第二章代數(shù)式重點(diǎn)

1、和田師范?？茖W(xué)校教師教案首頁(使用于2016-2017學(xué)年 第一學(xué)期)課程名稱基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)現(xiàn)代教育技術(shù) 班級(jí)2016級(jí) 1 班主講教師阿依古扎力艾比布拉計(jì)劃總時(shí)數(shù)8專業(yè)層次大專專業(yè)技術(shù)職務(wù)聘用老師周課時(shí)4編寫時(shí)間2016年10月章節(jié)名稱第二章 代數(shù)式教學(xué)目的與要求1，理解代數(shù)式的意義數(shù)及相關(guān)概念，能解釋代數(shù)式反應(yīng)的數(shù)量之間的關(guān)系。2，用代數(shù)式表示實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系。3，了解代數(shù)式中的一些規(guī)律。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：列代數(shù)式/求代數(shù)式的值。難點(diǎn)：由實(shí)際問題列及規(guī)律探究題的解法。教學(xué)內(nèi)容更新或補(bǔ)充情況增加了其他教輔（解題決策）上的例題教學(xué)方法與組織安排講解與多媒體講授法教學(xué)手段教材基本教材與參考書

2、思維導(dǎo)圖，申招斌，湖南教育出版社，2014年8月，第六版教研室或?qū)＜覍彶橐庖姷诙?代數(shù)式第一節(jié) 代數(shù)式與整式1.代數(shù)式的有關(guān)概念： 用運(yùn)算符號(hào)（加，減，乘，除，乘方，開方）把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子叫做代數(shù)式。注：1）單個(gè)數(shù)字與字母也是代數(shù)式。2）代數(shù)式、公式與等式的區(qū)別是代數(shù)式中不含等號(hào)，而公式和等式中都含有等號(hào)。3）代數(shù)式可分運(yùn)算關(guān)系和運(yùn)算結(jié)果兩種情況。例1.在中有理式有（）個(gè).答：都是有理式.代數(shù)式的分類：代數(shù)式 有理式：只含有加，減，乘，除，乘方，（包括數(shù)字開方運(yùn)算）的代數(shù)式叫做有理式。無理式：只含關(guān)于字母開放運(yùn)算的代數(shù)式叫做無理式。整式：沒有除法運(yùn)算或雖有除法運(yùn)算而除式里不含

3、字母的有理式叫做整式。列代數(shù)式：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞用含有數(shù)、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來，就是列代數(shù)式。代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的結(jié)果，叫做代數(shù)式的值。求代數(shù)式的值的步驟：1）代入：指用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母 2）計(jì)算：指按代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出結(jié)果。例2:已知a,b是互為相反數(shù),c,d是互為倒數(shù),e是非零實(shí)數(shù),求的值.解：應(yīng)從概念含著的數(shù)學(xué)關(guān)系式入手，得出a+b=0， c.d=0 又e是非零實(shí)數(shù)。例3：先化簡(jiǎn)，再求值：，其中。解：對(duì)于整式的化簡(jiǎn)，應(yīng)先取括號(hào)，再合并同類項(xiàng)。例4：已知：，計(jì)算：。解：原式。例5：若X+Y=1，求的值。解：當(dāng)X+

4、Y=1時(shí)，2.同類項(xiàng)，合并同類項(xiàng)整式：1）沒有除法運(yùn)算或雖有除法運(yùn)算而除式里不含字母的有理式叫做整式。2）單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式，或由數(shù)和字母經(jīng)過有限次加，減、乘、乘方所得的式子叫做有理整式，簡(jiǎn)稱為整式。所有的整式都是代數(shù)式，但代數(shù)式并不都是整式。單項(xiàng)式：所含的字母相同并且相同字母的指數(shù)也分別相同的單項(xiàng)式叫做同類項(xiàng)。單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)。注：1）若一個(gè)單項(xiàng)式只有字母，那么這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)為1或-1；若單項(xiàng)式為常數(shù)則系數(shù)為本身。2）與e=2.718281828459是數(shù)，不要把它當(dāng)成字母，如2r2的系數(shù)為2。3)單項(xiàng)式的次數(shù)是指所有字幕的指數(shù)和，與系數(shù)的指數(shù)沒有

