二次函數(shù)壓軸題三角形面積綜合

1、面積系列之最值定值等值問題題型一：最值問題【問題與方法】如圖，拋物線y連接BC,拋物線在線段2x 3與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C,BC上方部分取一點 P,連接PB、PC,使得4PBC面積最大，求面積最大值及此時 P點坐標.【分析】以求 PBC面積最大，在底2邊BC確定不變的前提下，PH最大即可.過點P作PQ / BC,當PQ與拋物線相切時，PQ與BC距離最大，即 PH最大. 如何求解P點坐標？(1)(2)求BC解析式：y=-x+3;根據(jù)PQ/BC,可設PQ解析式：y=-x+m；(3)(4)根據(jù)相切，聯(lián)立方程：x2 2x 3 x m , =0 ,可求m的值根據(jù)P點坐標，

2、即可求得 4PBC面積的最大值.但其實即便算出了 P點坐標，求4PBC面積也還是要費點事 不過確為另一類最值問題提供了一種思路：如圖，拋物線yx2【最值衍生】2x 3與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C,連接BC,拋物線在線段BC上方部分取一點 P,連接PB、PC.(1)垂線段最值：過點P作PH，CB交CB于H點，求PH最大值及此時 P點坐標.思路1:所謂PH最大,即4PBC面積最大，可用鉛垂法求得 4PBC面積最大值，再除以BC即可得PH最大值.思路2:過P點作PQ，x軸交BC于Q點，則PHQsbocPHBOPQBCPH PQ BO ,PQ (k為直線BC的斜率)BC 1k

3、2(2)相關三角形最值：過點 P作PHLBC交BC于H點，作PQ，x軸交BC于Q點，求 PHQ周長最大值及面積最大值.思路：把握住 PHQsboc,不管是求周長最大還是面積最大，都可轉化為PQ最大值.HQ.1 k2PQ, PH / PQ ,周長、面積均可求.1 k214【2019聊城中考(刪減)】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y ax2 bx c與x軸交于點A( 2,0),點B(4,0),與y軸交于點C(0,8),連接BC ,又已知位于y軸右側且垂直于 x軸的動直線l ,沿x軸正方向從O運動到B (不含。點和B點)，且分別交拋物線、線段 BC以及x軸于點P , D , E .(1)求拋物線的

4、表達式;PFBC ,垂足為F ,當直線l運動時，求Rt(1) y2x 8 ；(2)根據(jù)B、C兩點坐標得直線BC 解析式：y=-2x+8,設點P坐標為2m, m則點D坐標為m, 2m 8 ,故線段 PD=-m2+2m+8-(-2m+8)=-m2Mm,當m=2 時，PD取到最大值4,8 51FD 5，SPFD 216【2019高新區(qū)一模(刪減)】 如圖，在平面直角坐標系中， 拋物線y ax2 2ax 3a(a 0)與x軸交于A、B兩點(點A在 點B左側)，經(jīng)過點A的直線l : y kx b與y軸交于點C ,與拋物線的另一個交點為 D ,且 CD 4AC .(1)直接寫出點 A的坐標，并用含a的式子

5、表示直線l的函數(shù)表達式(其中k、b用含a的 式子表示).(2)點E為直線l下方拋物線上一點，當 ADE的面積的最大值為 竺時，求拋物線的函數(shù)4 表達式；【分析】(1)點A坐標為 1,0，點D坐標為 4,5a ,可得直線l的解析式為：y=ax+a.(2)用鉛垂法根據(jù)最大面積反求參數(shù)a.設E點坐標為 m,am2 2am 3a ,作EF±x軸交AD于F點，則F點坐標為 m,am a ,2EF am a am 2am 3a25 a4當m 2時，EF最大值為空a . 24 ADE面積最大值為15 25a 空，244解得：a -.5，拋物線解析式為：y x2 x 55 5 題型二：定值問題【問題

6、描述】如圖，拋物線y x2 2x 3與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C,連接BC,拋物線在線段 BC上方部分取一點 P,連接PB、PC,若4PBC面積為3,求點P 坐標.思路1:鉛垂法列方程解.根據(jù)B、C兩點坐標得直線 BC解析式：y=-x+3,設點P坐標為m, m2 2m 3 ,過點P作PQx軸交BC于點Q,則點Q坐標為（m, -m+3）, 2_2_PQ m 2m 3 m 3 m 3m ,12S pbc 3 m 3m 3 , -2分類討論去絕對值解方程即可得m的值.思路2:構造等積變形ABC同底等高三角形面積相等.取BC作水平寬可知水平寬為3,根據(jù)4PBC面積為3,可知鉛

7、垂高為2,在y軸上取點Q使得CQ=2,過點Q作BC的平行線, 交點即為滿足條件的 P點.當點Q坐標為0,5）時，PQ解析式為：y=-x+5,聯(lián)立方程：x2 2x 3當點Q坐標為（0,1）時,x 5,解之即可.PQ解析式為：y=-x+1,聯(lián)立方程：x22xx 1 ,解之即可.【2019臨沂中考(刪減)】拋物線在平面直角坐標系中，直線y x 2與x軸交于點A,2y ax bx c(a 0)經(jīng)過點 A、B .(1)求a、b滿足的關系式及c的值.(2)如圖，當a 1時，在拋物線上是否存在點P,使 PAB的面積為1?若存在，請求出符合條件的所有點 P的坐標；若不存在，請說明理由.【分析】(1)點A坐標為

