空間向量與立體幾何章末復(fù)習(xí)課

1、THU THIfth第三章空間向量與立體幾何章末復(fù)習(xí)課I【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解空間向量的概念， 掌握空間向量的運(yùn)算法則及運(yùn)算律2掌握空間向量數(shù)量積的運(yùn)算及其應(yīng)用，會(huì)用數(shù)量積解決垂直問(wèn)題、夾角問(wèn)題.3理解空間向量基本定理，掌握空間向量的坐標(biāo)表示 4會(huì)用基向量法、坐標(biāo)法表示空間向量.5會(huì)用向量法解決立體幾何問(wèn)題.問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的向量表示設(shè)直線I, m的方向向量分別為a, b,平面a, B的法向量分別為v,則線線平行I / m? a / b? a= kb , k R線面平行I /a?aX m?a (!= 0面面平行all 3? m/ v? m= kv , k R線線垂直I 丄

2、m? a丄 b? a b= 0線面垂直1 丄a?a /M?a = k m k R面面垂直a丄 3? m丄v? mV = 0線線夾角I, m的夾角為qow 9<n), cos 0=件豈2 八|a |b|線面夾角I, a的夾角為 0(0< 9<n), sin 0=2 |a|M面面夾角a, 3 的夾角為 00三 07), COS 0=2|MV|知識(shí)點(diǎn)二用坐標(biāo)法解決立體幾何問(wèn)題的步驟(1) 建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)；進(jìn)行相關(guān)坐標(biāo)的運(yùn)算；(4)寫出幾何意義下的結(jié)論.關(guān)鍵點(diǎn)如下：(1)選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.坐標(biāo)系的選取很重要，恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以使得點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的

3、坐標(biāo)易求且簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)的確定.將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的問(wèn)題，必須確定點(diǎn)的坐標(biāo)、直線 的方向向量、平面的法向量，這是最核心的問(wèn)題.(3)幾何問(wèn)題與向量問(wèn)題的轉(zhuǎn)化平行、垂直、夾角問(wèn)題都可以通過(guò)向量計(jì)算來(lái)解決，如何轉(zhuǎn) 化也是這類問(wèn)題解決的關(guān)鍵.題型探究類型一空間向量及其運(yùn)算5例1如圖，在四棱錐 S ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，S到A、B、C、D的距離都等于2給出以下結(jié)論：SA+ SB+ SC+ SD= 0; SA+ SB- SC SD= 0; Sa sb+ sc Sd= 0 ； SaSb= scsd； Sasc= o,其中正確結(jié)論的序號(hào)是 答案 解析 容易推

4、出：SA SB+ SC SD= BA+ DC = 0，所以正確；又因?yàn)榈酌?ABCD是邊長(zhǎng) 為 1 的正方形，SA= SB= SC= SD= 2，所以 SA -SB= 2 2 cos/ ASB, SC SD= 2 2 cos/ CSD, 而/ ASB= / CSD，于是SA SB= SC SD,因此 正確，其余三個(gè)都不正確，故正確結(jié)論的序 號(hào)是反思與感悟向量的表示與運(yùn)算的關(guān)鍵是熟練掌握向量加減運(yùn)算的平行四邊形法則、三角形 法則及各運(yùn)算公式，理解向量運(yùn)算法則運(yùn)算律及其幾何意義.旳Pjf1f跟蹤訓(xùn)練1 平行六面體A1B1C1D1 ABCD ,M分AC成的比為,N分A©成的比為2,設(shè)Ab

5、= a, Ad = b, AA1= c,試用a、b、c表示MN.解 如題圖，連接 AN,則MN = MA + AN ,由已知ABCD是平行四邊形,故 AC = AB+ AD = a+ b,1 1 又 MA = 3AC = 3( a + b).33-> -> -> -> -> -> -> 1 -> 1由已知，N 分A1D成的比為 2,故 AN = AD + DN = AD ND = AD -A1D = 3(c+ 2b). 于是 MN = MA + AN= *(a+ b)+ 3(c+ 2b) =3( a+ b+ c).類型二 利用空間向量證明空間中的