5、關(guān)系。多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式；在多項(xiàng)式中每一個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)；不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)；單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)叫做項(xiàng)數(shù)。多項(xiàng)式中次數(shù)最高的想的次數(shù)叫做多項(xiàng)式的次數(shù)；多項(xiàng)式通常以它的次數(shù)和項(xiàng)數(shù)來命名的，稱幾次幾項(xiàng)。注：多項(xiàng)式的各項(xiàng)移動(dòng)時(shí)要連同它前面的符號(hào)一移動(dòng)。例6：若與 的和仍是單項(xiàng)式，則與的值分別是（）A:1,2 B:2,1 C:1,1 D:1,3解:由題意可知:它們之和仍為單項(xiàng)式,說明它們能合并同類項(xiàng).故有 解之，得例7: x-(2x-y)的運(yùn)算結(jié)果是( )A:-x+y B:-x-y C:x-y D:3x-y解:此題考察的是整式的加減,先去括號(hào),再合并同類項(xiàng).所以,x-(2x-y)=x

6、-2x+y=-x-y.3.整式的運(yùn)算：（1）數(shù)的運(yùn)算律對(duì)代數(shù)式同樣適用.（2）整式的加減：整式的加減法實(shí)際上就是合并同類項(xiàng)，把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類項(xiàng)；遇到括號(hào)，先去掉括號(hào)，方法是：+ （3）冪的運(yùn)算法則：例8：小馬虎在下面的計(jì)算中只做對(duì)了一道題，他做對(duì)的題目是（）。A： B：C： D：解：由左欄4（6）乘法公式可得：，故A錯(cuò)誤；由左欄4（3）冪的運(yùn)算，可知，故B正確；顯然C錯(cuò)誤；又由取括號(hào)法則可知：-（a-1）=-a+1，故D錯(cuò)誤。因此答案應(yīng)選B。4.因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式叫做多項(xiàng)式因式分解.因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：如多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式

7、，可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式，即： （2）運(yùn)用公式法：把乘法公式反過來對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式，即 （3）分組分解法：1）分組后能直接提公因式.2）分組后能直接運(yùn)用公式。3）（4）十字相乘法：，（5）求根公式法：在5.因式分解的一般步驟：（1）多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式時(shí)，先提公因式.（2）各項(xiàng)沒有公因式時(shí)，要看看能不能用公式法來分解.（3）如果用上述方法不能分解，再看能不能運(yùn)用分組分解法.（4）分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止.例9：下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的是（）A：a（x+y）=ax+ay B：C： D：解：由左欄5可知，飲食分解的結(jié)果

8、是幾個(gè)整式的積，而選項(xiàng)A，B，D的右邊都不是積的形式。故答案應(yīng)選是C。例10：（1）分解因式：。 （2）分解因式： （3）把45因式分解的結(jié)果是（）A：5ab（9b-4） B：C： D：5a（3b+2）（3b-2）解：（1）由于多項(xiàng)式有四項(xiàng)，可選分組，再分解；（2），（3）中都有公因式a，可先提取公因式，再分解。（2）；（3）。故答案應(yīng)選D例11：分解因式解：設(shè)原式=把代入原式得例12：已知二次三項(xiàng)式分解因式為則b，c的值為：（）A：b=3，c=-1 B：b=-6，c=2C：b=-6，c=4 D：b=-4，c=-6解：可利用多項(xiàng)式的因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆變形這一關(guān)系求解。因?yàn)樗詁=-4且c

9、=-6例13：要使二次三項(xiàng)式能在整數(shù)范圍內(nèi)分解因式，求m可取的整數(shù)值。解：先用待定系數(shù)法找出m與待定字母的關(guān)系，然后討論求解。設(shè)即比較系數(shù)得因?yàn)檎麛?shù)，所以a可取-1，-2 ，-3，-6，1，2，3，6相應(yīng)的b可取6，3，2，1，-6，-3，-2，-1所以m的值為5，1，-1，-5.例14 ：因式分解：.解：解法一：可用“雙十字相乘法”：所以 原式=（2x-y+3）(2x+3y-2)解法二：“待定系數(shù)法”即令原式=（2x-y+m）(2x+3y+n) = =4所以 原式=（2x-y+3）(2x+3y-2)第二節(jié) 分式一、 分式：1.分式的有關(guān)概念及性質(zhì)分式：設(shè) A、B表示兩個(gè)整式如果B中含有字母，

