彈塑性理論基本知識

1、張強(qiáng)勇張強(qiáng)勇 2 2.1 .1 彈性力學(xué)基本知識彈性力學(xué)基本知識 2 2.2 .2 巖土塑性力學(xué)基本知識巖土塑性力學(xué)基本知識 1.1.應(yīng)力方向規(guī)定應(yīng)力方向規(guī)定 x12x3x111213212322313332x1x2x3正面正面正面負(fù)面負(fù)面負(fù)面l 正面上的應(yīng)力，以與坐標(biāo)軸的正面上的應(yīng)力，以與坐標(biāo)軸的正向一致為正，反之正向一致為正，反之為負(fù)為負(fù)。l 負(fù)面上的應(yīng)力以與坐標(biāo)軸的負(fù)面上的應(yīng)力以與坐標(biāo)軸的負(fù)向一致為正，反之為負(fù)向一致為正，反之為負(fù)負(fù)。 中中 j j表示應(yīng)力方向，表示應(yīng)力方向，i i表示應(yīng)力所在截面的外法線表示應(yīng)力所在截面的外法線方向。方向。ij2. 2. 應(yīng)力變換公式應(yīng)力變換公式 取任意

2、一個斜面，設(shè)其外法線上的單位矢量為取任意一個斜面，設(shè)其外法線上的單位矢量為n ni i，它的三個分量是方向余弦，即：它的三個分量是方向余弦，即： 且有且有 ijmjninmll)3 , 2 , 1(),cos(ilennniii1332221nnn213nimi 設(shè)該斜面上的應(yīng)力矢量為設(shè)該斜面上的應(yīng)力矢量為 ，斜面的面積為，斜面的面積為S S，S S在在X X1 1OXOX2 2內(nèi)投影為內(nèi)投影為S S3 3，在在X X1 1OXOX3 3內(nèi)投影為內(nèi)投影為S S2 2，在在X X2 2OXOX3 3內(nèi)內(nèi)投影為投影為S S1 1。由四面體的平衡條件由四面體的平衡條件 得到得到: :已知：已知：則：

3、則： 000321XXX333223113333222211223312211111SSSSPSSSSPSSSSPssnssnssn332211333232131332322212123132121111nnnPnnnPnnnPiPiP213nimi1S3S2SjiijniijPnl 截面上的應(yīng)力矢量的各分量截面上的應(yīng)力矢量的各分量為jP將將P Pj j投影到任意新的投影到任意新的m m坐標(biāo)軸上去，可得：坐標(biāo)軸上去，可得：上式表明：上式表明：l已知材料中任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)已知材料中任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) ，則通過該點(diǎn)，則通過該點(diǎn)的任意截面的任意截面 （單位外法線矢量為（單位外法線矢量為n ni i

4、）上的應(yīng)力矢上的應(yīng)力矢量量P Pj j在任意方向在任意方向 上的投影上的投影 為：為：l由于滿足由于滿足 形式，表明應(yīng)力是二階張量。形式，表明應(yīng)力是二階張量。l ) 3 , 2 , 1,(332211jillplplplplijmjnijmjmmmnmijmnmijmjninmllmnjnimijTllTx12x3x111213212322313332x1x2x3正面正面正面負(fù)面負(fù)面負(fù)面213nimi1S3S2Sl已知一點(diǎn)的應(yīng)力，利用應(yīng)力變換公式可求得通過該點(diǎn)已知一點(diǎn)的應(yīng)力，利用應(yīng)力變換公式可求得通過該點(diǎn)的任意截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。的任意截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。 如下圖，已知一點(diǎn)的平面應(yīng)力狀

5、態(tài)如下圖，已知一點(diǎn)的平面應(yīng)力狀態(tài) 可可求得任意斜截面上的正應(yīng)力求得任意斜截面上的正應(yīng)力 ，剪應(yīng)力，剪應(yīng)力,22211211nnnt1x2x2221111222211211nnntxxyynxyyxyxnxyyx22121211ij sin,cos21nnnilll cos,sin21tttjlll利用應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式利用應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式 ，可求得：，可求得： ijmjninmll2212222211221122212211222212211122222122121121112211sincos22sincos222cos1sin2cos1sincossincossincosxyyxyxnnnnnnnn

