2018年秋高中數(shù)學第一章三角函數(shù)1.2任意的三角函數(shù)1.2.1第1課時任意角的三角函

1、第 1 課時任意角的三角函數(shù)的定義學習目標：1借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義.（重點、難 點）2.掌握任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）在各象限的符號.（易錯點）3.掌握公式一一 并會應用.自主預習探新知1.單位圓在直角坐標系中，我們稱以原點0為圓心，以單位長度為半徑的圓為單位圓.2任意角的三角函數(shù)的定義（1）條件在平面直角坐標系中， 設a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x,y）,那么：結論1y叫做a的正弦，記作 sin_a，即卩 sina=y;2x叫做a的余弦，記作 cos_a，即卩 COSa=X；3丫叫做a的正切，記作 tana，即 tana=y（x豐0）.

2、xx（3）總結正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù).3.正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域三角函數(shù)定義域sinaRCOSaRtana1xCRx，kn+專，kCZ 4正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內的符號（1）圖示：3.252.口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.5.誘導公式一1.思考辨析(1)sina表示 sin 與a的乘積.()y設角a終邊上的點P(x,y),r= |Op豐0,貝Usina=-，且y越大，sina的值越大.()(3)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.()終邊落在 y 軸上的角的正切函數(shù)值為0.()解

3、析(1)錯誤.sina表示角a的正弦值，是一個“整體”.(2)錯誤.由任意角的正弦函數(shù)的定義知，sina=y.但y變化時，sina是定值.正確.(4)錯誤.終邊落在y軸上的角的正切函數(shù)值不存在.答案x(2)x(3)V(4)x2.已知 sina 0, cosa V0,則角a是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角B 由正弦、余弦函數(shù)值在各象限內的符號知，角a是第二象限角.sina圖 1-2-23.252.sin3n =sin325sinTn合作探究攻重難1三角函數(shù)的定義及應用探究問題1. 一般地，設角a終邊上任意一點的坐標為(x,y),它與原點的距離為r,則 sina, c

4、osa, tana為何值？提示：sina=y,cosa=x,tana=yrrx2. sina, cosa, tana的值是否隨P點在終邊上的位置的改變而改變？提示：sina, cosa, tana的值只與a的終邊位置有關，不隨P點在終邊上的位置的改變而改變.例 (1)已知角0的終邊上有一點F(x,3)(x豐0)，且 cos0 =-0 x，則 sin0+ tan0的值為_.(2)已知角a的終邊落在直線，3x+y= 0 上，求 sina, cosa, tana的值.思路探究依據(jù)余弦函數(shù)定義列方程求xT|依據(jù)正弦、正切函數(shù)定義求sin0+ tan0分類討論求 sina, cosa, tanasin0

5、 +tan0=出嚴.故 coscosa =x=-23,sina +sina1,2，貝Ucosa+ sina的值為1a=y=2,(1)3T30或3 10301010_ x(1)因為 r =./x2+ 9, cos0=-,所以x=%2+ 9.又x工 0,所以x= 1,所以r=10.又y= 30，所以0是第一或第二象限角.3n00為第一象限角時，sin0= 10 ,tan0=3,則 sin0 +tan0=0為第二象限角時，sin0=3100,tan0 =3,判斷角a的終邊位置4.角a終邊與單位圓相交于點由r= |OQ=12+22岳sina =- =,cos取52tana2.12.將本例 的條件“落在

6、直線3x+y= 0 上”改為“過點 R 3a,4a) (a*0)”，求2sina +cosa.解因為r= 3a2+la2=5|a| ,若a0,則r= 5a,角a在第二象限,規(guī)律方法由角a終邊上任意一點的坐標求其三角函數(shù)值的步驟:(1)已知角a的終邊在直線上時，常用的解題方法有以下兩種:先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(2)直線 3x+y= 0,即y= 3x,經過第二、四象限，在第二象限取直線上的點(一 1,3)，貝Ur= .12+3 一2= 2，所以 sina =#,cos12，tana=-3;何在第四象限取直線上的點(1 , 3),所以sin母題探究

7、:2+,32=2,312,cosa =,tana = 3.1將本例(2)的條件“ 3x+y= 0”改為y=2x”其他條件不變，結果又如解當角的終邊在第一象限時，在角的終邊上取點P(1,2)，由r=|Op=12+ 22=22 515=,cosa =5555當角的終邊在第三象限時，在角的終邊上取點5，得 sina，tan2 -=2.1Q-1, 2),22=5，得:1 並a=5 =歹，y4a4sina=廠晶=5，cosax 3ar5a35,所以 2sin83,a +cosa =一一一=1.55若a0).則 sina =, cosax=F 已知a的終邊求a的三角函數(shù)時，用這幾個公式更方便.(2)當角a

