矢量分析學(xué)習教案

1、會計學(xué)1矢量矢量(shling)分析分析第一頁，共51頁。：AAAAeA：AeAeAAA：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。母或帶箭頭的字母表示。：一個矢量可用一條有方向的線段來表示一個矢量可用一條有方向的線段來表示 ：單位矢量不一定是常矢量。單位矢量不一定是常矢量。 A矢量的幾何表矢量的幾何表示示：大小和方向均不變的矢量。大小和方向均不變的矢量。 第1頁/共51頁第二頁，共51頁。zzyyxxAeAeAeAAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(zyxeeeAAcoscoscoszyxAeeeez

2、AxAAyAzxyO第2頁/共51頁第三頁，共51頁。（1）矢量）矢量(shling)的加減法的加減法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA 兩矢量的加減兩矢量的加減(ji jin)(ji jin)在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線, ,如圖所示。如圖所示。矢量的加減矢量的加減(ji jin)(ji jin)符合交換律和結(jié)合律符合交換律和結(jié)合律矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的減法矢量的減法BAABB在直角坐標系中兩矢量的加法和減法：在直角坐標系中兩矢量的加法和減法：()()ABCABCABBA第3頁/共51頁第四頁，共5

3、1頁。（2 2）標量）標量(bioling)(bioling)乘矢量乘矢量（3）矢量）矢量(shling)的標積（點積）的標積（點積）zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABABAABBAcos A BB A矢量矢量(shling)的標積符合交換律的標積符合交換律1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 與與 的夾角的夾角ABA B A B 0BA/ A BAB第4頁/共51頁第五頁，共51頁。（4）矢量）矢量(shling)的矢積（叉積）的矢積（叉積）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzy

4、xzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量矢量 與與 的叉積的叉積AB用坐標分量用坐標分量(fn ling)表示為表示為寫成行列式形式寫成行列式形式(xngsh)為為BAABBA若若 ，則，則BA/0BA若若 ，則，則第5頁/共51頁第六頁，共51頁。（5 5）矢量的混合）矢量的混合(hnh)(hnh)運算運算CBCAC)BA(CBCAC)BA()BA(C)AC(B)CB(A C)BA(B)CA()CB(A 標量標量(bioling)三重積三重積 矢量矢量(shling)三重積三重積第6頁/共51頁第七頁，共51頁。 三維空間任意一點三維空間任意一點(y din)(y din

5、)的位置可通過三條相互正交曲線的交點來確定。的位置可通過三條相互正交曲線的交點來確定。 三條正交曲線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為三條正交曲線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為(chn wi)(chn wi)正交曲線坐標系；三條正交曲線稱為正交曲線坐標系；三條正交曲線稱為(chn wi)(chn wi)坐標軸；描述坐標軸的量稱為坐標軸；描述坐標軸的量稱為(chn wi)(chn wi)坐標變量。坐標變量。1.2 三種常用三種常用(chn yn)的正交曲線坐標系的正交曲線坐標系z zx xy y),(111zrPrz1R第7頁/共51頁第八頁，共51頁。zeyexerzyx位置矢

6、量位置矢量面元矢量面元矢量(shling)線元矢量線元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzddddd體積元體積元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd坐標變量坐標變量zyx,坐標單位矢量坐標單位矢量zyxeee, 點點P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐標系直角坐標系 xezeyex yz直角坐標系的長度元、面積元、體積元直角坐標系的長度元、面積元、體積元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd第8頁/共51頁第九頁，共

7、51頁。dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,坐標變量坐標變量zeee,坐標單位矢量坐標單位矢量zeerz位置矢量位置矢量zeeelzdddd線元矢量線元矢量zVdddd體積元體積元面元矢量面元矢量(shling)圓柱坐標系圓柱坐標系圓柱坐標系中的線元、面元和體積元圓柱坐標系中的線元、面元和體積元第9頁/共51頁第十頁，共51頁。ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSr ,r坐標坐標(zubio)變量變量 e ,e ,er坐標單位坐標單位(dnwi)矢量矢量rerr 位置矢量位置矢量dsindddr

