第二章函數(shù)的極限ppt課件

1、第二章第二章 函數(shù)極限函數(shù)極限1. 數(shù)列極限數(shù)列極限按按 自自 然然 數(shù)數(shù),3,2,1編編 號(hào)號(hào) 依依 次次 排排 列列 的的 一一 列列 數(shù)數(shù) ,21nxxx (1) 稱稱 為為 無無 窮窮 數(shù)數(shù) 列列 ,簡簡 稱稱 數(shù)數(shù) 列列 .其其 中中 的的 每每 個(gè)個(gè) 數(shù)數(shù) 稱稱為為 數(shù)數(shù) 列列 的的 項(xiàng)項(xiàng) ，nx稱稱 為為 通通 項(xiàng)項(xiàng) (一一 般般 項(xiàng)項(xiàng) )。數(shù)數(shù) 列列 (1)記記 為為nx. 例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n注意：注意： 1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取.,21

2、nxxx1x2x3x4xnx2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n 1)1( n;,)1(,34,21, 21nnn nn 1)1(1,333,33, 3 nnxx 31遞遞推推公公式式現(xiàn)在問：這些數(shù)列中的通項(xiàng)現(xiàn)在問：這些數(shù)列中的通項(xiàng) x n ，隨著，隨著 n 無限制的增大無限制的增大 ，是否，是否1nxn) 1(nxnn) 1(1nxnn2) 1(1nxnn) 1(nnx有一個(gè)明確有一個(gè)明確 的變化趨勢？的變化趨勢？ 為了回答上面的問題，觀察這些數(shù)列為了回答上面的問題，觀察這些數(shù)列圖像下面的變化情況：圖像下面的變化情況：.)1(11時(shí)時(shí)的的變變

3、化化趨趨勢勢當(dāng)當(dāng)觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn播放播放一、數(shù)列極限的定義一、數(shù)列極限的定義問題問題:當(dāng)當(dāng) 無限增大時(shí)無限增大時(shí), 是否無限接近于某一是否無限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無限接近于無限接近于無限增大時(shí)無限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)nxnnn 問題問題: “無限接近意味著什么無限接近意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它刻劃它? 1nxnnn11)1(1 通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:,1001給定給定,10011 n由由,100時(shí)時(shí)只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時(shí)時(shí)只要只要 n,100

4、0011 nx有有,100001給定給定,10000時(shí)時(shí)只只要要 n,100011 nx有有, 0 任意給定任意給定,1 N取取.1成成立立恒恒有有 nx,時(shí)時(shí)只只要要Nn 定定義義 如如果果對對于于任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) ( (不不論論它它多多么么小小) ), ,總總存存在在正正數(shù)數(shù) N, ,使使得得對對于于Nn 時(shí)時(shí)的的一一切切 nx, ,不不等等式式 axn都都成成立立, ,那那末末就就稱稱常常數(shù)數(shù) a 是是數(shù)數(shù)列列nx的的極極限限, , 或或者者稱稱數(shù)數(shù)列列 nx收收斂斂于于 a, ,記記為為 ,limaxnn 或或).( naxn 如果數(shù)列沒有極限如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)

5、散的就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：注意：;. 1的無限接近的無限接近與與刻劃了刻劃了不等式不等式axaxnn . 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) Nx1x2x2 Nx1 NxNx幾何解釋幾何解釋: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外個(gè)個(gè)至多只有至多只有只有有限個(gè)只有有限個(gè)內(nèi)內(nèi)都落在都落在所有的點(diǎn)所有的點(diǎn)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)NaaxNnn :”定定義義“N 其中其中;: 每每一一個(gè)個(gè)或或任任給給的的 .:至少有一個(gè)或存在至少有一個(gè)或存在 ., 0, 0 axNnNn恒恒有有時(shí)時(shí)使使：axnn lim極限定義的辨析：.2, 0, 0 axNnNn恒恒有有時(shí)時(shí)使使.,0, 0 axNnNn恒有恒

6、有時(shí)時(shí)，使，使對對.0 axxnn滿足不等式滿足不等式，都有無窮多項(xiàng)，都有無窮多項(xiàng)對對.0 axxnn滿足不等式滿足不等式，都只有有限項(xiàng)，都只有有限項(xiàng)對對利用定義驗(yàn)證數(shù)列極限利用定義驗(yàn)證數(shù)列極限 .23213lim1nnn）證明：（N，取任意取定正數(shù)證：021121.23213limnnn根據(jù)數(shù)列極限定義知，nnnaxNnn2123213時(shí)，有：則當(dāng).21N.3131lim222nnnn）證明：（N，取任意取定正數(shù)證：0111.3131lim22nnnn根據(jù)數(shù)列極限定義知，222313131nnnnnaxn有：時(shí)，則當(dāng)Nn .11332Nnnn自然放大收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系收斂數(shù)列與其子數(shù)列

7、的關(guān)系. .稱稱為為原原數(shù)數(shù)列列的的子子數(shù)數(shù)列列。列列中中的的先先后后次次序序得得到到的的數(shù)數(shù)并并保保持持這這些些項(xiàng)項(xiàng)在在原原數(shù)數(shù)列列中中任任意意抽抽取取無無限限多多項(xiàng)項(xiàng)：在在數(shù)數(shù)列列子子列列子子數(shù)數(shù)列列)(nxknnnnxxxx, 321記記作作, 3 , 2 , 1 nxn 比比如如，自自然然數(shù)數(shù)列列的的子子數(shù)數(shù)列列就就是是2nkxkn ,6,4,2定理定理4 4 （收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系）（收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系）.aaxn收收斂斂于于，那那么么它它的的任任一一子子列列也也收收斂斂于于如如果果數(shù)數(shù)列列.的的任任一一子子數(shù)數(shù)列列是是數(shù)數(shù)列列設(shè)設(shè)數(shù)數(shù)列列nnxxk,limaxnn 使得使