6、位置關(guān)系例2 如圖，已知在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AC丄BC, D為AB的中點(diǎn)，AC= BC= BB1.求證：（"BCjl AB1;（2）BC1 平面 CAQ.證明 如圖，以C1為原點(diǎn)，分別以 C1A1, C1B1, CQ所在直線為x軸，y軸，z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè) AC= BC= BB1= 2,則 A(2,0,2), B(0,2,2), C(0,0,2) ,(2,0,0),B1(0,2,0), C1(0,0,0) , D(1 , 1,2).(1)由于 BC1= (0 , 2, 2),AB1 = (一 2,2 , 2),因此 BC1 AB1 = 0 4+ 4 = 0

7、 , 因此BC1丄AB1 ,故BC1丄AB1.取A1C的中點(diǎn)E ,連接DE,由于 E(1,0,1),所以 ED = (0,1,1), 又 BC1= (0 , 2, 2),所以 ED = 2-BC1 , 又ED和BC1不共線,所以 ED / BC1 ,又DE?平面CA1D , BC1?平面CAq ,故BC1 平面CA1D.反思與感悟（1）證明線與面的平行與垂直：如果直線的方向向量與平面的一個(gè)法向量垂直, 且直線不在該平面內(nèi)，那么這條直線就與該平面平行.如果直線的方向向量與平面的一個(gè)法 向量共線，則直線與平面垂直.(2)證明面與面的平行與垂直：如果兩個(gè)不重合平面的法向量互相平行，那么這兩個(gè)平面互相

8、 平行，法向量互相垂直，則這兩個(gè)平面互相垂直.求證：平面AED丄跟蹤訓(xùn)練2 正方體ABCD AiBiCiDi中，E、F分別是BBCD的中點(diǎn),平面AiFDi.證明如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為11 , Di(0,0,1), A(1, 0,0),DA = (1,0,0) = DiAi, DE =1, 1,D?F= 0, 1, 1yi, zi), n = (X2y2, Z2)分別是平面AED和AiFDi的一個(gè)法向量,m DA = 0, 由 Tm DE = 0xi= 0,得i|xi+ yi + 7 zi= 0.L2令 yi= 1,得 m= (0,1 , 2).n 從1= 0,又由n

9、D?F = 0x2= 0,得i抄2 Z2= 0.令 Z2= 1，得 n= (0,2,1).F n = (0,1 , 2) (0,2,1) = 0, m± n,故平面 AED丄平面AiFDi.類型三利用空間向量求角例3 如圖所示，長(zhǎng)方體 ABCD AiBiCiDi中，AB= 16 , BC = 10, AAi= 8,點(diǎn)E, F分別在 AiBi, DiCi 上, AiE = DiF = 4過(guò)點(diǎn)E, F的平面a與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.(1) 在圖中畫出這個(gè)正方形 (不必說(shuō)明畫法和理由);D, _£(2) 求直線AF與平面a所成角的正弦值. 解(1)交線圍成的正方形

10、 EHGF如圖：(2)作 EM 丄 AB,垂足為 M，貝U AM = AiE= 4, EM= AAi= 8.因?yàn)镋HGF為正方形，所以 EH = EF = BC = 10.于是 MH = EH2 EM2= 6，所以 AH = 10.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，IDA的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(xiàn)(0,4,8)，F(xiàn)E = (10,0,0),HE = (0,- 6, 8).設(shè)n = (x, y, z)是平面EHGF的法向量，n FE = 0,10x= 0,tt則即所以可取 n= (0,4,3).又AF = (- 10

11、,4,8)，故|cosn, AF>n HE = 0,- 6y+ 8z= 0，_ |n AF|_ 匸 t _ 15 .|n|AF|所以AF與平面EHGF所成角的正弦值為 t5.15反思與感悟 用向量法求空間角的注意點(diǎn)(1) 異面直線所成角：兩異面直線所成角范圍為0°90 °需找到兩異面直線的方向向量,借助方向向量所成角求解.先求這個(gè)平面 a的法向量n與直_ |cos n, a>(2)直線與平面所成的角：要求直線a與平面a所成的角a,|,求a線a方向向量a的夾角的余弦cosn, a，再利用公式sin(3) 二面角：如圖，有兩個(gè)平面a與B分別作這兩個(gè)平面的法向量n1與