8、ererelr線元矢量線元矢量dddsind2rrV 體積元體積元面元矢量面元矢量(shling)球坐標系球坐標系球坐標系中的線元、面元和體積元球坐標系中的線元、面元和體積元第10頁/共51頁第十一頁，共51頁。xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐標直角坐標(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)與與圓柱坐標系圓柱坐標系eezereeesin0cossincos0001圓柱圓柱(yunzh)(yunzh)坐標與坐標與球坐標系球坐標系直角坐標直角坐標(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)與與球坐標系球坐標系zereeecossin

9、cossinsincos0 xeyesinsinsincoscossinofxy單位圓單位圓 直角坐標系與柱坐標系之間直角坐標系與柱坐標系之間坐標單位矢量的關(guān)系坐標單位矢量的關(guān)系fxeyeeeoqrz單位圓單位圓 柱坐標系與球坐標系之間柱坐標系與球坐標系之間坐標單位矢量的關(guān)系坐標單位矢量的關(guān)系qqzeeree第11頁/共51頁第十二頁，共51頁。q如果物理量是標量，稱該場為標量場。如果物理量是標量，稱該場為標量場。q 例如：溫度場、電位場、高度場等。例如：溫度場、電位場、高度場等。q如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。q 例如：流速場、重力場、電場、磁場例如：流

10、速場、重力場、電場、磁場(cchng)(cchng)等。等。q如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。1.3 標量場的梯度標量場的梯度第12頁/共51頁第十三頁，共51頁。時變時變(sh bin)(sh bin)標量場和矢量場可分別表示為：標量場和矢量場可分別表示為： 、) t , z , y, x(u) t , z , y, x(F從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域(qy)上的函數(shù)：上的函數(shù)：、)z ,y,x(u)z , y,x(F靜態(tài)標量場和矢量場可分別靜態(tài)標量場和矢量場可分別(fnbi)(fnbi)表示為：表示為：

11、1.3 標量場的梯度標量場的梯度第13頁/共51頁第十四頁，共51頁。C)z,y,x(u 常數(shù)常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標量場等值面充滿場所在的整個空間；標量場等值面充滿場所在的整個空間；標量場的等值面互不相交。標量場的等值面互不相交。 ：: : 形象直觀地描述了物理量在空間形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。的分布狀態(tài)。標量場的等值線標量場的等值線( (面面) )第14頁/共51頁第十五頁，共51頁。00coscoscos|limMluuuuullxyz l0ul u(M)沿沿 方向增加；

12、方向增加； l0ul u(M) u(M)沿沿 方向方向(fngxing)(fngxing)減??；減?。?l0ul u(M)沿沿 方向無變化。方向無變化。 M0lMl方向?qū)?shù)的概念方向?qū)?shù)的概念 l：方向?qū)?shù)既與點：方向?qū)?shù)既與點M0有關(guān)，也與有關(guān)，也與 方向有關(guān)方向有關(guān)。：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？ 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscoscos、第15頁/共51頁第十六頁，共51頁。zueueueuz1圓柱坐標系圓柱坐標系 ureurerueursin11球坐標系球坐標系zueyuexueuzyx直角坐標系直角坐

13、標系 ： ，其中，其中 取得最大值的方向取得最大值的方向max|luuel luelu第16頁/共51頁第十七頁，共51頁。標量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。標量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。標量場在某個方向上的方向?qū)?shù)標量場在某個方向上的方向?qū)?shù)(do sh)(do sh)，是梯度在該方向上的投影。，是梯度在該方向上的投影。 u)u(f)u(fuvvu)uv(vu)vu(uC)Cu(C0標量標量(bioling)(bioling)場的