8、(-2,0),點B坐標為(0,2),代入解析式可得：c=2, 4a-2b+2=0(2)考慮A、B水平距離為2, 4PAB的面積為1,故對應的鉛垂高為 1.當a=-1時，可得b=-1 ,拋物線解析式為 y=-x2x+2.取點C (0,3)作AB的平行線，其解析式為：y=x+3,聯(lián)立方程-x2x+2=x+3,解得x=-1 ,故點P坐標為(-1,2)取點D (0,1)作AB的平行線，其解析式為： y=x+1, 聯(lián)立方程-x2x+2=x+1 ,解得x11 V2, x21 花.點B坐標為 1 72,五、點P3坐標為1 &,近.P3(2018 武漢)拋物線 L: yx2 bx c經(jīng)過點A (0,1

9、),與它的對稱軸直線 x=1交于點B.(1)直接寫出拋物線 L的解析式；(2)如圖1,過定點的直線 y kx k 4 k 0與拋物線L交于點M、N.若 BMN的面積等于1,求k的值.【分析】(1)解析式：yx2 2x 1 ；(2)考慮到直線過定點 Q (1,4),且M、N均為動點，故考慮用割補法.'BMNS（QBNSQBM ?分別過M、N作對稱軸的垂線，垂足分別記為G、H,_1 -1 -1 -Sbmn QB NH QB MG QB NH MG 222-QB xnxm ,2考慮xnxm :聯(lián)立方程:x2 2x 1 kx k 4 ,化簡得 x2xn xmk 2 2 4 k 3 k2 8 ,

10、StBMN 1 2 Jk2 8 1 , 2解得：k13, k2 3 （舍）.故k的值為-3.題型三：等值問題【問題描述】如圖，拋物線y x2 2x 3與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C, 連接BC,拋物線上存在一點 P使得4PBC的面積等于BOC的面積，求點 P坐標.思路1:鉛垂法計算出 BOC面積，將等積問題”轉化為 定積問題”，用鉛垂法可解.思路2:構造等積變形過點O作BC的平行線，與拋物線交點即為所求P點，另外作點O關于點C的對稱點M,過點M作BC平行線與拋物線的交點亦為所求 P點.先求直線解析式，再聯(lián)立方程即可求得P點坐標.【2019涼山州中考】如圖，拋物線y ax

11、2 bx c的圖象過點A( 1,0)、B(3,0)、C(0,3).(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P ,使得 PAC的周長最小，若存在，請求出點P的坐標及 PAC的周長；若不存在，請說明理由；(3)在(2)的條件下，在 x軸上方的拋物線上是否存在點M (不與C點重合)，使得Spam S pac ?若存在，請求出點 M的坐標；若不存在，請說明理由.【分析】(1)拋物線解析式為：y=-x2+2x+3;(2)將軍飲馬問題，作點C關于對稱軸的對稱點 C' (2,3),連接AC',與對稱軸交點即為所求P點，可得P點坐標為(1,2), APAC的周長亦可求.(3

12、)過點C作AP平行線與拋物線交點即為 M點，聯(lián)立方程得解； 記AP與y軸交點為Q點，作點C關于Q點的對稱點點 D,過點D作AP的平行線，與拋物線在 x軸上方部分的交點即為所求 M點, 聯(lián)立方程得解.本篇總結：最值問題用鉛垂，定值等值構等積.面積與二次函數(shù)218. (2018?武漢)拋物線L:y x bx c經(jīng)過點A(0,1),與它的對稱軸直線 x 1交于點B .(1)直接寫出拋物線 L的解析式；如圖1,過定點白直線y kx k 4(k 0)與拋物線L交于點M、N .若 BMN的面積等于1,求k的值；(3)如圖2,將拋物線L向上平移m(m 0)個單位長度得到拋物線 L1,拋物線L1與y軸交于點C

13、 ,過點C作y軸的垂線交拋物線 L1于另一點D . F為拋物線L1的對稱軸與x軸的交點，P為線段OC上一點.若 PCD與 POF相似，并且符合條件的點 P恰有2 個，求m的值及相應點 P的坐標.4定2動：直角三角形已知直角構造直角邊成比例代數(shù)法計算面積最值23. (2018?常德)如圖，已知二次函數(shù)的圖象過點O(0,0) . A(8,4),與x軸交于另一點 B,且對稱軸是直線x 3.(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)若M是OB上的一點，作 MN/AB交OA于N,當ANM面積最大時，求 M的坐標；(3) P是x軸上的點，過P作PQ x軸與拋物線交于 Q.過A作AC x軸于C,當以O, P, Q為頂點的三角形與以 。，A, C為頂點的三角形相似時，求 P點的坐標.平行線得相等角2.、29. (2018?德州)如圖1,在平面直角坐標系中， 直線y x 1與拋物線y x bx c交于A、B兩點，其中A(m,0)、B(4, n),該拋物