有限元分析中的一些問題

1、有限元分析的一些基本考慮-單元形狀對于計算精度的影響 筆者發(fā)現(xiàn)，在分析復雜問題時，我們所可能出現(xiàn)的錯誤，竟然是一些很根本的錯誤，這些根本錯誤是由于對有限元的基本理論理解不清晰而造成的。鑒于這個原因，筆者決定對一些基本問題（例如單元形狀問題，單元大小問題，應力集中問題等）展開調查，從而形成了一系列文章，本篇文章是這些系列文章中的第一篇。本篇文章先考慮有限元分析中的第一個基本問題：單元形狀問題。我們知道，單元形狀對于有限元分析的結果精度有著重要影響，而對單元形狀的衡量又有著諸多指標，為便于探討，這里首先只討論第一個最基本的指標：長寬比（四邊形單元的最長尺度與最短尺度之比），而且僅考慮平面

2、單元的長寬比對于計算精度的影響。為此，我們給出一個成熟的算例。該算例是一根懸臂梁，在其端面施加豎直向下的拋物線分布載荷，我們現(xiàn)在考察用不同尺度的單元劃分該梁時，對于A點位移的影響。這五種不同的劃分方式，都使用矩形單元，只不過各單元的長寬比不同。例如第一種（1）AR=1.1，就是長寬比接近1；第二種（2）AR=1.5,就是長寬比是1.5.其它類推。第五種（5）AR=24，此時單元的長度是寬度的24倍?，F(xiàn)在我們看看按照這五種單元劃分方式對于A點位移的影響，順便我們也算出了B點的位移，結果見下表。我們現(xiàn)在仔細查看一下上表，并分析其含義。我們先考慮第一行，它是第一種單元劃分情況，此時每個單元的長寬比是

3、1.1，由此我們計算出A點，B點的垂直位移，可以看到，A點的豎直位移是-1.093英寸，而B點的豎直位移是-0.346英寸。而這兩點我們都是可以用彈性力學的方式得到精確解的，其精確解分別是-1.152以及-0.360.這樣，我們可以得到此時A點位移誤差的百分比是(-1.093)-(-1.152)/1.152 = 5.2%.對于其它情況，也采用類似的方式得到A點位移誤差的百分比。從上表可以看出來，隨著長寬比的增加，位移誤差越來越大，竟然大到56%。因此，如果我們是用長寬比為24的單元進行劃分的話，那么我們的結果可以說是完全錯誤的。下面按照上表繪制出一張圖，該圖從形象的角度表達了上表的含義。由此可

4、見，長寬比越接近于1，那么結算結果越精確，越遠離1，則誤差越大。因此我們在進行有限元分析時，應該盡量保證劃分的單元長寬比接近1，這意味著，如果我們使用了四邊形單元，則最好是正方形單元；如果使用了三角形單元，則最好是等邊三角形。當然，對于一個復雜的零件而言，我們很難保證每個單元都滿足這些要求，但是，我們一定要確保，在我們所關注的地方，例如應力最大的地方，單元形狀要接近這一點，否則，我們得到的解就是不可相信的。但是上述結果也告訴我們，即便是最好形狀的單元（情況1，長寬比為1.1），結果的計算精度也不容樂觀，其誤差達到5.2%,那么，我們可以得到更高精度的解答嗎？可以。這需要單元的細分，下一篇博文中

5、將會詳細說明這一點。有限元分析的一些基本考慮-單元大小對于計算精度的影響有限元分析一定可以得到問題的精確解嗎？理論上可以證明，如果插值函數(shù)使用了“協(xié)調和完整的位移函數(shù)”，則當網(wǎng)格尺寸逐漸減小而單元數(shù)量增加時，解就會單調收斂。而且，當單元數(shù)目增加時，得到的剛度會降低，并收斂于真實剛度；這就意味著，當單元增加時，得到的位移增加，而收斂于精確位移解。其圖形如下： 這里所說的“協(xié)調和完整位移函數(shù)”，是指：1.近似函數(shù)式一般是多項式。2.近似函數(shù)在單元內要保持連續(xù)。3.近似函數(shù)應提供單元間的連續(xù)性，包括離散單元每一個節(jié)點所有自由度都應該是連續(xù)的，二維單元和三維單元沿著公共邊界線和公共面必須是連

6、續(xù)的。既能夠保證單元內的連續(xù)，又能夠保證單元間的連續(xù)的形函數(shù)稱為協(xié)調函數(shù)。4.近似函數(shù)應考慮剛體位移和單元內的常應變狀態(tài)。即有常數(shù)項保證剛體運動（無應變的運動），而有一次項保證有常應變狀態(tài)發(fā)生。這是形函數(shù)的完整性問題。例如，對于一維單元而言，若取形函數(shù)則同時滿足上面四個條件，稱為協(xié)調且完整的位移函數(shù)。一般來說，我們所用的單元使用的位移函數(shù)都滿足上述四個條件，所以從理論上來說，只要網(wǎng)格加密，就可以收斂于真實解。為了驗證上述理論的真實性，我們選用了一個材料力學中的例子來做仿真。該例子如下使用材料力學的理論進行求解，簡要過程如下使用ANSYS進行分析，使用BEAM188單元，首先創(chuàng)建如圖所示的幾何模

7、型然后分別對各段直線加密網(wǎng)格劃分，得到的結果如下上表中，第一列是劃分的單元數(shù)，第二列是最大的壓應力，第三列是最大的拉應力?？梢钥吹?，隨著單元數(shù)目的增加，最大拉伸，壓縮應力的絕對值都在增加。從材料力學得到的精確解，最大的壓應力是-46.2MPa, 最大的拉應力是28.8MPa。這樣，當單元數(shù)增加到64個時，壓應力的誤差是（46.2-45.7）/46.2 =1.1%; 拉應力的精度是（28.8-28.6)/28.8=0.7%.此時精度已經(jīng)相當高了?？梢悦黠@的看出，隨著單元數(shù)目的增加，應力解的確是在逐漸逼近真實解。從這個方面來說，加密網(wǎng)格的確是提高計算精度的有效方法。這也意味著，我們在有限元仿真中，

8、如果要得到精確的結果，必須不斷細分網(wǎng)格，直到結果收斂。否則，我們的得到結果就是不可信的。那么，對于任何問題，只要網(wǎng)格無限細分，一定可以收斂于真實解嗎？未必。下一篇文章將闡述此問題。有限元分析中的一些問題-應力集中結果的可信性對于任意的幾何模型，網(wǎng)格細分就一定能夠得到真實解嗎？這是每一個CAE分析工程師都關注的問題。如果結構中沒有應力集中，答案是肯定的。如果結構中存在應力集中，則結果未必會收斂。為了說明這一點，我們選取了一個平面應力問題。它是一個角支座，其圖形及尺寸如下。在角支座上鉆了兩個孔，現(xiàn)在我們固定左上邊的孔，而在右下方孔的第四象限半圓上施加壓力。并通過不斷的加密網(wǎng)格來考慮計算結果的可信性。生成的有限元模型如下 固定左上邊的孔，并對右下方孔施加右下方向的壓力，當單元尺寸取5mm時候，應力云圖如下     可見，此時最大應力發(fā)生在拐角處，是34.383MPa.單元尺寸全局細分到3mm，結果是 最大應力是44.44MPa.單元尺寸全局細分到1mm，結果是 最大應力是74.004MPa.單元尺寸全局細分到0.4mm，結果是 最大應力是112.873MPa.可見，結果并沒有收斂的趨勢。如果我們進一