6、iinniinniijnjninnnxyyxtntntntnitniiltlniijtjnintn22212221211222212212112111122sin2sincoscossinsincos3.3.主應(yīng)力和主應(yīng)力張量不變量主應(yīng)力和主應(yīng)力張量不變量 主應(yīng)力：主應(yīng)力：主平面（剪應(yīng)力為零的平面）主平面（剪應(yīng)力為零的平面）上的正應(yīng)力。上的正應(yīng)力。 設(shè)任一主平面的外法線方向?yàn)樵O(shè)任一主平面的外法線方向?yàn)閚 ni i（i=1i=1，2 2，3 3） 由由因因n n1 1，n n2 2，n n3 3不全為零，則不全為零，則 0)(0)(0)(333223113332222112331221111nn

7、nnnnnnn0/ijij0n)(nnnPiijijijijijij0032213332313322212312111III由由 可求得主平面上的主應(yīng)力矢量在可求得主平面上的主應(yīng)力矢量在三個坐標(biāo)軸上的投影三個坐標(biāo)軸上的投影 則：則： 333231232221131211311133133333223222221121123322111IIIkk032213III321,321313322123211)(III因?yàn)橹鲬?yīng)力和坐標(biāo)系的選擇無關(guān)（即用主平面上的主應(yīng)因?yàn)橹鲬?yīng)力和坐標(biāo)系的選擇無關(guān)（即用主平面上的主應(yīng)力描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)不隨坐標(biāo)系而變化），因此力描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)不隨坐標(biāo)系而變化），因此 在

8、坐標(biāo)變換時也保持不變，故稱在坐標(biāo)變換時也保持不變，故稱 分別為應(yīng)力張分別為應(yīng)力張量的第一、第二、第三不變量量的第一、第二、第三不變量321,III4.4.偏應(yīng)力張量及其不變量偏應(yīng)力張量及其不變量 由于任何張量由于任何張量 總可以分解為球張量和偏張量兩部分，總可以分解為球張量和偏張量兩部分，即即球張量球張量 ：不隨坐標(biāo)系而變化的張量。：不隨坐標(biāo)系而變化的張量。偏張量偏張量 ：張量與球張量之差。張量與球張量之差。應(yīng)力張量應(yīng)力張量 也可分解為應(yīng)力偏張量也可分解為應(yīng)力偏張量 和應(yīng)力球張量和應(yīng)力球張量 在主應(yīng)力狀態(tài)下在主應(yīng)力狀態(tài)下 ijTijijijijijPSQSTijijS)(31)(3131321

9、332211kkPijQijSijQpppPQijij000000ijijijpSPPPSij321000000 與應(yīng)力張量不變量類似可得到偏應(yīng)力張量的三個不變與應(yīng)力張量不變量類似可得到偏應(yīng)力張量的三個不變量量 : :式中式中: : 為偏應(yīng)力第一不變量；為偏應(yīng)力第一不變量； 為偏應(yīng)力第二不變量；為偏應(yīng)力第二不變量； 為偏應(yīng)力第三不變量為偏應(yīng)力第三不變量 321,JJJijkiikijijijkkSSSSJSSSSSSSSSSSSSSJSSSSJ31)(6)()()(6121)(0323122321221133233222221113313223211211333322221123322111)

10、(31)(310232221321313322123222121SSSSSSJJJ1J2J3J 5. 5. 應(yīng)力空間應(yīng)力空間 一般應(yīng)力空間：一般應(yīng)力空間：應(yīng)力張量有應(yīng)力張量有6 6個獨(dú)立分量，可視為個獨(dú)立分量，可視為6 6維空間中維空間中的一個點(diǎn)，這的一個點(diǎn)，這6 6維空間中的每一個坐標(biāo)代表一種應(yīng)力分量維空間中的每一個坐標(biāo)代表一種應(yīng)力分量（或說代表一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)），這個應(yīng)力空間稱為（或說代表一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)），這個應(yīng)力空間稱為一般應(yīng)力一般應(yīng)力空間空間。 應(yīng)力路徑：應(yīng)力路徑：研究固體中一個點(diǎn)的應(yīng)力變化可用應(yīng)力空間中的研究固體中一個點(diǎn)的應(yīng)力變化可用應(yīng)力空間中的一個點(diǎn)的軌跡來形象加以描述，這個軌跡表示

