第二章代數(shù)式重點

1、和田師范專科學校教師教案首頁(使用于2016-2017學年 第一學期)課程名稱基礎數(shù)學專業(yè)現(xiàn)代教育技術 班級2016級 1 班主講教師阿依古扎力艾比布拉計劃總時數(shù)8專業(yè)層次大專專業(yè)技術職務聘用老師周課時4編寫時間2016年10月章節(jié)名稱第二章 代數(shù)式教學目的與要求1，理解代數(shù)式的意義數(shù)及相關概念，能解釋代數(shù)式反應的數(shù)量之間的關系。2，用代數(shù)式表示實際問題中的數(shù)量關系。3，了解代數(shù)式中的一些規(guī)律。教學重點與難點重點：列代數(shù)式/求代數(shù)式的值。難點：由實際問題列及規(guī)律探究題的解法。教學內容更新或補充情況增加了其他教輔（解題決策）上的例題教學方法與組織安排講解與多媒體講授法教學手段教材基本教材與參考書

2、思維導圖，申招斌，湖南教育出版社，2014年8月，第六版教研室或專家審查意見第二章 代數(shù)式第一節(jié) 代數(shù)式與整式1.代數(shù)式的有關概念： 用運算符號（加，減，乘，除，乘方，開方）把數(shù)或表示數(shù)的字母連結而成的式子叫做代數(shù)式。注：1）單個數(shù)字與字母也是代數(shù)式。2）代數(shù)式、公式與等式的區(qū)別是代數(shù)式中不含等號，而公式和等式中都含有等號。3）代數(shù)式可分運算關系和運算結果兩種情況。例1.在中有理式有（）個.答：都是有理式.代數(shù)式的分類：代數(shù)式 有理式：只含有加，減，乘，除，乘方，（包括數(shù)字開方運算）的代數(shù)式叫做有理式。無理式：只含關于字母開放運算的代數(shù)式叫做無理式。整式：沒有除法運算或雖有除法運算而除式里不含

3、字母的有理式叫做整式。列代數(shù)式：把問題中與數(shù)量有關的詞用含有數(shù)、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式。代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運算關系計算得出的結果，叫做代數(shù)式的值。求代數(shù)式的值的步驟：1）代入：指用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母 2）計算：指按代數(shù)式中的運算關系計算得出結果。例2:已知a,b是互為相反數(shù),c,d是互為倒數(shù),e是非零實數(shù),求的值.解：應從概念含著的數(shù)學關系式入手，得出a+b=0， c.d=0 又e是非零實數(shù)。例3：先化簡，再求值：，其中。解：對于整式的化簡，應先取括號，再合并同類項。例4：已知：，計算：。解：原式。例5：若X+Y=1，求的值。解：當X+

4、Y=1時，2.同類項，合并同類項整式：1）沒有除法運算或雖有除法運算而除式里不含字母的有理式叫做整式。2）單項式和多項式統(tǒng)稱為整式，或由數(shù)和字母經過有限次加，減、乘、乘方所得的式子叫做有理整式，簡稱為整式。所有的整式都是代數(shù)式，但代數(shù)式并不都是整式。單項式：所含的字母相同并且相同字母的指數(shù)也分別相同的單項式叫做同類項。單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)。注：1）若一個單項式只有字母，那么這個單項式的系數(shù)為1或-1；若單項式為常數(shù)則系數(shù)為本身。2）與e=2.718281828459是數(shù)，不要把它當成字母，如2r2的系數(shù)為2。3)單項式的次數(shù)是指所有字幕的指數(shù)和，與系數(shù)的指數(shù)沒有

5、關系。多項式：幾個單項式的和叫做多項式；在多項式中每一個單項式叫做多項式的項；不含字母的項叫做常數(shù)項；單項式的個數(shù)叫做項數(shù)。多項式中次數(shù)最高的想的次數(shù)叫做多項式的次數(shù)；多項式通常以它的次數(shù)和項數(shù)來命名的，稱幾次幾項。注：多項式的各項移動時要連同它前面的符號一移動。例6：若與 的和仍是單項式，則與的值分別是（）A:1,2 B:2,1 C:1,1 D:1,3解:由題意可知:它們之和仍為單項式,說明它們能合并同類項.故有 解之，得例7: x-(2x-y)的運算結果是( )A:-x+y B:-x-y C:x-y D:3x-y解:此題考察的是整式的加減,先去括號,再合并同類項.所以,x-(2x-y)=x

6、-2x+y=-x-y.3.整式的運算：（1）數(shù)的運算律對代數(shù)式同樣適用.（2）整式的加減：整式的加減法實際上就是合并同類項，把多項式中的同類項合并成一項叫做合并同類項；遇到括號，先去掉括號，方法是：+ （3）冪的運算法則：例8：小馬虎在下面的計算中只做對了一道題，他做對的題目是（）。A： B：C： D：解：由左欄4（6）乘法公式可得：，故A錯誤；由左欄4（3）冪的運算，可知，故B正確；顯然C錯誤；又由取括號法則可知：-（a-1）=-a+1，故D錯誤。因此答案應選B。4.因式分解：把一個多項式化為幾個整式的積的形式叫做多項式因式分解.因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：如多項式的各項有公因式

