng)用于二元混合體系具有平均值的計(jì)算問題,它具有簡化思路、簡便運(yùn)算、計(jì)算速度快等顯著優(yōu)點(diǎn).近年來,十字交叉法在中學(xué)化學(xué)計(jì)算中廣泛使用,通過十字交叉得到差值的比值的含義如何確定,如果沒有真正理解十字交叉法含義,在使用該方法時(shí)將沒有真正達(dá)到簡化思路、快速準(zhǔn)確求解的目的,從而限制了該方法的

16、推廣和應(yīng)用.“十字交叉法”是通常中學(xué)化學(xué)計(jì)算必需掌握的一種計(jì)算方法,因?yàn)橛么朔ń忸}實(shí)用性強(qiáng)、速度快.學(xué)生若能掌握此方法解題,將會(huì)起到事半功倍的效果.以下是筆者幾年來對(duì)“十字交叉法”理解及體會(huì).1 十字交叉法的原理4:A×a%+B×b%=(A+B)×c% 整理變形得:A/B=(c-b)/(a-c ) 如果我們以100 g溶液所含的溶質(zhì)為基準(zhǔn)上式表示溶液混合時(shí)它們的質(zhì)量比與有關(guān)質(zhì)量分?jǐn)?shù)比的關(guān)系.可得如下十字交叉形式a c-b c b a-c指導(dǎo)老師:黎瑞珍對(duì)比,兩式不難看出:十字交叉關(guān)系中(c-b)/(a-c)為組分A和組分B混合時(shí)的質(zhì)量比.推廣到二組分混合體系中,當(dāng)

17、以一定質(zhì)量的混合體系為基準(zhǔn)所得十字交叉關(guān)系,其比值為質(zhì)量比(例如,質(zhì)量分?jǐn)?shù)是以質(zhì)量為基準(zhǔn));若有c-b比a-c的化學(xué)意義由平均值c決定,則比值就表示組分A中c-b和組分B中a-c所表示的量的比值.如c為質(zhì)量或質(zhì)量分?jǐn)?shù),則(c-b)/(a-c)表示組分A和組分B溶液的質(zhì)量之比.若c為密度,則(c-b)/(a-c)就表示組分A和組分B的溶液體積之比.若c為摩爾質(zhì)量,則(c-b)/(a-c) 就表示組分A和組分B的物質(zhì)的量比;此時(shí)可用十字交叉法求混合物中各組分的含量.2 十字交叉法的應(yīng)用例析：2.1 用于混合物中質(zhì)量比的計(jì)算例1 將鋁鐵合金18.5克溶于足量的鹽酸中產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)狀況下的氫氣11.2升,求

18、合金中鋁鐵的質(zhì)量之比是多少？解：在標(biāo)準(zhǔn)狀況下，求出氫氣的質(zhì)量M=1g,以混合物總質(zhì)量18.5g作為基準(zhǔn)物再根據(jù)鎂鋁與鹽酸的關(guān)系列出十字交叉式如下： Al 37 / 18 19/56 1 Fe 37/56 19/18 求得鋁與鐵質(zhì)量的比是9/28例2 鎂和鋁的混合物10g,與足量的稀硫酸充分反應(yīng),生成1.0g氫氣,混合物中鎂和鋁的質(zhì)量比為多少? 解：在標(biāo)準(zhǔn)狀況下，以混合物總質(zhì)量10g作為基準(zhǔn)物再根據(jù)鎂鋁與鹽酸的關(guān)交叉式如下： Mg 5/6 1/9 1 Al 10/9 1/6求得鎂與鋁的質(zhì)量比是2/3例3 KHCO3和CaCO3的混合物和等質(zhì)量的NaHCO3分別與鹽酸完全反應(yīng)時(shí),所消耗的酸的量相等

19、,則混合物中KHCO3與CaCO3的質(zhì)量比是多少? 解析:由化學(xué)反應(yīng)方程式:KHCO3+HCl=KCl+H2O+CO2CaCO3+2HCl=CaCl2+H2O+CO2以消耗HCl物質(zhì)的量1mol作為基準(zhǔn)物, 求出反應(yīng)掉KHCO3、CaCO3 、NaHCO3的質(zhì)量的數(shù)值分別為100g、50g、84g，依題意KHCO3和CaCO3的混合物84g與NaHCO384g均消耗1molHCl，即兩個(gè)分量值分別為100和50,平均值為84, 用十字交叉法圖解如下:KHCO3 100 34 84 CaCO3 50 16因?yàn)槭且晕镔|(zhì)消耗HCl的物質(zhì)的量1mol為基準(zhǔn)物,所以比值34/16=17/8 為碳酸氫鉀與