8、得,N ; axNnn時(shí)，恒有時(shí)，恒有當(dāng)當(dāng),NK 取取.,NnnnKkNKk 有有時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng). axkn.limaxknk 這就證明了這就證明了證證, 0 例例5.,122axaxaxnkk ，證證明明數(shù)數(shù)列列且且若若證明：由定義證明：由定義,使使得得對對于于., 021KK ;21 axKkk時(shí)，恒有時(shí)，恒有當(dāng)當(dāng);122 axKkk時(shí)時(shí)，恒恒有有當(dāng)當(dāng) ,12 ,2max21 KKN取取時(shí)時(shí)，恒恒有有則則當(dāng)當(dāng)Nn . axn2. 函數(shù)極限函數(shù)極限一一 . 自變量自變量 x 趨向無窮大情況趨向無窮大情況這類情況包括三種可能這類情況包括三種可能 ： (1) 自變量自變量 x 沿?cái)?shù)軸正向遠(yuǎn)離原點(diǎn)；

9、沿?cái)?shù)軸正向遠(yuǎn)離原點(diǎn)；自變量自變量 x 沿?cái)?shù)軸正向遠(yuǎn)離原點(diǎn)情況沿?cái)?shù)軸正向遠(yuǎn)離原點(diǎn)情況123450.511.52y1x,x0,從圖上容易看出，此例中自變量從圖上容易看出，此例中自變量 x 沿?cái)?shù)軸沿?cái)?shù)軸 正向遠(yuǎn)離原點(diǎn)正向遠(yuǎn)離原點(diǎn) 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)值值 無限趨近于零無限趨近于零 。 為了引出函數(shù)極限的數(shù)量化定義，將之與為了引出函數(shù)極限的數(shù)量化定義，將之與 “ xn 0, 當(dāng)當(dāng) n + ” 作一比較：作一比較： xn = 1 / n 0 y = f(x) = 1 / x 0 0,0nx0)(,0 xf(3) 自變量自變量 x 沿?cái)?shù)軸無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)不一定有固定方向）沿?cái)?shù)軸無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)不一定有固定方向）(2)

10、 自變量自變量 x 沿?cái)?shù)軸負(fù)向遠(yuǎn)離原點(diǎn)；沿?cái)?shù)軸負(fù)向遠(yuǎn)離原點(diǎn)；0. .,nxNntsN0)(. ., 0 xfMxtsMnn或，無限增大xx或，正向無限增大0. .,00limnnnxNntsNx綜合以上數(shù)列極限和函數(shù)極限的數(shù)量化說法，可得：綜合以上數(shù)列極限和函數(shù)極限的數(shù)量化說法，可得：0)(. ., 0,00)(limxfMxtsMxfn第一種函數(shù)極限的定義第一種函數(shù)極限的定義 給定函數(shù)給定函數(shù) y = f ( x ) , x ( a , + ) 和和一個(gè)常數(shù)一個(gè)常數(shù) A 。若對于任意給定的正數(shù)。若對于任意給定的正數(shù) ，不論它多小，都可找，不論它多小，都可找到到一個(gè)距離尺度一個(gè)距離尺度 M 0

11、 , 使得對于滿足不等式使得對于滿足不等式 x M 的一切的一切 x , 相相應(yīng)的函數(shù)值應(yīng)的函數(shù)值 f ( x ) 均滿足不等式均滿足不等式 ： | f ( x ) - A | 0 , 使得對于滿足不等式使得對于滿足不等式 x - M 的一切的一切 x , 相應(yīng)的函數(shù)值相應(yīng)的函數(shù)值 f ( x ) 均滿足不等式均滿足不等式 ： | f ( x ) - A | 0 , 使得對于滿足不等式使得對于滿足不等式 | x | M 的一切的一切 x , 相應(yīng)的函數(shù)值相應(yīng)的函數(shù)值 f ( x ) 均滿足不等式均滿足不等式 ： | f ( x ) - A | ， 則稱則稱 “ 當(dāng)自變量當(dāng)自變量 x 趨于無窮大

12、趨于無窮大 ( 可正向也可負(fù)向可正向也可負(fù)向 ) 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) f ( x ) 無限趨近于數(shù)無限趨近于數(shù) A ” ，”時(shí)，“當(dāng)或記為Axfx)(: 第三種函數(shù)極限的形式邏輯符號(hào)表示：第三種函數(shù)極限的形式邏輯符號(hào)表示：Axfx)(limAxfMxM)(:, 0,00000)(:, 0,0AxfMxM. 0sin)(,無限接近于無限增大時(shí)例當(dāng)xxxfx定義M.)(, 0, 0AxfMxM恒有時(shí)使當(dāng)：Axfx )(lim：Axfx )(limMx ：Axfx )(limMxxxysin 幾何解釋幾何解釋: MM.2,)(,的帶形區(qū)域內(nèi)寬為為中心線直線圖形完全落在以函數(shù)時(shí)或當(dāng)AyxfyMxMxAA

13、xfx )(lim4. 利用定義驗(yàn)證函數(shù)極限實(shí)例利用定義驗(yàn)證函數(shù)極限實(shí)例.021lim1xx）證明：（時(shí)，有：則當(dāng)，取任意取定正數(shù)證：MxM,010)1(log2.021limxx根據(jù)函數(shù)極限定義，.2121021)(MxxAxf.1) 13(lim22xx）證明：（：有時(shí)，則當(dāng)，取任意取定證：MxM,010)1(log232231) 13()(xxAxf.1) 13(lim2xx根據(jù)函數(shù)極限定義，.32M.2232lim333xxxx證明：）（08.2232lim33xxxx根據(jù)函數(shù)極限定義，2432232)(333xxxxxAxf有：時(shí)，則當(dāng)取，任意取定正數(shù)證：MxM,024243343x

