剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2013

1、第五章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)第五章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體剛體任意兩質(zhì)元間距離保持不變的物體任意兩質(zhì)元間距離保持不變的物體剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng):復(fù)合運(yùn)動(dòng)復(fù)合運(yùn)動(dòng)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)平動(dòng)各質(zhì)元運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同各質(zhì)元運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)各質(zhì)元繞同一軸作圓周運(yùn)動(dòng)各質(zhì)元繞同一軸作圓周運(yùn)動(dòng)(理想模型理想模型)本章本章： 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的描述定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律5.1 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的描述 最簡(jiǎn)單情況：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)最簡(jiǎn)單情況：定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 同同Chap.1 “圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)” vsRotanaRS Rv Rat2 Ran角速度的矢量表

2、示法：角速度的矢量表示法：大小：大?。?方向：方向：/轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸, 符合右手螺旋符合右手螺旋rrv線速度：線速度：rv驗(yàn)證：驗(yàn)證：r大?。捍笮。悍较颍悍较颍篘ote: r 圓周切向圓周切向 例例5-15-1已知：已知：min/60revkmkjir210)543 (求：求：?v解：解：k)60260()/(2sradkrv210)543 (2kjik210)86(ij)/(188. 0251. 0smji5.2 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律M=J M=Mi =( )Fi ri 合外合外力矩力矩轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量慣量角加角加速度速度Notes:iriFMi方向與所設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)正方向一致為方向與所設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)正方向一致為

3、正，相正，相反為負(fù)反為負(fù). . iF幾個(gè)力同時(shí)作用在一個(gè)具有固定轉(zhuǎn)幾個(gè)力同時(shí)作用在一個(gè)具有固定轉(zhuǎn)軸的剛體上，如果這幾個(gè)力的矢量軸的剛體上，如果這幾個(gè)力的矢量和為零，則此剛體和為零，則此剛體(A)(A)必然不會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)必然不會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)(B)(B)轉(zhuǎn)速必然不變轉(zhuǎn)速必然不變(C)(C)轉(zhuǎn)速必然改變轉(zhuǎn)速必然改變(D)(D)轉(zhuǎn)速可能不變，也可能改變轉(zhuǎn)速可能不變，也可能改變答案：答案： (D)若若矢量和不矢量和不為零，結(jié)果？為零，結(jié)果？思考思考 例例5-25-2剛體的重力矩剛體的重力矩等于剛體全部質(zhì)量集中于等于剛體全部質(zhì)量集中于質(zhì)心時(shí)所產(chǎn)生的重力矩質(zhì)心時(shí)所產(chǎn)生的重力矩.重力矩大?。褐亓卮笮。篶os2Lmge.g

4、.細(xì)桿質(zhì)量細(xì)桿質(zhì)量m, 長(zhǎng)長(zhǎng)Logm從水平到豎值：從水平到豎值： ，J= miri2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 mi第第i i質(zhì)元的質(zhì)量質(zhì)元的質(zhì)量 ri 第第i i質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離e.g.oomm2232mL231232)(2)(LmLmJ對(duì)對(duì)OO 軸：軸：SISI單位：?jiǎn)挝唬簁g m2L31L32有兩個(gè)半徑相同、質(zhì)量相等的細(xì)圓有兩個(gè)半徑相同、質(zhì)量相等的細(xì)圓環(huán)環(huán)A和和B，A環(huán)的質(zhì)量分布均勻，環(huán)的質(zhì)量分布均勻，B環(huán)環(huán)不均勻，它們對(duì)通過(guò)環(huán)心并與環(huán)面不均勻，它們對(duì)通過(guò)環(huán)心并與環(huán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為JA和和JB，則則(A)JAJB (B)JAJB(C)JA=JB

5、(D)不能確定不能確定答案：答案： (C)若是兩個(gè)圓盤呢若是兩個(gè)圓盤呢？思考思考 例例5-35-3J J的大小依賴于剛體質(zhì)量的大小依賴于剛體質(zhì)量相對(duì)于轉(zhuǎn)軸相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的分布的分布.oocc細(xì)桿質(zhì)量細(xì)桿質(zhì)量m, ,長(zhǎng)長(zhǎng)L對(duì)于對(duì)于 軸：軸：J=mL2/3oo J J的物理意義的物理意義: : 表征剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的大小表征剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的大小.e.g.cc 對(duì)于對(duì)于 軸：軸：J=mL2/12 例例5-45-4已知圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量已知圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J J，初角速度，初角速度 0 0阻力矩阻力矩M=-k ( (k為正的常量為正的常量) )求求: :角速度角速度從從 0 0變?yōu)樽優(yōu)?0 0/2/2所需的時(shí)間所需的時(shí)間