7、，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，即： （2）運用公式法：把乘法公式反過來對某些多項式分解因式，即 （3）分組分解法：1）分組后能直接提公因式.2）分組后能直接運用公式。3）（4）十字相乘法：，（5）求根公式法：在5.因式分解的一般步驟：（1）多項式的各項有公因式時，先提公因式.（2）各項沒有公因式時，要看看能不能用公式法來分解.（3）如果用上述方法不能分解，再看能不能運用分組分解法.（4）分解因式，必須進行到每一個多項式都不能再分解為止.例9：下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的是（）A：a（x+y）=ax+ay B：C： D：解：由左欄5可知，飲食分解的結果

8、是幾個整式的積，而選項A，B，D的右邊都不是積的形式。故答案應選是C。例10：（1）分解因式：。 （2）分解因式： （3）把45因式分解的結果是（）A：5ab（9b-4） B：C： D：5a（3b+2）（3b-2）解：（1）由于多項式有四項，可選分組，再分解；（2），（3）中都有公因式a，可先提取公因式，再分解。（2）；（3）。故答案應選D例11：分解因式解：設原式=把代入原式得例12：已知二次三項式分解因式為則b，c的值為：（）A：b=3，c=-1 B：b=-6，c=2C：b=-6，c=4 D：b=-4，c=-6解：可利用多項式的因式分解是多項式乘法的逆變形這一關系求解。因為所以b=-4且c

9、=-6例13：要使二次三項式能在整數(shù)范圍內分解因式，求m可取的整數(shù)值。解：先用待定系數(shù)法找出m與待定字母的關系，然后討論求解。設即比較系數(shù)得因為整數(shù)，所以a可取-1，-2 ，-3，-6，1，2，3，6相應的b可取6，3，2，1，-6，-3，-2，-1所以m的值為5，1，-1，-5.例14 ：因式分解：.解：解法一：可用“雙十字相乘法”：所以 原式=（2x-y+3）(2x+3y-2)解法二：“待定系數(shù)法”即令原式=（2x-y+m）(2x+3y+n) = =4所以 原式=（2x-y+3）(2x+3y-2)第二節(jié) 分式一、 分式：1.分式的有關概念及性質分式：設 A、B表示兩個整式如果B中含有字母，

10、式子AB就叫做分式。注：分母B的值不能為零，否則分式沒有意義.2. 分式的基本性質AB=A×MB×M，AB=A÷MB÷M（M為不等于零的整式）.3最簡分式分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式如果分子分母有公因式，要進行約分化簡 .分式的概念需注意的問題：（1）分式是兩個整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分數(shù)線則可以理解為除號，還含有括號的作用；（2）分式AB中，A和B均為整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必須含有字母且不為0；（3）判斷一個代數(shù)式是否是分式，不要把原式約分變形，只根據(jù)它的原有形式進行判斷（4）分式有無意義的條件：在分式A

11、B中， 當 B0時，分式有意義；當分式有意義時，B0 當 B=0時，分式無意義；當分式無意義時，B=0 當 B0且A = 0時，分式的值為零 4基本運算法則1）分式的運算法則與分數(shù)的運算法則類似 ,具體運算法則如下:（1）加減運算：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減, ba±ca=b±ca；異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則進行計算.，如： ab±cd=ad±bcbd（2）乘法運算：兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母. ab·cd=acbd（3）除法運算:兩個分式

12、相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘. ab÷cd=ab·dcadbc（4）乘方運算（分式乘方）:分式的乘方，把分子分母分別乘方(ab)n=anbn2）零指數(shù):a0=1(a0)3）負整數(shù)指數(shù) a-p=1ap(a0,p為正整數(shù))4）分式的混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號先算括號里面的5）約分：把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分6）通分：根據(jù)分式的基本性質，異分母的分式可以化為同分母的分式，這一過程稱為分式的通分注：1.約分需明確的問題：（1）對于一個分式來說，約分就是要把分子與分母都除以同一個因式，使約分前后分式的值相等；

13、（2）約分的關鍵是確定分式的分子和分母的公因式，其思考過程與分解因式中提取公因式時確定公因式的思考過程相似；在此，公因式是分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母最低次冪的積2.通分注意事項：（1）通分的關鍵是確定最簡公分母；最簡公分母應為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有因式的最高次冪的積；（2）不要把通分與去分母混淆，本是通分，卻成了去分母，把分式中的分母丟掉；（3）確定最簡公分母的方法：最簡公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；最簡公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次冪的積 .5.分式方程及其應用1）分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程2）分式方程的解法：解分式方程的關鍵是去

14、分母,即方程兩邊都乘以最簡公分母將分式方程轉化為整式方程 3）分式方程的增根問題驗根：因為解分式方程可能出現(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗根驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解4）分式方程的應用列分式方程解應用題與列一元一次方程解應用題類似，但要稍復雜一些解題時應抓住“找等量關系、恰當設未知數(shù)、確定主要等量關系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進行求解另外，還要注意從多角度思考、分析、解決問題，注意檢驗、解釋結果的合理性1. 注：1.解分式方程注意事項：（1）去分母化成整式方程時不要與通分運算混淆；（2