14、xxxx24322233xxxxx233824xxxx28M二二 . 自變量自變量 x 趨向有限數(shù)情況趨向有限數(shù)情況 若給定函數(shù)若給定函數(shù) y = f ( x ) , x ( a , b ) 和和 一個(gè)固定點(diǎn)一個(gè)固定點(diǎn) x0 ( a , b ) . 由于點(diǎn)由于點(diǎn) x0 附近有無窮個(gè)自變量的取值點(diǎn)，所以可以考慮自變量趨附近有無窮個(gè)自變量的取值點(diǎn)，所以可以考慮自變量趨于固定點(diǎn)于固定點(diǎn) x0 時(shí)，函數(shù)對應(yīng)的值有無明確變化趨勢時(shí)，函數(shù)對應(yīng)的值有無明確變化趨勢 的問題。的問題。 在很多在很多情況下，這個(gè)問題是有意義的，例如：情況下，這個(gè)問題是有意義的，例如：函數(shù)函數(shù) y = f ( x ) = x2 +

15、 1 當(dāng)當(dāng) x x0 = 0 時(shí)，時(shí)， 也就是說，當(dāng)也就是說，當(dāng) x “無限趨近無限趨近 ”點(diǎn)點(diǎn) x0 時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值 y = f ( x ) “無限地趨近無限地趨近 ” 常數(shù)常數(shù) A = 1 .1. 自變量自變量 x 趨于有限數(shù)時(shí)，函數(shù)極限趨于有限數(shù)時(shí)，函數(shù)極限 概念的探討及其數(shù)量化定義概念的探討及其數(shù)量化定義從圖中容易看出，從圖中容易看出，f ( x ) 1 .x “無限趨近無限趨近 ” 點(diǎn)點(diǎn) x0 可以用兩點(diǎn)之間的可以用兩點(diǎn)之間的 間隔間隔 | x - x0 | 無限地小無限地小 來來刻畫刻畫 ；設(shè)；設(shè) 表示一個(gè)很小的正數(shù)表示一個(gè)很小的正數(shù),于是于是 間隔間隔 | x

16、- x0 | 無限地小無限地小 可可以表示成：以表示成： | x - x0 | ; f ( x ) “無限地趨近無限地趨近 ” 常數(shù)常數(shù) A = 1 可以沿用前面自變量趨向無窮大可以沿用前面自變量趨向無窮大 時(shí)所用的數(shù)時(shí)所用的數(shù) 量化方法，即量化方法，即:Axf)(,0這樣，函數(shù)這樣，函數(shù) y = f ( x ) = x2 + 1 當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)，時(shí)，f ( x ) 1 的極的極限現(xiàn)象，其數(shù)量化的本質(zhì)就是：限現(xiàn)象，其數(shù)量化的本質(zhì)就是：1)(0. .,0,0 xfxts如何用定量化語言如何用定量化語言 來描繪上述兩個(gè)來描繪上述兩個(gè) “無限趨近無限趨近 ” ？再看一個(gè)例子：再看一個(gè)例子：. 1,

17、11)(02xxxxfy盡管點(diǎn)盡管點(diǎn) x0 = 1 不在其定義域中，不在其定義域中，但該但該 點(diǎn)附近有無窮個(gè)自變量的取點(diǎn)附近有無窮個(gè)自變量的取值點(diǎn)，值點(diǎn)，從圖中容易看出，從圖中容易看出， 當(dāng)當(dāng) x x0 = 1 時(shí)，時(shí)， f ( x ) 2 . 這時(shí)，當(dāng)這時(shí)，當(dāng) x 1 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) y = f ( x ) = x2 - 1 /（x 1 ) 2 2)(10. .,0,0 xfxts所以仍可以考慮自變量趨于固所以仍可以考慮自變量趨于固定點(diǎn)定點(diǎn) x0 = 1 時(shí)，函數(shù)對應(yīng)的時(shí)，函數(shù)對應(yīng)的值值 有無明確變化趨勢有無明確變化趨勢 的問題。的問題。的極限現(xiàn)象，其數(shù)量化的本質(zhì)應(yīng)改為：的極限現(xiàn)象，其數(shù)量

18、化的本質(zhì)應(yīng)改為：第一個(gè)例子也能接受這個(gè)數(shù)量化描繪。第一個(gè)例子也能接受這個(gè)數(shù)量化描繪。 因?yàn)閺谋举|(zhì)上講，我們觀因?yàn)閺谋举|(zhì)上講，我們觀例如，我們繼續(xù)考察下面的這個(gè)例子，就更能說明問題了：例如，我們繼續(xù)考察下面的這個(gè)例子，就更能說明問題了：.1,31,11)(002xxxxxfy從圖中容易看出，從圖中容易看出，當(dāng)當(dāng) x x0 = 1 時(shí)，仍然有時(shí)，仍然有 值值 ，對，對 變動(dòng)趨勢變動(dòng)趨勢 而言，是而言，是 無關(guān)緊要無關(guān)緊要 的！的！ 固定點(diǎn)上函數(shù)的對應(yīng)值是一個(gè)不變的常數(shù)，它是不固定點(diǎn)上函數(shù)的對應(yīng)值是一個(gè)不變的常數(shù)，它是不 是也是極限是也是極限察研究函數(shù)極察研究函數(shù)極 限的根本問題，是講限的根本問題，