14、梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）第17頁/共51頁第十八頁，共51頁。PzyxP)zyx)(zeyexe( 22 zyx),(zyxeee)eyexe( 2222111 設(shè)一標量設(shè)一標量(bioling)(bioling)函數(shù)函數(shù) ( x, y, z ) = x2 ( x, y, z ) = x2y2y2z z 描述了空間標量描述了空間標量(bioling)(bioling)場。求：場。求： (1) (1) 該函數(shù)該函數(shù) 在點在點 P(1,1,1) P(1,1,1) 處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。

15、 (2) (2) 求該函數(shù)求該函數(shù) 沿單位矢量沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點方向的方向?qū)?shù)，并以點 P(1,1,1) P(1,1,1) 處的方向?qū)?shù)值與該點的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。處的方向?qū)?shù)值與該點的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。ozoyoxlcosecosecosee604560 第18頁/共51頁第十九頁，共51頁。表征其方向的單位表征其方向的單位(dnwi)(dnwi)矢量矢量 222(1,1,1)22221333(2 )(2 )( 1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy (2) 由方向?qū)?shù)與梯度(t d)之間的關(guān)系式可知，沿el 方向的方向?qū)?shù)為)eee()eyexe

16、(elzyxzyxl21222122 212 yx第19頁/共51頁第二十頁，共51頁。而該點的梯度而該點的梯度(t d)(t d)值為值為 222(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Pxy 顯然，梯度顯然，梯度 描述了描述了P P點處標量函數(shù)點處標量函數(shù) 的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故 恒成立。恒成立。PPPl 對于給定的對于給定的P P 點，上述點，上述(shngsh)(shngsh)方向?qū)?shù)在該點取值為方向?qū)?shù)在該點取值為(1,1,1)12 21222Pxyl第20頁/共51頁第二十一頁，共51頁。)z , y,x(Fzd)z , y,x(Fyd

17、)z , y,x(Fxdzyx ：矢量線是這樣的曲線，其上每一矢量線是這樣的曲線，其上每一 點的切線方向代表了該點矢量場點的切線方向代表了該點矢量場 的方向。的方向。矢量線矢量線OM Fdrrrdr1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度第21頁/共51頁第二十二頁，共51頁。問題：如何定量描述矢量場的大小(dxio)？ 引入通量的概念。 ndddSSFSF eSnddSe S其中：其中：面積元矢量；面積元矢量；ne面積元的法向單位矢量；面積元的法向單位矢量；dSnddF eS穿過面積元穿過面積元 的通量。的通量。 如果曲面如果曲面 S 是閉合是閉合(b h)的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合

18、的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合(b h)曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合(b h)曲面的通量是曲面的通量是),(zyxFSdne面積元矢量面積元矢量SSSeFSFddn第22頁/共51頁第二十三頁，共51頁。0通過閉合通過閉合(b (b h)h)曲面有凈的曲面有凈的矢量線穿出矢量線穿出0有凈的矢有凈的矢量量(shling(shling) )線進入線進入0進入與穿出閉合曲進入與穿出閉合曲面面(qmin)(qmin)的矢量的矢量線相等線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果 閉合曲面的通量從閉合曲面的通量從建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲

19、面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。第23頁/共51頁第二十四頁，共51頁。 為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限(jxin)方法得到這一關(guān)系：方法得到這一關(guān)系：稱為稱為(chn wi)(chn wi)矢量場的散度。矢量場的散度。 散度是矢量散度是矢量(shling)(shling)通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。通過包含該點的任

20、意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。F VS)z , y,x(Flim)z , y,x(FSV d0第24頁/共51頁第二十五頁，共51頁。圓柱圓柱(yunzh)(yunzh)坐標系坐標系)F(sinr)F(sinsinr)Fr(rrFr 11122zFF)F(Fz 球坐標系球坐標系zFyFxFFzyx 直角坐標直角坐標(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)系系 GF)GF(fFFf)Ff(k(Fk)Fk(fC)fC()C(CC為常量)為常矢量0第25頁/共51頁第二十六頁，共51頁。000000000,(,),22xxxxyzFxxF xy zFxy zx0000