11、了應(yīng)力變化的一個點(diǎn)的軌跡來形象加以描述，這個軌跡表示了應(yīng)力變化的歷史，稱為歷史，稱為應(yīng)力路徑應(yīng)力路徑。 主應(yīng)力空間：主應(yīng)力空間：確定一點(diǎn)的主應(yīng)力需要確定一點(diǎn)的主應(yīng)力需要6 6個獨(dú)立變量，三個主個獨(dú)立變量，三個主應(yīng)力值和三個決定主軸方向的參數(shù)，應(yīng)力值和三個決定主軸方向的參數(shù)，如果研究的材料是各向如果研究的材料是各向同性的，主應(yīng)力的方向可以不考慮，則一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)只由同性的，主應(yīng)力的方向可以不考慮，則一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)只由三個主應(yīng)力值決定三個主應(yīng)力值決定，如果用三個互相垂直的軸各表示一個主，如果用三個互相垂直的軸各表示一個主應(yīng)力值，則得到一個三維的應(yīng)力空間，稱為應(yīng)力值，則得到一個三維的應(yīng)力空間，稱為主

12、應(yīng)力空間主應(yīng)力空間。主應(yīng)力空間中任意一點(diǎn)的主應(yīng)力矢量為主應(yīng)力空間中任意一點(diǎn)的主應(yīng)力矢量為 , , 把把 分解為球張量和偏張量兩部份：分解為球張量和偏張量兩部份：由由 知表征應(yīng)力球張量的單位矢量知表征應(yīng)力球張量的單位矢量n n與三個主應(yīng)力坐標(biāo)軸的夾角相等，與三個主應(yīng)力坐標(biāo)軸的夾角相等， ， 我們稱與三個主應(yīng)力坐標(biāo)軸成相同夾角我們稱與三個主應(yīng)力坐標(biāo)軸成相同夾角 的直線的直線為靜水壓力軸為靜水壓力軸，在靜水壓力軸上每一點(diǎn)的，在靜水壓力軸上每一點(diǎn)的 球張量的幾何解釋是靜水壓力軸上的一個分矢量球張量的幾何解釋是靜水壓力軸上的一個分矢量。 332211eeePPQSP)(321eeePQ)(31321ee

13、en5533arccos0321P 6. 6.八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力 八面體：l 如果一個平面的法線和三個坐標(biāo)軸的夾角都相等如果一個平面的法線和三個坐標(biāo)軸的夾角都相等（即（即 ），），則這則這 個平面稱為等斜面，在主應(yīng)力空個平面稱為等斜面，在主應(yīng)力空間中，這樣的平面共有八個，它們組成的幾何體稱為間中，這樣的平面共有八個，它們組成的幾何體稱為八八面體面體。l 八面體上的正應(yīng)力八面體上的正應(yīng)力 與第一應(yīng)力不變量與第一應(yīng)力不變量I I1 1有關(guān)有關(guān)，八面體，八面體上的剪應(yīng)力上的剪應(yīng)力 和第二偏應(yīng)力不變量J2有關(guān)。 33321nnnoctoct21323222121321)()()(

14、313231)(31JIoctoct 等效應(yīng)力：l 許多文獻(xiàn)為了把三維應(yīng)力狀態(tài)和單軸試驗(yàn)中的拉（壓）許多文獻(xiàn)為了把三維應(yīng)力狀態(tài)和單軸試驗(yàn)中的拉（壓）應(yīng)力聯(lián)系起來，定義了應(yīng)力聯(lián)系起來，定義了等效應(yīng)力等效應(yīng)力 在單向拉伸時 ，則l 為了把三維應(yīng)力和純剪試驗(yàn)中的剪應(yīng)力聯(lián)系起來，定義了等效剪應(yīng)力 2132322212)()()(213J0,321T2132322212)()()(61JT 1. 1. 塑性材料分類塑性材料分類 理想彈塑性材料理想彈塑性材料 應(yīng)變硬化材料應(yīng)變硬化材料 應(yīng)變軟化材料應(yīng)變軟化材料 塑性材料的特征：塑性材料的特征：l加載、卸載遵循不同的應(yīng)力應(yīng)變路徑，是加載、卸載遵循不同的應(yīng)力應(yīng)