10、式子AB就叫做分式。注：分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義.2. 分式的基本性質(zhì)AB=A×MB×M，AB=A÷MB÷M（M為不等于零的整式）.3最簡(jiǎn)分式分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式如果分子分母有公因式，要進(jìn)行約分化簡(jiǎn) .分式的概念需注意的問題：（1）分式是兩個(gè)整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分?jǐn)?shù)線則可以理解為除號(hào)，還含有括號(hào)的作用；（2）分式AB中，A和B均為整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必須含有字母且不為0；（3）判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式，不要把原式約分變形，只根據(jù)它的原有形式進(jìn)行判斷（4）分式有無意義的條件：在分式A

11、B中， 當(dāng) B0時(shí)，分式有意義；當(dāng)分式有意義時(shí)，B0 當(dāng) B=0時(shí)，分式無意義；當(dāng)分式無意義時(shí)，B=0 當(dāng) B0且A = 0時(shí)，分式的值為零 4基本運(yùn)算法則1）分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似 ,具體運(yùn)算法則如下:（1）加減運(yùn)算：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減, ba±ca=b±ca；異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則進(jìn)行計(jì)算.，如： ab±cd=ad±bcbd（2）乘法運(yùn)算：兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母. ab·cd=acbd（3）除法運(yùn)算:兩個(gè)分式

12、相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘. ab÷cd=ab·dcadbc（4）乘方運(yùn)算（分式乘方）:分式的乘方，把分子分母分別乘方(ab)n=anbn2）零指數(shù):a0=1(a0)3）負(fù)整數(shù)指數(shù) a-p=1ap(a0,p為正整數(shù))4）分式的混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的5）約分：把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分6）通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，異分母的分式可以化為同分母的分式，這一過程稱為分式的通分注：1.約分需明確的問題：（1）對(duì)于一個(gè)分式來說，約分就是要把分子與分母都除以同一個(gè)因式，使約分前后分式的值相等；

13、（2）約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公因式，其思考過程與分解因式中提取公因式時(shí)確定公因式的思考過程相似；在此，公因式是分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母最低次冪的積2.通分注意事項(xiàng)：（1）通分的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)公分母；最簡(jiǎn)公分母應(yīng)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有因式的最高次冪的積；（2）不要把通分與去分母混淆，本是通分，卻成了去分母，把分式中的分母丟掉；（3）確定最簡(jiǎn)公分母的方法：最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；最簡(jiǎn)公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次冪的積 .5.分式方程及其應(yīng)用1）分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程2）分式方程的解法：解分式方程的關(guān)鍵是去

14、分母,即方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程 3）分式方程的增根問題驗(yàn)根：因?yàn)榻夥质椒匠炭赡艹霈F(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗(yàn)根驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解4）分式方程的應(yīng)用列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類似，但要稍復(fù)雜一些解題時(shí)應(yīng)抓住“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進(jìn)行求解另外，還要注意從多角度思考、分析、解決問題，注意檢驗(yàn)、解釋結(jié)果的合理性1. 注：1.解分式方程注意事項(xiàng)：（1）去分母化成整式方程時(shí)不要與通分運(yùn)算混淆；（2

15、）解完分式方程必須進(jìn)行檢驗(yàn)，驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解2.列分式方程解應(yīng)用題的基本步驟：（1）審仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系；（2）設(shè)合理設(shè)未知數(shù)；（3）列根據(jù)等量關(guān)系列出方程；（4）解解出方程；（5）驗(yàn)檢驗(yàn)增根；（6）答答題 第二節(jié) 二次根式基礎(chǔ)一、二次根式1.二次根式的主要性質(zhì)1. a0(a0)2. (a)2=a(a0)3. a2=a=a(a0)-a(a<0)4. 積的算術(shù)平方根的性質(zhì): ab=a·b(a0,b0)5. 商的算術(shù)平方根的性質(zhì): ab=ab(a0,b>0)6.若a>b0,則a>

16、b。(a)2與a2的異同點(diǎn)：（1）不同點(diǎn)：(a)2與a2表示的意義是不同的，(a)2表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而a2表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在(a)2中a0，而a2中a可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)但(a)2與a2都是非負(fù)數(shù)，即，因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的，而（2）相同點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，=；時(shí)，無意義，而. 2.二次根式的運(yùn)算1）二次根式的乘除運(yùn)算（1）運(yùn)算結(jié)果應(yīng)滿足以下兩個(gè)要求：應(yīng)為最簡(jiǎn)二次根式或有理式；分母中不含根號(hào).（2）注意知道每一步運(yùn)算的算理；2）二次根式的加減運(yùn)算先化為最簡(jiǎn)二次根式，再類比整式加減運(yùn)算，明確二次根式加減運(yùn)算的實(shí)質(zhì)；3）二次根式的混合運(yùn)算（