8、的終邊上點的坐標以參數(shù)形式給出時， 一定注意對字母正、負的辨別，若正、負未定，則需分類討論三角函數(shù)值符號的運用(1)已知點P(tana, cosa)在第四象限，則角a終邊在(C.第三象限D.第四象限(2)判斷下列各式的符號：sin 145 cos( 210 ): sin 3cos 4tan 5.思路探究(1)先判斷 tana, cosa的符號，再判斷角a終邊在第幾象限.先判斷已知角分別是第幾象限角，再確定各三角函數(shù)值的符號，最后判斷乘積的符 號.bana0,(1) C (1)因為點 P 在第四象限，所以有由此可判斷角a終邊在第三cosa 0, 210= 360+ 150, 210是第二象限角,

9、 cos(210)v0,sin 145cos(210 )v0.%3n3nT V3V n , n V4v, -V5V2n ,2 2 2sin 30,cos 4V0,tan 5V0,sin 3cos 4tan 5 0.規(guī)律方法判斷三角函數(shù)值在各象限符號的攻略：1 基礎：準確確定三角函數(shù)值中各角所在象限；2 關鍵：準確記憶三角函數(shù)在各象限的符號；8 注意：用弧度制給出的角常常不寫單位，不要誤認為角度導致象限判斷錯誤.提醒：注意巧用口訣記憶三角函數(shù)值在各象限符號.卜例A.第一象限【導學號：84352022】B.第二象限跟蹤訓練1._ 已知角a的終邊過點(3a 9,a+ 2)且 cosa0,則實數(shù)a的取

10、值范 圍是_.2va3因為 cosa 0,所以角a的終邊在第二象限或y軸非負半軸上，因為a終邊過(3a 9,a+ 2),3a9w0,所以七所以一 2va 0,aaa2.設角a是第三象限角，且_sin= sin，則角2 是第象限角.a四角a是第三象限角，則角-；2 是第二、四象限角，aa_ a口 十一十-sin 牙 =sin y，二角是第四象限角.求值:tan 405 sin 450 + cos 750解(1)原式=tan(360 + 45 ) sin(360 + 90 ) + cos(2x360+ 30)=tan 45 sin 90 + cos 30 1-1+# 呼(n n fn、( n 、2

11、n +3 cos |4n + +tan i4n+才cos j 4n + nnn=sin cos+tan cos364規(guī)律方法利用誘導公式一進行化簡求值的步驟(1)定形：將已知的任意角寫成2kn+a的形式，其中a 0,2n) ,k Z.(2)轉化：根據(jù)誘導公式，轉化為求角a的某個三角函數(shù)值.求值：若角為特殊角，可直接求出該角的三角函數(shù)值.跟蹤訓練3.化簡下列各式：2 2I舉廈自._誘導公式一的應用(2)sin+ tan15n13nWcosW原式=sinx_23227n亍0S23n6(1)asin( 1 350 ) +btan 405 2abcos( 1 080 );f 11n、12(2) sin

12、 +cos-5n tan 4n.【導學號：84352023】在第三象限或第一象限.4.在平面直角坐標系xOy中，角a與角3均以Ox為始邊，它們的終邊關于1，貝Usin3=5設角a的終邊與單位圓相交于點P(x,y),2 2解(1)原式=asi n( 4X360+ 90) +bta n(360+ 45)2abcos(3X360)=a2sin 90 +b2tan 45 2abcos 0 2 2 2=a+b 2ab= (ab).(2)sin11 12?n +COs石ntan 4n=sin-tan 0 = sinn16+0=2.1.sin( 315 )的值是(A.C.2.A.C.當堂達標固雙基1B2sin( 315 ) = sin( 360+ 45)=sin 45若 sin0cos00,貝 U0在(第一或第四象限第一或第二象限B.D.因為 sin0cos0 0,所以 sin0第一或第三象限第二或第四象限v0,cos0v0 或 sin0 0,cos0 03.已知角a終邊過點 R11)，貝 U tana的值為(A.B.C.D.由三角函數(shù)定義知 tan1a= =1.x軸對稱,LT *右 sina11由題意知y= s