19、是講 函數(shù)取值的變動(dòng)趨勢函數(shù)取值的變動(dòng)趨勢 ，在一個(gè)，在一個(gè) f ( x ) 2 . 但但 f ( 1 ) =3 ！ ;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf x0 x 0 x 0 x .xxxx的的過過程程表表示示00 0 定定義義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)：Axfxx )(lim03.幾何解釋幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數(shù)函數(shù)域時(shí)域時(shí)鄰鄰的去心的去心在在當(dāng)當(dāng) Ayxfyxx說明：說明：;)(. 10處處是是否否有有定定義義無無關(guān)關(guān)在在

20、點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf. 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) 用定義驗(yàn)證自變量用定義驗(yàn)證自變量 x 趨于有限數(shù)時(shí)的函數(shù)極限趨于有限數(shù)時(shí)的函數(shù)極限.1)43(lim11xx）證明：（，取任意取定證：003時(shí)，有：則當(dāng)1) 1(0 xx13331)43()(xxxAxf.1)43(lim1xx根據(jù)函數(shù)極限定義，.3，取任意取定正數(shù)證：0.6246lim232xxxx）證明：（07, 1min. 6246lim,)2(32xxxfx這不妨礙說：沒有定義盡管這時(shí)6246)(203xxxAxfx時(shí)，有：則當(dāng))4()2(2)4()2(2161223xxxxxxxx6)2(4xx. 6246

21、lim32xxxx根據(jù)函數(shù)極限定義，)6()62(x.7極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則證略證略定理定理則則設(shè)設(shè),)(lim,)(limBxgAxf ;)()(lim)1(BAxgxf ;)()(lim)2(BAxgxf . 0,)()(lim)3( BBAxgxf其其中中3. 極限的四則運(yùn)算法則與基本性質(zhì)極限的四則運(yùn)算法則與基本性質(zhì))(lim)(lim)()(limxgxfxgxf 說明：說明：1.有兩層意思：有兩層意思：(1) 在在limf(x)和和limg(x)都存在的前提下，都存在的前提下，limf(x)+g(x)也存在；也存在；(2) limf(x)+g(x)的數(shù)值即為的數(shù)值即為

22、limf(x)+ lim g(x).2. limf(x)+g(x)存在存在, 不能倒推出不能倒推出limf(x)和和 lim g(x)都都存在存在.3. 若若limf(x)存在，而存在，而 lim g(x)不存在，則不存在，則limf(x)+g(x)肯定不存在肯定不存在. (思考題思考題)4. 可推廣到有限多項(xiàng)可推廣到有限多項(xiàng).推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為為常常數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是是正正整整數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果推論推論2 2求極限方法舉例求極限方法舉例例例1 1.531lim232

23、 xxxx求求解解531lim232 xxxx5lim3limlim1limlim2222232 xxxxxxxx.37 3123 解解例例2 2.321lim221 xxxx求求.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時(shí)時(shí)x.1后再求極限后再求極限因子因子先約去不為零的無窮小先約去不為零的無窮小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型消零因子法消零因子法例例3 3.147532lim2323 xxxxx求求解解)(型型 332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 一般一般, ,為

24、為非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)有有和和當(dāng)當(dāng)nmba, 0, 000 . , , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)例例 4 4 11lim1 xxx 原原式式)1)(1()1)(1(lim1 xxxxx 共扼因子法共扼因子法 解解2) 1(lim1 xx. 例例 5 5 1111lim30 xxx 原式原式11lim321 ttt 3211lim20 tttt. 解解令令61tx , 變量代換法變量代換法 ,0 x,1 t.223lim632的值和此極限求常數(shù)存在，已知：）（AkAxkkxxx)2()2()23(lim)23(lim3232xxkk

25、xxkkxxxx解：kkkkxxx2232)23(lim332）（）（另一方面，代入法223lim32xkkxxAx已知函數(shù)極限存在，求所含待定常數(shù)已知函數(shù)極限存在，求所含待定常數(shù) ( 求極限的求極限的 反問題反問題 )2)22)(2(lim22xxxxx. 6)22(lim22xxx消去零因子. 2048kk,48k)2(lim223lim232xxkkxxxx, 000223lim32Axkkxxx246lim32xxxx.512lim731baxbaxxx和存在，求常數(shù)）已知：（)1 (1)2(lim)2(lim3131xxbaxxbaxxxx解：0)1 (lim12lim131xxba

26、xxxx,21)2(lim31babaxxx代入法另一方面，xbaxxx12lim531代入原式后，得：. 12021babaxbxxxx1)2)(1(lim21.827abbbxxx22)2(lim21xbxbxx12) 12(lim31.1)1(lim82babaxxxx和，求常數(shù)）已知：（1)1(lim)1(lim2xbaxxxxbaxxxx解：xbaxxxbaxxxxxx1limlim1lim)1(lim另一方面，代入原極限式，將1a.,1)12(lim23cbacbxaxxxxx和，求常數(shù)（作業(yè)）已知：. 213,101,101:ccbbaa解答xbaxxxxx1lim)1(lim2

27、,11aa)1(lim)1(lim12bxxbxxxxx.2 b,001b1，求）已知：（1)23)(lim9xxfx223)23)(lim2)(limxxxxfxxfxx解：223)23)(21limxxxxfxx二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)定定理理 1 1 若若數(shù)數(shù)列列 nx收收斂斂，則則極極限限唯唯一一。 定理定理2 2 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .定理定理3 3 收斂數(shù)列的保號(hào)性收斂數(shù)列的保號(hào)性. .推推論論 1 如如果果數(shù)數(shù)列列 nx從從某某項(xiàng)項(xiàng)起起恒恒有有0 nx(或或0 nx） ，且且axnn lim，那那么么0 a(或或0 a) 推推論論 2 如如果果ax