17、1）對(duì)二次根式的混合運(yùn)算首先要明確運(yùn)算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最后算加減，如有括號(hào)，應(yīng)先算括號(hào)里面的；（2）二次根式的混合運(yùn)算與整式、分式的混合運(yùn)算有很多相似之處，整式、分式中的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中也同樣適用.要點(diǎn)詮釋：怎樣快速準(zhǔn)確地進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算.1. 明確運(yùn)算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的；2. 在二次根式的混合運(yùn)算中，原來學(xué)過的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式仍然適用；3. 在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能收到事半功倍的效果.（1）加法與乘法的混合運(yùn)算，可分解為兩

18、個(gè)步驟完成，一是進(jìn)行乘法運(yùn)算，二是進(jìn)行加法運(yùn)算，使難點(diǎn)分散，易于理解和掌握.在運(yùn)算過程中，對(duì)于各個(gè)根式不一定要先化簡(jiǎn)，可以先乘除，進(jìn)行約分，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的，但最后結(jié)果一定要化簡(jiǎn).例如 (827+2)×6，沒有必要先對(duì)827進(jìn)行化簡(jiǎn)，使計(jì)算繁瑣，可以先根據(jù)乘法分配律進(jìn)行乘法運(yùn)算，827+2×6=827×6+2×6=43+23，通過約分達(dá)到化簡(jiǎn)目的；（2）多項(xiàng)式的乘法法則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中同樣適用.如：3+23-2=(3)2-22=1，利用了平方差公式.所以，在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)，借助乘法公式，會(huì)使運(yùn)算簡(jiǎn)化. 例1使代數(shù)式x2x-1有意義

19、的x的取值范圍是（ ）A. x0 B.x12 C.x0且x12 D. 一切實(shí)數(shù)【變式】當(dāng)x取何值時(shí)，分式x2-9x2-x-12有意義?值為零?例2已知x+1x=4,求下列各式的值.（1） x2+1x2 （2）.x2x4+x2+1【變式】已知1a+1b=1a+b，求ba+ab的值.例3計(jì)算(3a-2+12a2-4)÷(2a-2-1a+2)【變式】已知a=2-1，化簡(jiǎn)求值：(a-2a2+2a-a-1a2+4a+4)÷a-4a+2例4如果方程 1x-2+3=1-x2-x有增根, 那么增根是_.（所謂增根，就是使分式方程分母等于0的根 一般的，形容一個(gè)方程的解為根，增根的情況是出自

20、分式方程，在約去方程兩邊的分母時(shí)，也就忽略了分式方程的增根情況，就是分母可能為0，那么這個(gè)式子就沒有意義。所以在解完分式方程后，需要檢驗(yàn)。一般檢驗(yàn)如下： 1一般的分式方程：檢驗(yàn)，當(dāng)x=（你解的數(shù)值）時(shí)，最檢公分母xxxx0 此分式方程的解為x=。（最檢公分母=0，所以x=。是方程的增根，此方程無解） 2分式方程應(yīng)用題：經(jīng)檢驗(yàn)得，當(dāng)x=（你解的數(shù)值），1最檢公分母0，2問題有意義，方程的解為xxxxx。（不成立的話，理由如上面1的括號(hào)里面）例5當(dāng)x取何值時(shí)，9x+1+3的值最小？最小值是多少？例6計(jì)算：（46-412+38）÷22鞏固練習(xí)一、選擇題1. 下列各式與xy相等的是( )Ax2y2 B.y+2x+2C.xyx2D.a+b2a2計(jì)算 1a-1-aa-1的結(jié)果為（ ）A. 1+aa-1B. -aa-1C. 1 D. 1a3若分式x2-1x+1的值是0（ ）A0 B. 1 C. -1 D. ±14下列計(jì)算正確的是 （ ）A. 8-2=2 B.27-123=9-4=1C.2+52-5=1 D.6-22=325在實(shí)施“中小學(xué)生蛋奶工程”中，某配送公司按上級(jí)要求，每周向?qū)W校配送雞蛋10000 個(gè)，雞蛋用甲