12、n2, 則平面a與B所成的角跟法向量 m與n2所成的角相等或互補(bǔ)，所以首先跟蹤訓(xùn)練3 如圖，在幾何體 ABCDE 中,必須判斷二面角是銳角還是鈍角.中占I 八、(1)求證：GF /平面ADE;平面 BEC, BE丄 EC, AB_ BE_ EC_ 2,(2) 求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.方法一證明 如圖，取AE的中點(diǎn)H, 連接HG, HD ,又G是BE的中點(diǎn)，1所以 GH / AB，且 GH _ 2AB.又F是CD的中點(diǎn),1所以 DF = -CD.由四邊形ABCD是矩形得，AB/ CD, AB = CD ,所以 GH / DF，且 GH = DF ,從而四邊形HGFD是平行四

13、邊形，所以 GF / DH.又DH?平面 ADE, GF?平面ADE ,所以GF /平面ADE.如圖，在平面 BEC內(nèi)，過(guò)B點(diǎn)作BQ / EC.因?yàn)锽E丄CE，所以BQ丄BE.又因?yàn)?AB丄平面BEC，所以 AB丄BE, AB丄BQ.以B為原點(diǎn)，分別以bE ,BQ, BA的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則 A(0,0,2), B(0,0,0), E(2,0,0), F(2,2,1).因?yàn)锳B丄平面BEC，所以BA = (0,0,2)為平面BEC的法向量.設(shè) n= (x, y, z)為平面AEF的法向量.又 AE = (2,0 , - 2), AF = (2,2 , - 1)

14、,n AE=0, 由 Tn AF = 0,2x 2z= 0,得s2x+ 2y z= 0.取 z= 2,得 n = (2, 1,2).從而|cosn, BA> |= |n巴1 = % =2所以平面 AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值 2 X 33|n| |BA|為|.方法二 (1)證明如圖，取AB中點(diǎn)M,連接MG , MF.又G是BE的中點(diǎn)，可知 GM / AE.又AE?平面ADE , GM ?平面ADE ,所以GM /平面ADE.在矩形ABCD中，由M, F分別是AB, CD的中點(diǎn)得 MF / AD.又AD?平面 ADE , MF?平面ADE.所以MF /平面ADE.又因?yàn)?GM n

15、 MF = M, GM?平面 GMF , MF?平面 GMF ,所以平面 GMF /平面ADE.因?yàn)镚F?平面GMF，所以GF /平面ADE.同法一.當(dāng)堂訓(xùn)練1. 下列各組向量中不平行的是()A . a = (1,2 , - 2), b= (-2, - 4,4)B . c= (1,0,0), d= ( 3,0,0)C. e= (2,3,0), f= (0,0,0)D . g= ( 2,3,5), h = (16,24,40)答案 D解析 A : b= 2 a ? a/ b; B : d= 3c? d/ c; C:而零向量與任何向量都平行.2 .若 A(1 , 2,1), B(4,2,3), C

16、(6, 1,4)，則 ABC 的形狀是()A .不等邊銳角三角形B 直角三角形D .等邊三角形C 鈍角三角形答案 A>> >>> >>解析 AB = (3,4,2), AC =(5,1,3), BC= (2,3,1),ABAC > 0得 A 為銳角；CACB > 0，得C 為銳角；BA BC > 0，得B為銳角;又|AB|m |AC|m |BC|,所以為不等邊銳角三角形.3.如圖所示，直三棱柱 ABC AiBiCi中，AAi= AB= AC, AB丄AC, M 是CCi的中點(diǎn)，Q是BC的中點(diǎn)，P是AiBi的中點(diǎn)，則直線 PQ與AM 所

17、成的角為( )n代6nB.4n nc.3 d.2答案 D解析 以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC, AB, AAi所在直線分別為x軸,y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AAi= AB= AC = 2,則AM = (2,0,i), Q(i,i,O), P(0,i,2), QP = ( i,0,2),所以 QP AM = 0,又異面直線所成的角為銳角或直角, 所以QP與AM所成角為才.4已知a, b, c是空間的一組基底，設(shè)p= a+ b, q= a b,則下列向量中可以與p, q 一起構(gòu)成空間的另一組基底的是 ()D .以上都不對(duì)答案 C解析 / a, b, c不共面， a+ b, a b, c不共