20、碳酸鈣消耗HCl的物質(zhì)的量之比,故原混合物中碳酸氫鉀與碳酸鈣的物質(zhì)的量之比為17/4,即質(zhì)量比也為17/4（因它們的相對(duì)分子質(zhì)量相等）.2.2 用于混合物中物質(zhì)的量比的計(jì)算例4 在標(biāo)準(zhǔn)狀況下，測(cè)得空氣和HCl混合氣體對(duì)氫氣的相對(duì)密度為17，求空氣和HCl氣體的物質(zhì)的量之比解:混合氣體的平均式量為17×2=34 ,以1 mol混合物為基準(zhǔn)物則十字交叉法如下:空氣 29 2.5 34 HCl 36.5 5求出空氣與HCl氣體的物質(zhì)的量比是1/2例5某Na2SO3已部分氧化成Na2SO4,經(jīng)測(cè)定該混合物中硫的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為25%,求混合物中Na2SO3和Na2SO4的物質(zhì)的量之比 (整數(shù)比)？

21、解：由平均質(zhì)量分?jǐn)?shù)25%，列出十字交叉法如下：Na2SO3 中 S % 25.397 % 2.465 % 25% Na2SO4 中 S % 22.535 % 0.397 %求得Na2SO3與Na2SO4 的物質(zhì)的量比是6/12.3 用于混合物中體積比的計(jì)算例6已知CH4, C2H4及其混合氣體在同溫同壓下分別為 0.71 g / L 、1.25 g / L 、1.16 g / L.求混合氣體CH4和C2H4的體積比是多少？解：以1mol 混合氣體密度1.16 g / L作為基準(zhǔn)物 則十字交叉法如下：CH4 0.71 0.09 1.16C2H4 1.25 0.45求得CH4與C2H4 的體積比是

22、1/3例7 已經(jīng) 2H2(g)+O2(g)=2H2O(g);H=-571.6千焦C3H8 (g)+5 O2(g)=3CO2(g)+4H2O(1); H=-2220千焦求H2和C3H8的體積比.解析:lmol C3H8完全燃燒放熱為:571.6/2=285.8千焦lmol C3H8完全燃燒放熱為:2220千焦lmol混合氣體完全燃燒放熱為:3847/5=769.4千焦列出十字交叉法如下：H2 285.5 1460.6 769.4C3H8 2220 483.6求得H2和C3H8 的體積比為3/1例8一種氣態(tài)烷烴和一種氣態(tài)烯烴，它們的分子式中所含碳原子數(shù)相同，若l體積這種混合烴在O2中充分燃燒，能生

23、成2體積的和2.4體積的水蒸氣，則混合中烷烴和烯烴的體積比是多少？解:設(shè)混合烴分子式為CxHy、烷烴與烯烴的體積比為CxHy + 3.2 O2 = 2 CO2+ 2.4 H2O1 3.2 2 2.4根據(jù)原子守衡定理得混合烴分子式為C2H4.8 即氫的原子數(shù)是4.8.十字交叉法如下：C2H6 6 0.8 4.8C2H4 4 1.2求得混合物中C2H6和C2H4 的體積比是2/32.4 用于混合物中原子個(gè)數(shù)比的計(jì)算例9 已知自然界中銥有兩種質(zhì)量數(shù)分別為191和193的同位素,而銥的相對(duì)分子質(zhì)量為192.22,求這兩種同位素原子個(gè)數(shù)比.解：以1 mol銥的相對(duì)分子質(zhì)量為192.22為基準(zhǔn)則十字交叉法

24、如下：191Ir 191 0.78 199.2 191Ir / 193Ir = 0.78 / 1.22193Ir 193 1.22求得191Ir 與193Ir 物質(zhì)的量比39/61 也是它們?cè)觽€(gè)數(shù)比.2.5 用于混合物中質(zhì)量分?jǐn)?shù)和體積分?jǐn)?shù)的計(jì)算例10 把0.200gNaCl和KI混和物溶于水后加入過量AgN03溶液析出0.449 g， 求原混和物中NaCl和KI的質(zhì)量百分?jǐn)?shù).解：分別計(jì)算產(chǎn)生沉淀物的質(zhì)量,根據(jù)化學(xué)方程式得：0.200 g NaCl生成 0.490 g AgCl0.200 g NaI 生成 0.283 g AgI則十字交叉法如下：NaCl 0.490 / 0.200 0.166 0.449/0.200 m( NaCl ) / m(KI) =0.166/ 0.041KI 0.283 / 0.200 0.041求得NaCl 和 KI 的質(zhì)量比是4/1，即他們的質(zhì)量分?jǐn)?shù)分別為80% ，20%例11在標(biāo)準(zhǔn)狀況下氫氣和一氧化碳的混合氣體7L，質(zhì)量為2.25g，求H2和CO的體