15、變路徑，是不可逆過程不可逆過程。l應(yīng)力與應(yīng)變之間不是一一對應(yīng)的關(guān)系，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變之間不是一一對應(yīng)的關(guān)系，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與加載歷史有與加載歷史有關(guān)關(guān)，即：，即： 式中式中 為內(nèi)變量，反映加載歷史和材料微觀結(jié)構(gòu)變化的量，其不能直接為內(nèi)變量，反映加載歷史和材料微觀結(jié)構(gòu)變化的量，其不能直接測量，因此稱為測量，因此稱為內(nèi)變量內(nèi)變量。加載卸載加載卸載加載卸載),(qijijq 2. 2. 理想彈塑性材料理想彈塑性材料 屈服：屈服：材料應(yīng)力達(dá)到某一定值的時候變形可以不斷增材料應(yīng)力達(dá)到某一定值的時候變形可以不斷增加而應(yīng)力不再提高，這種現(xiàn)象稱為加而應(yīng)力不再提高，這種現(xiàn)象稱為屈服屈服。 屈服面：屈服面：在

16、應(yīng)力空間中，每一種應(yīng)力狀態(tài)（在應(yīng)力空間中，每一種應(yīng)力狀態(tài)（ ）下都）下都能找到一個確定屈服的臨界能找到一個確定屈服的臨界 ，這些值所形成封，這些值所形成封閉曲面稱為屈服面閉曲面稱為屈服面 屈服準(zhǔn)則：屈服準(zhǔn)則：反映材料產(chǎn)生屈服的條件反映材料產(chǎn)生屈服的條件 稱為屈服稱為屈服條件（屈服準(zhǔn)則）條件（屈服準(zhǔn)則） ij)(ijF0)(ijFijF( )=0ijij0)(ijF 對于金屬材料認(rèn)為：對于金屬材料認(rèn)為：l其屈服條件只與主應(yīng)力其屈服條件只與主應(yīng)力 大小有關(guān)，大小有關(guān)，與其方與其方向無關(guān)向無關(guān)。l 其屈服條件只和應(yīng)力偏張量有關(guān)，而與其屈服條件只和應(yīng)力偏張量有關(guān)，而與 平均應(yīng)力平均應(yīng)力 無關(guān)無關(guān)。l這

17、就是說材料的這就是說材料的屈服面在空間中與靜水壓力屈服面在空間中與靜水壓力軸平行軸平行。 iikkP313.3.TrescaTresca準(zhǔn)則和準(zhǔn)則和MisesMises屈服準(zhǔn)則屈服準(zhǔn)則 TrescaTresca屈服準(zhǔn)則屈服準(zhǔn)則 : : l認(rèn)為材料的最大剪應(yīng)力達(dá)到一定極限值認(rèn)為材料的最大剪應(yīng)力達(dá)到一定極限值k k，材料材料就會產(chǎn)生屈服，其屈服條件只與就會產(chǎn)生屈服，其屈服條件只與 、 有關(guān)，和有關(guān)，和中間主應(yīng)力中間主應(yīng)力 無關(guān)。無關(guān)。lTrescaTresca屈服面在應(yīng)力空間為屈服面在應(yīng)力空間為一六棱柱面一六棱柱面，在平面，在平面上的投影為上的投影為一正六邊形一正六邊形。 321Tresca六棱柱

18、屈服面ssssssskbka21, 0,:210,321321、在純剪狀態(tài)下、在單向拉伸狀態(tài)下132k)(2131max MisesMises屈服準(zhǔn)則屈服準(zhǔn)則 : :l 認(rèn)為偏應(yīng)力張量的第二不變量達(dá)到某一極限值認(rèn)為偏應(yīng)力張量的第二不變量達(dá)到某一極限值C C，材料產(chǎn)生屈服。材料產(chǎn)生屈服。 J J2 2=C =C l J J2 2在在平面上的投影為一個圓，因此平面上的投影為一個圓，因此MisesMises屈服屈服面為面為一平行靜水壓力軸的圓柱面一平行靜水壓力軸的圓柱面。321Mises屈服面Tresca屈服面321Mises圓柱形屈服面s3s2s2s32s12s232s1577. 03cJ, 0,

19、:bc31J , 0,:a、純剪狀態(tài)、單向拉伸 4. 4.流動法則和加卸載準(zhǔn)則流動法則和加卸載準(zhǔn)則 流動法則流動法則 : 式中式中G G為塑性勢函數(shù)為塑性勢函數(shù) ；為比例常數(shù)，為比例常數(shù)，q q為內(nèi)變量（反為內(nèi)變量（反映加載歷史和塑性變形的變量）映加載歷史和塑性變形的變量）加、卸載準(zhǔn)則加、卸載準(zhǔn)則 : :ijijpijGhdGdd非關(guān)聯(lián)流動法則關(guān)聯(lián)流動法則GFGF卸載但中性卸載塑性加載且彈性階段,00),(0,00),(0),(ijijijijijijijijijdFdFqFdFdFdFqFqFijF( )=0ijij彈性加載 塑性加載ijijFijd2卸載ijFij2dij5.5.塑性一致性