18、面, p, q, c可構(gòu)成空間的一個(gè)基底.5.已知平面 a經(jīng)過(guò)點(diǎn)0(0,0,0)，且e= (i,i,i)是a的一個(gè)法向量，M(x, y, z)是平面 a內(nèi)任意一點(diǎn)，貝U x, y, z滿足的關(guān)系式是.答案 x+ y+ z= 0解析 OM e= (x, y, z) (1,1,1) = x+ y+ z= 0.(規(guī)律與方法 (1)理解空間向量、空間點(diǎn)的坐標(biāo)的意義，掌握向量加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積的坐標(biāo)表示以 及兩點(diǎn)間的距離公式、夾角公式，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可將立體幾何中平行、垂直、夾 角、距離等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算，如(1)判斷線線平行或三點(diǎn)共線，可以轉(zhuǎn)化為證a / b(b0)? a= 也

19、證明線線垂直，轉(zhuǎn)化為證a丄b? a b= 0,若a= (xi, yi,乙)，b=(X2, y2, Z2)，則轉(zhuǎn)化為證xiX2 + yiy2 + Ziz2= 0 ； (3)在立體幾何中求線段的長(zhǎng)度冋題時(shí)，轉(zhuǎn)化為=|a|2,或利用空間兩點(diǎn)間的距離公式；(4)在求異面直線所成的角或線面角及二面角時(shí)，轉(zhuǎn)化為計(jì)算向量的夾角，即利用公式cosa, b>= -a-bl，但需注意a, b與所求角的關(guān)系.|a|b|(2) 利用空間向量解決立體幾何中的平行問(wèn)題 證明兩條直線平行，可轉(zhuǎn)化為證明這兩條直線的方向向量是共線向量，但要注意說(shuō)明這兩 條直線不共線. 證明線面平行的方法a.證明直線的方向向量與平面的法向

20、量垂直，但要說(shuō)明直線不在平面內(nèi).b .證明能夠在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與已知直線的方向向量共線，也要說(shuō)明直線不在平面內(nèi).c.利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量是共面向量.同時(shí)要注意強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi).(3) 向量法通過(guò)空間坐標(biāo)系把空間圖形的性質(zhì)代數(shù)化，避免了尋找平面角和垂線段等諸多麻 煩，使空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判定和計(jì)算程序化、簡(jiǎn)單化主要是建系、設(shè)點(diǎn)、計(jì)算 向量的坐標(biāo)、利用數(shù)量積的夾角公式計(jì)算.(4) 空間角包括線線角、線面角、二面角，這三種角的定義確定了它們的取值范圍，結(jié)合它們 的取值范圍可以用向量法進(jìn)行求解.40分鐘課時(shí)作業(yè)強(qiáng)化訓(xùn)練扌石展提升一、選擇題1 .在

21、下列三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是() 若三個(gè)非零向量 a, b, c不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則 a, b, c共面； 若兩個(gè)非零向量 a, b與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a, b共線； 若a, b是兩個(gè)不共線向量，而 c= /a +回入 讓R且入哥0)，則a, b, c構(gòu)成空間的一 個(gè)基底.A. 0 B. 1 C. 2 D. 3答案 C解析 易知為真命題；中，由題意得a, b, c共面，故為假命題.故選 C.2. 在正方體 ABCD AiB1C1D1中，底面ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn) O,且OA= a, OB = b,則BC 等于()A . a bB . a + b1C.a bD .

22、2(a b) 答案 A解析 BC = BO + OC = BO OA = OA OB = a b.3 .在正方體 ABCD AiBiCiDi中，M是AB的中點(diǎn)，貝V sin DBi,A1 B巫C亞D血A. 2 B. 15 C. 3 D. 5答案 B解析 如圖所示，以 D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)棱長(zhǎng)為1,貝U D（0,0,0），Bi(1,1,1), C(0,1,0),1Cm 的值等于（）M(1 , 2，0), 二 DBi= (1,1,1), 1CM = (1 , 2, 0). cos DB1 ,CM >DB1 CM|DB1|CM|14.在平行六面體 ABCD A1B1C1D1中，向量