28、nn lim，bynn lim，且且ba (ba )，則則存存在在正正整整數(shù)數(shù)N，當(dāng)當(dāng)Nn 時(shí)時(shí)，恒恒有有nnyx (nnyx ). 注注1 1 有界性是數(shù)列收斂的必要條件，不是充分條有界性是數(shù)列收斂的必要條件，不是充分條件件. .注注2 2 無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .2nnx 數(shù)數(shù)列列注注3 3 有界數(shù)列不一定收斂有界數(shù)列不一定收斂. .)1(nnx 數(shù)數(shù)列列二、函數(shù)極限的性質(zhì)二、函數(shù)極限的性質(zhì)1. 唯一性唯一性2. 局部有界性局部有界性定定理理 若若)(limxf存存在在,則則極極限限唯唯一一.定理定理 如果如果Axfxx )(lim0，那么存在常數(shù)，那么存在常數(shù)0 M和和0

29、，使得當(dāng)，使得當(dāng) 00 xx時(shí)，有時(shí)，有Mxf )(. , 0),0(0,)(lim0 則則或或且且若若AAAxfxx定理定理).0(0,)(lim),0)(0)(,0, 000 AAAxfxfxfxxxx或或則則且且或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)若若 推論推論3. 局部保號(hào)性局部保號(hào)性4. 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系(海涅定理海涅定理).)(lim ,lim,)(lim000AxfxxxxAxfnnnnnxx 則有則有且且數(shù)列數(shù)列若若注意注意.0, 0)( Axf也也只只能能得得到到即即使使. )0)(0)(,00 xfxfxx或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xy1sin .1sinlim0不不存存在在證

30、證明明xx證證 ,1)1( nxn取取, 0lim)1( nnx; 0)1( nx且且 ,)22(1)2( nxn再再取取 nxnnnsinlim1sinlim)1( 而而, 0 , 0lim)2( nnx; 0)2( nx且且, 1 )22sin(lim1sinlim)2( nxnnn但但二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx單側(cè)極限單側(cè)極限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設(shè)設(shè).00兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分 xx,0 xx從左側(cè)無限趨近從左側(cè)無限趨近;)0(00 xxxx或或記記作作,0 xx從右側(cè)無限趨近從

31、右側(cè)無限趨近yox1xy 112 xy;)0(00 xxxx或或記記作作5. 單側(cè)極限與無窮大單側(cè)極限與無窮大左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)右極限右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng).)0()(lim00AxfAxfxx 或或記作記作.)0()(lim00AxfAxfxx 或或記記作作x0 x 0 x 0 x )(lim00 xfx 例例1解解，1 ，設(shè)設(shè) 0, 10,1)(2xxxxxf. 1)(lim0 xfx證明證明yox1xy 112 xy)1(lim00 xx )(lim00 xfx ，1 )1(lim200 xx.)0

32、()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理. 1)(lim0 xfx所所以以.lim0不不存存在在驗(yàn)驗(yàn)證證xxxyx11 oxxxxxx 0000limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.lim0不存在不存在xxx例例2證證，1)1(lim00 xxxxxxx0000limlim ，11lim00 x 1 ,111 , 93)(23xaxxxaxxxf, , 已已知知)(lim1xfx存存在在， 例例3 設(shè)設(shè)求求： （1 1）a； （2 2）)(lim1xfx. . )(lim01xfx 解解)(lim01xfx )93(lim31 axxx,310a )11(li

33、m21axxx ,2a 因因?yàn)闉?)(lim1xfx 存存在在，所所以以 aa 2310， .2 a即即.4)(lim1 xfx,0elim xx例例4解解類類似似地地，可可以以把把)(limxfx 和和)(limxfx 當(dāng)當(dāng)作作單單側(cè)側(cè)極極限限. . )(limxfx 存存在在當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng))(limxfx 和和)(limxfx 都都存存在在且且相相等等. . x時(shí)時(shí)，xxfe)( 有有無無極極限限？ ,elim xx.elim不不存存在在故故xx ,2arctanlim xx例例5解解類類似似地地，可可以以把把)(limxfx 和和)(limxfx 當(dāng)當(dāng)作作單單側(cè)側(cè)極極限限. . x時(shí)時(shí)

34、，xxfarctan)( 有有無無極極限限？ .arctanlim不不存存在在故故xx ,2arctanlim xx)(limxfx 存存在在當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng))(limxfx 和和)(limxfx 都都存存在在且且相相等等. . )1222(1222432lim)432(lim33302302xxxxbxaxbxaxxx，）（解：1)(lim102xfx是否存在？的值及常數(shù)求存在，且，已知例)(lim)2(.)(lim,)1()(lim,1)(lim2,12224322,3)(.72020202333xfxfbaxfxfxxxbxaxxbaxxxfyxxxx)3(lim)(lim30202ba

35、xxxfxx而;1328ba)1222(lim1222432lim3023302xxxxbxaxxx, 0)1222(lim)(lim30202xxxfxx,328ba 代入法.22102381328bababa解;02384616)432(lim302bababxaxx代入法而)(lim1113)(lim0202xfxfxx1222432lim)(lim2330202xxbxaxxfxx這時(shí)）（）642)(2(22)(2(lim2202xxxxxxx64222lim2202xxxxx.)(lim2不存在xfx122246lim3302xxxxx,113226代入法.)(lim,)(lim1,

36、71032111)(,. 811223xfxfxxxabxaxxxxbaxxfbaxx并算出存在的極限當(dāng)當(dāng)當(dāng)使得及確定例)2(lim2301abxaxxx另一方面，均存在，故存在，）（解：)(lim)(lim)(lim101011xfxfxfxxx)(lim)(lim0101baxxfxx)2(lim2301abxaxxx,0)7103(71032lim222301xxxxabxaxxx;101abba,ba 代入法,1ba代入法.1)(lim)(lim)2(011baxfxfxx1423423abaa71032)1(lim22301xxaxaaxxx代入原極限.32ba732)1(lim20