6、解：解： 轉(zhuǎn)動(dòng)定律：轉(zhuǎn)動(dòng)定律：2/000ddtJktkJt2ln角速度從任意值角速度從任意值 變?yōu)樽優(yōu)?/2所需的時(shí)間所需的時(shí)間?思考思考dtdJk飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J J，初角速度，初角速度 0 0，阻力阻力矩的大小與角速度的平方成正比，矩的大小與角速度的平方成正比，比例系數(shù)為比例系數(shù)為k k(k(k為正的常量為正的常量) )求：求：當(dāng)當(dāng) = = 0 0/3/3時(shí)，角加速度時(shí)，角加速度 = =？從開從開始制動(dòng)到始制動(dòng)到 = = 0 0/3/3時(shí)時(shí)所所轉(zhuǎn)過(guò)的角度轉(zhuǎn)過(guò)的角度解：解： 按題意按題意 M=-k 2JMJk20) 3/(Jk920轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律：dtdJk2 例例5-55-5k

7、J3ln3/000ddJk思考思考 所經(jīng)過(guò)的時(shí)間所經(jīng)過(guò)的時(shí)間?ddtdJdk23/20200ddtJkdtdJkt000213kJttJk 例例5-65-6已知已知: :滑輪質(zhì)量滑輪質(zhì)量M、半徑、半徑R、 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=MR2/2 物體質(zhì)量物體質(zhì)量m，v0 0=0=0 忽略繩子質(zhì)量忽略繩子質(zhì)量 繩、輪之間無(wú)滑動(dòng)繩、輪之間無(wú)滑動(dòng)求求: :物體下落時(shí)的物體下落時(shí)的vt t關(guān)系關(guān)系解：解： 受力圖：受力圖：gma)(TT TgMNT對(duì)物體：對(duì)物體：maTmg對(duì)滑輪：對(duì)滑輪：221MRTRMmmga22.consta atv Note:T T 22 1 例例5-75-7質(zhì)量為質(zhì)量為m、半徑為、半

8、徑為R的圓盤可繞通過(guò)的圓盤可繞通過(guò)其直徑的光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣其直徑的光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量量J=mR2/4，設(shè)圓盤從靜止開始在恒，設(shè)圓盤從靜止開始在恒力矩力矩M作用下轉(zhuǎn)動(dòng)，則作用下轉(zhuǎn)動(dòng)，則t秒后圓盤邊秒后圓盤邊緣上緣上B點(diǎn)的點(diǎn)的at=，an=.BR 例例5-85-8 at=R =4M/mR an=R 2=16M2t2/m2R3解：解：M恒定恒定 恒定恒定 =M/J=4M/mR2 = t=4Mt/mR25.3 5.3 轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能1.力矩的功力矩的功對(duì)于對(duì)于 +d ，有，有rdFdAMdrdFtrdFt(垂直于轉(zhuǎn)軸的截面垂直于轉(zhuǎn)軸的截面) rFtFd rd對(duì)于對(duì)于 1 2

9、，有，有21MdA力矩的功力矩的功有正負(fù)有正負(fù)Note:2.轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能221iikvmE2221iirm221J3.轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)定律：轉(zhuǎn)動(dòng)定律：dtdJMddtdJMd2121dJMd21212221JJA剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量合外力矩的功合外力矩的功(轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理)4.4.剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能等于剛體全部等于剛體全部質(zhì)量集中于質(zhì)心時(shí)質(zhì)量集中于質(zhì)心時(shí)的重力勢(shì)能的重力勢(shì)能剛體也是質(zhì)點(diǎn)系剛體也是質(zhì)點(diǎn)系, , 可用功能原理、可用功能原理、機(jī)械能守恒定律等來(lái)處理剛體系的機(jī)械能守恒定律等來(lái)處理剛體系的功能問(wèn)題功能問(wèn)題. .Note:重力勢(shì)能大?。褐?/p>