23、 必，D, A1C1是（A .有相同起點(diǎn)的向量B .等長(zhǎng)向量C 共面向量D .不共面向量答案 C 解析 因?yàn)镈1C D1A = AC, 且 AC = A1C1, 所以 D1C D 1A= A1C1, 即 DC= D1A + A1C1,又DiA與AiCi不共線,y, z),所以DiC, DiA, A1C1三向量共面.5.冋時(shí)垂直于a= (2,2,i),i22A. (3 ,3 ,3)i22B . (- 3 ,3 ,-2)ii2C.(3，-3 ,2)i22亠 i2D. (3 ,3 ,3咸(-3 ,3 ,答案 D解析設(shè)所求向量為c= (x,b= (4,5,3)的單位向量是()23)由 c a = 0

24、及 cb= 0 及 |c|= i2x+ 2y+ z= 0,得 4x+ 5y+ 3z= 0,.x2+ y2+ z2= i,檢驗(yàn)知選D.入等于()6已知 a= (-2,i,3), b= (3, - 4,2), c= (7,人 5),若 a, b, c平行，則實(shí)數(shù)i2ii2i i23i23A B 一 C d i3 . i3 i3 . i3答案 D解析 易得 c= ta + (!)= ( 2t+ 3 i, t 4 p, 3t + 2 p),7 = 2t+ 3 i所以 5 = 3t+ 2 i-X= t 4 i丄t = i3 ,一3i解得尸亦,Ai3故選D.7. 如圖所示，四面體A BCD中，點(diǎn)E是CD的

25、中點(diǎn)，記AB = a, AC= b,AD = c,則BE等于()1 1A. a qb+ 2c1 1B. a + 2b+ 2c1 1Ca b+1 1D. 2a+ b+ 2c答案 B解析連接AE, T E是CD的中點(diǎn)，AC= b, AD = c,AE= 2(AC+ AD)= 2(b+ c), 在厶ABE中,BE= BA+ AE = AB+ AE, 且 AB = a,二 BE = a+ 2(b+ c)1 1 =a+ 2 b+ qC.二、填空題8. 已知a, b, c是兩兩垂直的單位向量，則|a 2b+ 3c|的值為答案 14解析|a 2b+ 3cf= |a|2+ 4|b|2+ 9|c|2 4a b+

26、 6a c 12b c= 14, 故 |a 2b+ 3 c|=. 14.x的取值范圍是9 .已知a = (3, 2, 3), b= ( 1, x 1,1)，且a與b的夾角為鈍角，則且a與b的夾角不為n即 cos a, b> 豐一1,55解得 x ( 2, 3)U(3，+ g)10.如圖所示，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD AiBiCiDi中，點(diǎn)E是棱CCi的中點(diǎn)，則異面直線 DiE與AC所成角的余弦值是 .答案嚴(yán)5解析 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則 A(4,0,0) , C(0,4,0),Di(0,0,4), E(0,4,2), AC = ( 4,4,0), DiE= (0,4, 2),co

27、sAC,DiE>i6.32X 20.io5 ，所以異面直線DiE與AC所成角的余弦值為i0"5-三、解答題ii 如圖所示，在四棱錐 P ABCD，底面ABCD為平行四邊形,證明/ PA=DA DAB=60° AB= 2AD , PD 丄底面 ABCD，求證：RA丄 BD.> > >DB = DA + DCPAdb = (DA DP) (DA + DC)才 2z 才才 才才 才=DA + DA DC DP DA DP DCcos 120 =0.Z 2ZZ=DA + |DA | 2|DA | PA丄 DB,即FA丄BD.12. 如圖，已知平行六面體 AB

28、CD AiBiCiDi的底面ABCD是菱形,且/ CiCB=Z CiCD = Z BCD = 60°當(dāng)TD的值等于多少時(shí)，能使CCiAiC丄平面CiBD?解不妨設(shè)CC1= x, C" 1使AiC丄平面CiBD.則 AiC丄 CiB, AiC丄 CiD,而 Ci D = CiC + CD ,AiC = AiDi+ DiCi+ CiCAD + DC + Ci C由AiC CiD = 0,之 一之一之一之一之一之 2 之2得(AD + DC + CiC) (CiC + CD)= CiC CD +CiC AD +CdAD = 0,2X x 注意到 CiC AD + CD AD = 2 22 x