37、1xaxaxx)73)(1(2)1()1(lim201xxaxaxxx,423a代入法3、無窮大、無窮大的的絕絕對對值值無無限限增增大大。軸軸無無限限接接近近于于時(shí)時(shí)，函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)yyxyx,10 X0Y絕對值無限增絕對值無限增大的變量叫無大的變量叫無窮大窮大.精確定義：精確定義： )(lim) 10 xfxx, 0 , 0 M.)(Mxf 有有： )(lim ) 2xfx, 0, 0 XM時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)Xx .)(Mxf 有有,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx1. 無窮大量是一個(gè)變量，不可與很大很大的數(shù)無窮大量是一個(gè)變量，不可與很大很大的數(shù) 混為一談；混為一談；2. 稱函數(shù)是無窮大量，必須指明其自變量的變稱函

38、數(shù)是無窮大量，必須指明其自變量的變 化趨勢?；厔?。注注: :6. 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限1. 極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則原則原則 I . ( 夾逼原理）夾逼原理） .)(lim,)(lim)(lim,)()()(000AxfAxhxgxhxfxgxxxxxx也存在，且等于則還成立：若原則原則 II . ( 遞增有上界數(shù)列極限存在定理）遞增有上界數(shù)列極限存在定理）。）該準(zhǔn)則仍成立，改為所有的若）（ xxxlimlim(0.lim,必定存在則都有：，使對一切的，且存在一個(gè)正常數(shù)是單調(diào)遞增的若數(shù)列nnnnxMxnMx。）該準(zhǔn)則仍成立，”改為“”“，“遞增”改為“遞減”若MxMxnn(目

39、的：增加基本極限工具，打開任意初等函數(shù)極限計(jì)算之門。目的：增加基本極限工具，打開任意初等函數(shù)極限計(jì)算之門。 “夾逼夾逼 ” 方法求極限應(yīng)用實(shí)例方法求極限應(yīng)用實(shí)例 .!lim1nnnn求：例,1321!0nnnnnnnnn解：,01lim0limnnn.0!limnnnn例例2 2).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn.)1(lim30 xxx求：例,1111xxx解：1110 xxxx，時(shí)當(dāng)1

40、1lim)1(lim00 xxx.1)1(lim0 xxx夾逼原理1110 xxxx，時(shí)當(dāng)11lim)1(lim00 xxx.1)1(lim0 xxx夾逼原理.1)1(lim0 xxx“單調(diào)有界收斂定理單調(diào)有界收斂定理 ” 方法求極限應(yīng)用實(shí)例方法求極限應(yīng)用實(shí)例 .lim;0,1214011nnnnnxxxxx求已知數(shù)列滿足例,)1)(1 (12112111111nnnnnnnnnnxxxxxxxxxx解：0,0101101xxx0,0212xxx0,0123nnxxxx，單調(diào)遞增數(shù)列nx；有上界2112121111nnnnnxxxxx;lim存在axnnaaaxxxnnnnn121121lim

41、lim11251a0limnnxa.251limaxnn例例5 5.)(333的極限存在式重根證明數(shù)列nxn證證,31nnxx 遞推公式遞推公式，33321 xx, 331 x又又, 3 nx設(shè)設(shè)nnxx 31則則33 , 3 ;有有上上界界nx,lim存存在在nnx ,31 nxxnn兩兩邊邊令令對對,3AA 得得2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx,1 nnxx設(shè)設(shè) ;是是單單調(diào)調(diào)遞遞增增的的，由由歸歸納納法法知知nxnnxx 31則則13 nx,nx ,limAxnn 設(shè)設(shè),32AA 即即AC)20(, xxAOBO 圓圓心心角角設(shè)設(shè)單單位位圓圓,tan,

42、sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 2.2.下面利用夾逼準(zhǔn)則證明一個(gè)重要的極限下面利用夾逼準(zhǔn)則證明一個(gè)重要的極限: : 1sinlim0 xxx顯顯然然 AOCAOBAOBSSS 扇扇, 即即 xxxtan2121sin210 , ,tansinxxx ,tansinxxx , 1sincos xxx,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxcos10 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx,1coslim0 xx上上式式三三者者均均為為偶偶函函數(shù)數(shù), ,故故當(dāng)當(dāng)02

43、 x 時(shí)時(shí), ,上上式式也也成成立立. . 先先證證 1coslim0 xx. . 由由夾夾逼逼定定理理, ,得得 0)cos1 (lim0 xx, , 再再對對 1sincos xxx 利利用用夾夾逼逼定定理理, , 即即得得 1sinlim0 xxx. 即即即即e)11(lim nnn下面利用準(zhǔn)則下面利用準(zhǔn)則證明另一個(gè)重要的極限證明另一個(gè)重要的極限: : 先證明先證明 nx單調(diào)增加單調(diào)增加: : nnnnnnnnnCnCnCnCnx111111133221 當(dāng)當(dāng)n改改為為n+ +1 1 時(shí)時(shí), ,上上式式通通項(xiàng)項(xiàng) nknnk112111!1增增大大, , nnnnnnnnnnnn1)1(!

44、1)2)(1(!31)1(!21232 nnnnnnnn112111!12111! 3111! 212 .1nnxx 且項(xiàng)數(shù)增加且項(xiàng)數(shù)增加( (每一項(xiàng)均為正每一項(xiàng)均為正), ), 其其次次, ,證證明明 nx有有上上界界： !1!31!212n 113212112 nn nnnnnnnn112111!12111! 3111! 212 當(dāng)當(dāng)n改改為為n+ +1 1 時(shí)時(shí), ,上上式式通通項(xiàng)項(xiàng) nknnk112111!1增增大大, , nxnn11131212112 .313 n綜綜上上所所述述， nx單單調(diào)調(diào)增增加加且且有有上上界界, , 因因此此 nnn 11lim存存在在, ,記記為為e.