21、00000,(,),22xxxxyzFxxF xy zFxy zx000000(,)(,)22xxxFxxF xyzF xyzy zx y zx 由此可知，穿出前、后兩側(cè)由此可知，穿出前、后兩側(cè)(lin c)面的凈通量值為面的凈通量值為 不失一般性，令包圍不失一般性，令包圍P點的微體積點的微體積(tj)V 為一直平行六面體，如圖所示。則為一直平行六面體，如圖所示。則oxy在直角坐標系中計算在直角坐標系中計算zzxyPF第26頁/共51頁第二十七頁，共51頁。 根據(jù)定義，則得到根據(jù)定義，則得到(d do)直角坐標系中的散度直角坐標系中的散度 表達式為表達式為 同理，分析同理，分析(fnx)穿出另

22、兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點P 穿出該六面體的凈通量為穿出該六面體的凈通量為zFyFxFVSFFzyxSVdlim0zyxzFzyxyFzyxxFSFzyxSd第27頁/共51頁第二十八頁，共51頁。VSVFSFdd體積的剖分體積的剖分VS1S2en2en1S 從散度的定義從散度的定義(dngy)出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關(guān)系，在電磁散度定

23、理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關(guān)系，在電磁(dinc)理論中有著廣泛的應(yīng)用。理論中有著廣泛的應(yīng)用。第28頁/共51頁第二十九頁，共51頁。 例如例如(lr)(lr)：流速場。：流速場。 不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑(ljng)的積分不為零。的積分不為零。1.5 矢量場的環(huán)流和旋度矢量場的環(huán)流和旋度第29頁/共5

24、1頁第三十頁，共51頁。 如磁場沿任意如磁場沿任意(rny)(rny)閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即SCSzyxJIlzyxBd),(d),(00 上式建立了磁場上式建立了磁場(cchng)(cchng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。的環(huán)流與電流的關(guān)系。 磁感應(yīng)線要磁感應(yīng)線要么穿過曲面么穿過曲面磁感應(yīng)線要么同時磁感應(yīng)線要么同時穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感應(yīng)線磁感應(yīng)線第30頁/共51頁第三十一頁，共51頁。q如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無旋場，

25、又稱為(chn wi)(chn wi)保守場。保守場。ClzyxFd),( 矢量矢量(shling)場對于閉合曲線場對于閉合曲線C 的環(huán)流定義為該矢量的環(huán)流定義為該矢量(shling)對閉合曲線對閉合曲線C 的線積分，即的線積分，即q如果如果(rgu)(rgu)矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。第31頁/共51頁第三十二頁，共51頁。 矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源矢量場的環(huán)流給出了

26、矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系。為了宏觀聯(lián)系。為了(wi le)(wi le)給出空間任意點矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入給出空間任意點矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場的旋度。矢量場的旋度。 SCMFnFCSlFSFd1limrot0n稱為稱為矢量場在矢量場在點點M 處沿方向處沿方向 的的。n：其值：其值與與點點M 處的方向處的方向 有關(guān)。有關(guān)。n 過點過點M 作一微小曲面作一微小曲面 S ，它的邊界曲線記為，它的邊界曲線記為C，曲面的法，曲面的法線方向線方向 與曲線的繞向成右手螺旋法則。當與曲線的繞向成右手螺旋法則。當 S0 時，極限時，極限n第32頁/共51頁第三十三頁，共51頁。而