10、力勢(shì)能大小：sin2)(LmgEp細(xì)桿質(zhì)量細(xì)桿質(zhì)量m, 長(zhǎng)長(zhǎng)Logm 例例5-95-9 細(xì)桿質(zhì)量細(xì)桿質(zhì)量m、長(zhǎng)、長(zhǎng)L、對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=mL2/3, ,開始時(shí)水平開始時(shí)水平靜止靜止. .軸光滑軸光滑. .求求: :桿下擺桿下擺 角時(shí)角時(shí), , =?=?解：解：桿地球系統(tǒng)：桿地球系統(tǒng)：Ep+Ek=const.令水平位置令水平位置Ep=0，則有，則有03121sin222mLLmgLg sin3 思考思考 用用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 求解求解? ?用用轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律求解求解? ?dLmgJcos202102ddJdtdJLmgcos2sin2212LmgJ20021cos2JdJ

11、dLmg5.4 5.4 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒 1.1.質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸的角動(dòng)量對(duì)固定軸的角動(dòng)量L L正負(fù)取決于轉(zhuǎn)動(dòng)正方向的選取正負(fù)取決于轉(zhuǎn)動(dòng)正方向的選取. .mvdL定義：定義：v在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi).dvmONotes:2.剛體對(duì)固定軸的角動(dòng)量剛體對(duì)固定軸的角動(dòng)量iivmiriiirvmL2iirm J3.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理微分形式：微分形式：dtdLM 合外力矩合外力矩角動(dòng)量變化率角動(dòng)量變化率該定理適用于單個(gè)剛體該定理適用于單個(gè)剛體,也適用于也適用于剛體系剛體系.積分形式：積分形式：1221LLMdttt將該定理的微分形式應(yīng)用于

12、單個(gè)剛將該定理的微分形式應(yīng)用于單個(gè)剛體，即得定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律體，即得定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律Notes:4.4.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律對(duì)于剛體系，若對(duì)于剛體系，若則則.constL 總0外M 例例5-105-10細(xì)桿質(zhì)量細(xì)桿質(zhì)量M, ,長(zhǎng)長(zhǎng)L, ,J= ML2/3, ,子彈質(zhì)量子彈質(zhì)量m=M/4, ,速度速度 , ,軸光滑軸光滑求：子彈嵌入后求：子彈嵌入后, , = =？最大擺角最大擺角 = =？0v解：解：嵌入過(guò)程中嵌入過(guò)程中, ,子彈桿系統(tǒng)子彈桿系統(tǒng) L=const.)(231232320MLLmLmvOL32 Lv830上擺過(guò)程中上擺過(guò)程中, ,子彈桿地球系統(tǒng)子彈桿地球系統(tǒng)Ep

13、+Ek=const.令令O軸處軸處Ep=0，則有，則有coscos2132LMgLmg2231232212132)()(MLLmLMgLmg)6431arccos(20gLv 思考思考 上式對(duì)上式對(duì)v0 0值有何限制值有何限制? ?OL32 例例5-115-11圓盤質(zhì)量圓盤質(zhì)量M, ,半徑半徑R, ,J=MR2/2, ,轉(zhuǎn)軸光滑轉(zhuǎn)軸光滑, ,人的質(zhì)量人的質(zhì)量m, ,開始時(shí)，開始時(shí)，兩者靜止兩者靜止求：人在盤上沿邊緣走過(guò)一周求：人在盤上沿邊緣走過(guò)一周時(shí)，盤對(duì)地面轉(zhuǎn)過(guò)的角度時(shí)，盤對(duì)地面轉(zhuǎn)過(guò)的角度解：解： 在走動(dòng)過(guò)程中在走動(dòng)過(guò)程中, ,人盤系統(tǒng)人盤系統(tǒng) L=const.設(shè)設(shè)任意任意時(shí)刻，人對(duì)盤時(shí)刻，人對(duì)盤: ；盤對(duì)地；盤對(duì)地: 則有則有0)(2212MRmRMmm2220022dMmmdMmm24 Mm Chap.5 SUMMARY1.1.剛體轉(zhuǎn)動(dòng)描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)描述rvRS Rv Rat2 Ran2.2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 M=J (重力矩的計(jì)算！重力矩的計(jì)算！)3.3.轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能力矩的功力矩的功( (有正負(fù)有正負(fù) ) )轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能221JEk