45、. 無無理理數(shù)數(shù)597182818284. 2e e)1(lim10 xxx推廣推廣:e)11(lim xxx或或1 就有就有為某過程中的無窮小為某過程中的無窮小只要只要實(shí)際上實(shí)際上, .e1 lim1 某過程某過程3. 復(fù)合函數(shù)的極限法則復(fù)合函數(shù)的極限法則 “ 極限變量替換法極限變量替換法 ”定理定理 設(shè)復(fù)合函數(shù)設(shè)復(fù)合函數(shù) y = f ( g ( x ) ) 在在 x = x 0 的去心鄰域中有定義。的去心鄰域中有定義。,)(,)(lim,)(lim0u0 x00uxgAufuxgux如果.)(lim)(lim00 xxAxgfxgfxx且必定存在，則），而結(jié)論不變（可換成xxx0(,)(l

46、im0uAufu證：Aufuu)(0:0,0000當(dāng),)(lim0 x0uxgx0000)(0:0,0uxgxx當(dāng)對上述00)(0)(000uxgxxuxg故當(dāng)00)(0uuxgu令.)()(AufAxgf），而結(jié)論不變（可換成xxxxx,0(00.)(lim)(lim0000u)(lim),(xAufxgfuuxgxguxxx如果有令 上述定理還可以敘述成一種上述定理還可以敘述成一種 計(jì)算極限計(jì)算極限 的的 運(yùn)算技巧運(yùn)算技巧 - “ 變量替換法變量替換法 ”1cos1limsinlim00 xxxxx. 令令xtarcsin , 則則txsin , 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí), ,0t, , 解解xxx

47、xcos1sinlim0 所以所以tttsinlim0 原式原式.1sin1lim0 ttt.cos1lim320 xxx）求：例（220202sin2limcos1limxxxxxx解：)22sin(21lim20 xxx20)22sin(lim21xxx .21)sinlim(212020lim0uuuxuux.)3(52tanlim43xx）求：例（uxuxuuxxtanlim)3(52tanlim05)3(20lim33解：.3tan)6sin(lim6xxx求：課堂練習(xí)）答案：（31)cossin(lim0uuuuuuuuuuuucoslimlimsinlim000.0101.)1s

48、in(tan(lim51xx）求：例（)1tan()1tan()1sin(tan(lim)1sin(tan(lim11xxxxxx解：)1tan()1sin(tan(lim)1tan(lim11xxxxxtttttxttxtan)sin(tanlimtanlim00101.010sinlimtanlim00tan00uututtuut.)31 (lim610 xxx）求：例（)1(lim310uuuuuxuuux3030lim)1 (lim0.1)1(lim13310euuuxxx10)31 (lim解：.)sin41 (lim7csc0 xxx）求：例（)sin41(lim)sin41 (l

49、im2csc0csc0 xxxxxx解：.)313(lim86 xxxx）求：例（xxx6)3111 (lim原式解：xxxsin210)sin41 (limuuxuuxu20sin400)1 (lim.2 e210)1 (limuuuuuu220)1 (limuuxxuxx31,3110311lim21020)1(lim)1 (limuuuuu.1122ee.)232(lim84nnnn ）求：例（nnnnnnn44)231(lim)232(lim解：61023,230)1(limtttnnttnt.)1 (lim6610ettt.)()sin3132(lim410考研試題求：例xxxxx.

50、1()arccos2(lim10）型求例xxx.,61coslim20babaxxbax與求常數(shù)已知：例.)()(lim1,141,1) 1sin()(,.122考研試題存在的極限使得及確定例xfxxbxaxxxxxfbax.)()sin3132(lim410考研試題求：例xxxxx)sin3132(lim410 xxxxx解：)sin13332(lim4340 xxxxxxxxxxxxxsinlim13332lim04340113lim3lim3lim2403040 xxxxxx;110)sin3132(lim410 xxxxx而xxxxxxsinlim3132lim041013lim13l

51、im24010 xxxx;112.1)sin3132(lim410 xxxxx.1()arccos2(lim10）型求例xxxxxxxx1arccos21arccos210)1arccos2(1 lim原式xxxxxx1arccos2lim1arccos2100)1arccos2(1 limxxxe1arccos2lim0 xxxe2arccoslim20)sin(lim22arccossin)2cos(0ttxtttxxe.2 e.,61coslim20babaxxbax與求常數(shù)已知：例)cos(lim)cos(lim2200 xxxbaxbaxx解：baxbaxbaxxcoslim)cos

52、(lim00另一方面：代入原極限式把a(bǔ)b612baa,0061ba;0ba2020cos1limcoslimxxaxxbaxx）（ ,2a1 a12ba2226baa.1ab.)()(lim1,141,1) 1sin()(,.122考研試題存在的極限使得及確定例xfxxbxaxxxxxfbax.)(lim)(lim)(lim01011存在存在解：xfxfxfxxx)1(14lim)4(lim22201201xxbxaxbxaxxx由于,00)(lim01xfx0) 1(4) 1(2ba144lim14lim22012201xaxaxxbxaxxx.404abba) 1)(1()4)(1(lim