15、）解完分式方程必須進行檢驗，驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解2.列分式方程解應用題的基本步驟：（1）審仔細審題，找出等量關系；（2）設合理設未知數(shù)；（3）列根據(jù)等量關系列出方程；（4）解解出方程；（5）驗檢驗增根；（6）答答題 第二節(jié) 二次根式基礎一、二次根式1.二次根式的主要性質1. a0(a0)2. (a)2=a(a0)3. a2=a=a(a0)-a(a<0)4. 積的算術平方根的性質: ab=a·b(a0,b0)5. 商的算術平方根的性質: ab=ab(a0,b>0)6.若a>b0,則a>

16、b。(a)2與a2的異同點：（1）不同點：(a)2與a2表示的意義是不同的，(a)2表示一個正數(shù)a的算術平方根的平方，而a2表示一個實數(shù)a的平方的算術平方根；在(a)2中a0，而a2中a可以是正實數(shù)，0，負實數(shù)但(a)2與a2都是非負數(shù)，即，因而它的運算的結果是有差別的，而（2）相同點：當被開方數(shù)都是非負數(shù)，即時，=；時，無意義，而. 2.二次根式的運算1）二次根式的乘除運算（1）運算結果應滿足以下兩個要求：應為最簡二次根式或有理式；分母中不含根號.（2）注意知道每一步運算的算理；2）二次根式的加減運算先化為最簡二次根式，再類比整式加減運算，明確二次根式加減運算的實質；3）二次根式的混合運算（

17、1）對二次根式的混合運算首先要明確運算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最后算加減，如有括號，應先算括號里面的；（2）二次根式的混合運算與整式、分式的混合運算有很多相似之處，整式、分式中的運算律、運算法則及乘法公式在二次根式的混合運算中也同樣適用.要點詮釋：怎樣快速準確地進行二次根式的混合運算.1. 明確運算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的；2. 在二次根式的混合運算中，原來學過的運算律、運算法則及乘法公式仍然適用；3. 在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能收到事半功倍的效果.（1）加法與乘法的混合運算，可分解為兩

18、個步驟完成，一是進行乘法運算，二是進行加法運算，使難點分散，易于理解和掌握.在運算過程中，對于各個根式不一定要先化簡，可以先乘除，進行約分，達到化簡的目的，但最后結果一定要化簡.例如 (827+2)×6，沒有必要先對827進行化簡，使計算繁瑣，可以先根據(jù)乘法分配律進行乘法運算，827+2×6=827×6+2×6=43+23，通過約分達到化簡目的；（2）多項式的乘法法則及乘法公式在二次根式的混合運算中同樣適用.如：3+23-2=(3)2-22=1，利用了平方差公式.所以，在進行二次根式的混合運算時，借助乘法公式，會使運算簡化. 例1使代數(shù)式x2x-1有意義

19、的x的取值范圍是（ ）A. x0 B.x12 C.x0且x12 D. 一切實數(shù)【變式】當x取何值時，分式x2-9x2-x-12有意義?值為零?例2已知x+1x=4,求下列各式的值.（1） x2+1x2 （2）.x2x4+x2+1【變式】已知1a+1b=1a+b，求ba+ab的值.例3計算(3a-2+12a2-4)÷(2a-2-1a+2)【變式】已知a=2-1，化簡求值：(a-2a2+2a-a-1a2+4a+4)÷a-4a+2例4如果方程 1x-2+3=1-x2-x有增根, 那么增根是_.（所謂增根，就是使分式方程分母等于0的根 一般的，形容一個方程的解為根，增根的情況是出自

20、分式方程，在約去方程兩邊的分母時，也就忽略了分式方程的增根情況，就是分母可能為0，那么這個式子就沒有意義。所以在解完分式方程后，需要檢驗。一般檢驗如下： 1一般的分式方程：檢驗，當x=（你解的數(shù)值）時，最檢公分母xxxx0 此分式方程的解為x=。（最檢公分母=0，所以x=。是方程的增根，此方程無解） 2分式方程應用題：經檢驗得，當x=（你解的數(shù)值），1最檢公分母0，2問題有意義，方程的解為xxxxx。（不成立的話，理由如上面1的括號里面）例5當x取何值時，9x+1+3的值最??？最小值是多少？例6計算：（46-412+38）÷22鞏固練習一、選擇題1. 下列各式與xy相等的是( )Ax2y2 B.y+2x+2C.xyx2D.a+b2a2計算 1a-1-aa-1的結果為（ ）A. 1+aa-1B. -aa-1C. 1 D. 1a3若分式x2-1x+1的值是0（ ）A0 B. 1 C. -1 D. ±14下列計算正確的是 （ ）A. 8-2=2 B.27-123=9-4=1C.2+52-5=1 D.6-22=325在實施“中小學生蛋奶工程”中，某配送公司按上級要求，每周向學校配送雞蛋10000 個，雞蛋用甲