20、條件塑性一致性條件 塑性一致性條件：塑性一致性條件：屈服面屈服面 在應(yīng)力空間隨塑性內(nèi)變量在應(yīng)力空間隨塑性內(nèi)變量q q的變化的變化而變化，但材料在加載過程中出現(xiàn)的新的應(yīng)力點(diǎn)而變化，但材料在加載過程中出現(xiàn)的新的應(yīng)力點(diǎn)（ ）將始終在后繼加載面（屈服面）將始終在后繼加載面（屈服面）上，即，上，即， 這種新的應(yīng)力始終保持這種新的應(yīng)力始終保持在加載面上的條件稱為在加載面上的條件稱為塑性一致性條件塑性一致性條件。即：。即： 0),(qFijijijd0dqqFdFdF0),(qFij0dqqFdFdFijijij初始屈服面后繼屈服面F（ ,q）=0F（ d ,q+dq）=0 由于塑性變形的影響，材料加卸載彈

21、性模量由于塑性變形的影響，材料加卸載彈性模量隨塑性變形的變化而變化，這種特性稱為隨塑性變形的變化而變化，這種特性稱為彈彈塑性耦合。塑性耦合。 6. 6. 彈塑性耦合彈塑性耦合 DruckerDruckerPragerPrager屈服準(zhǔn)則屈服準(zhǔn)則 :lD-PD-P準(zhǔn)則考慮了靜水壓力（圍壓效應(yīng)）的影響，準(zhǔn)則考慮了靜水壓力（圍壓效應(yīng)）的影響，隨靜水壓力隨靜水壓力增加的增加，屈服面半徑不斷擴(kuò)大增加的增加，屈服面半徑不斷擴(kuò)大lD-PD-P準(zhǔn)則在應(yīng)力空間中為準(zhǔn)則在應(yīng)力空間中為圓錐面，是圓錐面，是MisesMises準(zhǔn)則的推廣準(zhǔn)則的推廣。 21KJI2222222322)()()(61sin393,sin3

22、9sinxyzxyzxzzyyxJcCosk7.7.巖土材料中的屈服準(zhǔn)則巖土材料中的屈服準(zhǔn)則 321D-P圓錐面321Mises圓柱形屈服面Mohr-CoulombMohr-Coulomb（M-CM-C）屈服準(zhǔn)則屈服準(zhǔn)則 : :maxtgcnncos)(21sin)(21)(21313131nnnn13nn( , )C摩爾-庫侖六棱錐面231cos)3sinsincos(sin31sin)(21)(21cos)(2121313131JItgcKJI213sinsincos)(,)(cos,)(3sinFFkF為材料內(nèi)摩擦角為材料內(nèi)摩擦角為為LodeLode角角M-CM-C準(zhǔn)則在應(yīng)力空間準(zhǔn)則在應(yīng)

23、力空間為一六棱錐面，是為一六棱錐面，是TrescaTresca準(zhǔn)則的推廣準(zhǔn)則的推廣321Tresca六棱柱屈服面 注意：注意：D-PD-P準(zhǔn)則和準(zhǔn)則和M-CM-C準(zhǔn)則準(zhǔn)則只適用巖土受壓情只適用巖土受壓情形形，即，在，即，在受拉區(qū)和實(shí)驗(yàn)有較大出入受拉區(qū)和實(shí)驗(yàn)有較大出入 321M-C六棱錐面D-P圓錐面Zienkiewicz-pandeZienkiewicz-pande（辛潘屈服準(zhǔn)則）辛潘屈服準(zhǔn)則） 220(024mF ）kijkijijijijijijzyxmSSSJJKPSSSJccckkkgJg31,2333sinsin3sin3,21cossin,cossin2,sin3sin)1 ()1 (2)(,)()(3133322222220l D-PD-P準(zhǔn)則適用于軟弱夾層準(zhǔn)則適用于軟弱夾層l Z-P Z-P準(zhǔn)則適于模擬巖石、砼材料準(zhǔn)則適于模擬巖石、砼材料 8. 8. 巖土材料的彈塑性本構(gòu)模型巖土