53、01xxaaxxx,214lim01axaaxx;1sinlim1)1sin(lim)(lim010101ttxxxftxtxx;12)(lim)(lim0101axfxfxx;3 a.1404abba一、無窮小一、無窮小定義定義以零為極限的函數(shù)以零為極限的函數(shù)(或數(shù)列或數(shù)列)稱為無窮小稱為無窮小.例如例如, 0sinlim0 xx.0sin時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)xx, 01lim xx.1時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù) xx, 0)1(lim nnn.)1(時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小是當(dāng)是當(dāng)數(shù)列數(shù)列 nnn注注: :1.無窮小是變量無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混為一談不能與很小

54、的數(shù)混為一談;3.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).2.稱一個(gè)函數(shù)是無窮小，必須指明自變量的變化趨勢稱一個(gè)函數(shù)是無窮小，必須指明自變量的變化趨勢.7 無窮小與無窮小的比較無窮小與無窮小的比較 無窮小和極限的關(guān)系無窮小和極限的關(guān)系: :定理定理 變量變量 y 以以A為極限的充分必要條件是：變量為極限的充分必要條件是：變量 y 可以表示為可以表示為 A 與一個(gè)無窮小量的和。即與一個(gè)無窮小量的和。即lim y = A y = A+a，其中其中l(wèi)ima = 0。定理兩個(gè)無窮小的和仍是無窮小。定理兩個(gè)無窮小的和仍是無窮小。例如：例如：?).2(lim222 nnnnnnnn推論有

55、限個(gè)無窮小的和仍是無窮小推論有限個(gè)無窮小的和仍是無窮小. .注意無窮多個(gè)無窮小的和未必是無窮小注意無窮多個(gè)無窮小的和未必是無窮小. .定理定理 有界變量與無窮小的乘積仍是無窮小。有界變量與無窮小的乘積仍是無窮小。推論推論1 在同一過程中在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小積是無窮小.推論推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論3 有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.證略證略.例例01arctanlim0 xxx01coslim0 xxx0sin1limsinlim xxxxxx數(shù)數(shù)列列 nx無無界界的的定定

56、義義：0 M, ,n , ,使使Mxn . . 例例 1 1 數(shù)數(shù)列列 ) 1(1 nn 無無界界, ,但但不不是是無無窮窮大大. . 定定理理 在在自自變變量量的的同同一一變變化化過過程程中中, ,如如果果)(xf為為無無窮窮大大, ,則則)(1xf 無窮大與無窮小的關(guān)系無窮大與無窮小的關(guān)系 為為無無窮窮小??；反反之之, ,如如果果)(xf為為( (非非零零) )無無窮窮小小, ,則則 )(1xf為為無無窮窮大大. . 無窮大與無界函數(shù)無窮大與無界函數(shù)( (數(shù)列數(shù)列) )的關(guān)系的關(guān)系定理定理 無窮大必?zé)o界無窮大必?zé)o界;反之不對反之不對. 意義意義 關(guān)于無窮大的討論關(guān)于無窮大的討論, ,都可歸

57、結(jié)為關(guān)于無窮小的討論都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論. .532) 1arctan() 1(lim.2xxxxx求極限：例,2)1arctan(,05321lim2xxxxx.0532)1arctan()1(lim2xxxxx。亦是無窮大均為常數(shù)和時(shí)，當(dāng)證明：，是無窮大，時(shí)當(dāng)若例)0()()(.00AkAxfkxxxfxx。是無窮大時(shí)，證：0)(1lim,)(00 xfxfxxxx)()()(1lim)(1lim00 xfAxfkxfAxfkxxxx這時(shí)，,)(10是無窮小時(shí)，當(dāng)Axfkxx.)(0是無窮大時(shí)，當(dāng)Axfkxx,000)(lim)(1lim000AkxfAkxfxxxxk。是無窮小時(shí)，

58、？當(dāng)；是無窮大，時(shí)當(dāng)函數(shù)例xxxxxxxxf?6152)(.232,01501526lim2230 xxxxxx解：)2)(3()5)(3(lim6152lim32323xxxxxxxxxxxx而，015015)2(2)2()2(6)2()2(1526lim2232232xxxxxx;6152lim,6152lim23222320 xxxxxxxxxxxx,188)2()5(lim3存在xxxx.)(20是無窮大時(shí)，或當(dāng)且僅當(dāng)xfxx；也存在時(shí)，或又當(dāng))2)(3(1526152lim32,000002023200 xxxxxxxxxxxxx,01200)2)(3()5)(3(lim6152li

59、m52325xxxxxxxxxxxx;06152lim,32232)(xxxxxx時(shí)，或當(dāng)350 x.)()(5是無窮小時(shí)，或當(dāng)且僅當(dāng)xfxx；不是無窮大；另外，）（)32(06152lim232xxxxxx;1886152lim2323xxxxxx；06)5)(3(6152lim02030002320 xxxxxxxxxxxx.1sin53lim.232xxxx求極限：例)5311sin(lim531sinlim222223xxxxxxxxx解：53lim11sinlim222xxxxxx53limsinlim20102xxttxtxttx.1sin53lim232xxxx,001。之值求常

60、數(shù)是無窮大時(shí)，當(dāng)已知：例babaxxxx,11x.23,1lim.231baxxxxx解;00)(lim231abbabaxxxxxaaxxxx1lim0231代入無窮小極限式，;01lim231xbaxxxx;11)(1(lim21axaxxx,1a.1ab);(, 0lim) 1 (o記作高階的無窮小是比就說如果定義定義: :. 0, 且且窮窮小小是是同同一一過過程程中中的的兩兩個(gè)個(gè)無無設(shè)設(shè);),0(lim)2(是是同同階階的的無無窮窮小小與與就就說說如如果果 CC;, 1lim 記作記作是等價(jià)的無窮小是等價(jià)的無窮小與與則稱則稱如果如果特殊地特殊地.),0, 0(lim)3(無窮小無窮小階