27、而 推導(dǎo)推導(dǎo) 的示意圖如圖所示的示意圖如圖所示。rotxFoyz yCMzx1234計算計算 的示意圖的示意圖 rotxF41321dddddllllClFlFlFlFlF)()(4321zFyFzFyFzyzy2)(2yyFMFFMzzz2)(3zzFMFFMyyy2)(1zzFMFFMyyy2)(4yyFMFFMzzz第33頁/共51頁第三十四頁，共51頁。于是于是(ysh) (ysh) 同理可得同理可得故得故得zyzFyFlFyzC)(dzFyFSlFFyzCSxdlimrot0 xFzFFzxyrotyFxFFxyzrot第34頁/共51頁第三十五頁，共51頁。maxnnrotFeFF

28、eFnnrot第35頁/共51頁第三十六頁，共51頁。yFxFexFzFezFyFeFxyzzxyyzxzzFFFzeeeF1FrrFFrerererFrrsinsinsin12 直角坐標系直角坐標系 圓柱坐標系圓柱坐標系 球坐標系球坐標系zyxzyxFFFzyxeee第36頁/共51頁第三十七頁，共51頁。FfFfFf)(CfCf)(0 CGFGF)(GFFGGF)(0)(F0)(u第37頁/共51頁第三十八頁，共51頁。SCSFlFdd 斯托克斯定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個斯托克斯定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(y )變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。變換關(guān)系式，也

29、在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的曲面的剖分剖分 從旋度的定義出發(fā)，可以從旋度的定義出發(fā)，可以(ky)得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即第38頁/共51頁第三十九頁，共51頁。0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF第39頁/共51頁第四十頁，共51頁。1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場第40頁/共51頁第四十一頁，共51頁。（1）無旋場）無旋場0d ClF： ，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。僅有散度源而無旋度源的矢量場，僅有散度源而無旋度源的矢

30、量場，0F無旋場可以用標量無旋場可以用標量(bioling)場的梯度表示為場的梯度表示為例如例如(lr)：靜電場：靜電場0EEuF()0Fu 第41頁/共51頁第四十二頁，共51頁。（2）無散場）無散場(sn chng) 僅有旋度源而無散度源的矢量僅有旋度源而無散度源的矢量(shling)(shling)場，即場，即：0dSSF0 F無散場無散場(sn chng)(sn chng)可以表示為另一個矢量場的旋度可以表示為另一個矢量場的旋度例如，恒定磁場例如，恒定磁場AB0BAF0)(AF第42頁/共51頁第四十三頁，共51頁。（3）無旋、無散場）無旋、無散場(sn chng)（源在所討論（源在所

31、討論(toln)的區(qū)域之外）的區(qū)域之外）0F（4）有散、有旋場）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分這樣的場可分解為兩部分(b fen)：無旋場部分：無旋場部分(b fen)和無散場部分和無散場部分(b fen)( )( )( )( )( )lCF rF rF ru rA r ()0u Fu 02 u0F第43頁/共51頁第四十四頁，共51頁。 標量拉普拉斯運算標量拉普拉斯運算2u2 拉普拉斯算符拉普拉斯算符2222222uuuuxyz直角坐標直角坐標(zh jio zu bio)系系：22222211()uuuuz22222222111()(sin)sinsinuuuurrrrrr圓柱坐標系圓

32、柱坐標系球坐標系球坐標系uu2)(1.7 拉普拉斯運算與格林定理拉普拉斯運算與格林定理第44頁/共51頁第四十五頁，共51頁。 矢量拉普拉斯運算矢量拉普拉斯運算2F2222xxyyzzFeFeFeF即即22()iiFF22()iiFF 直角坐標直角坐標(zh jio zu bio)系中：系中：如：如：22()FF (, , )ix y z)()(2FFF第45頁/共51頁第四十六頁，共51頁。 設(shè)任意兩個標量場設(shè)任意兩個標量場 及及，若在區(qū)域，若在區(qū)域 V V 中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么那么(n me)(n me)，可以證明該兩個標量場，可以證明該兩個標量場 及及 滿足下列等式：滿足下列等式： SVSnV 2dd)(根據(jù)方向?qū)?shù)根據(jù)方向?qū)?shù)(do sh)(do sh)與梯度的關(guān)系，上式又可