剛體的定軸轉(zhuǎn)動2013

1、第五章剛體的定軸轉(zhuǎn)動第五章剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體剛體任意兩質(zhì)元間距離保持不變的物體任意兩質(zhì)元間距離保持不變的物體剛體的運動剛體的運動:復合運動復合運動平動轉(zhuǎn)動平動轉(zhuǎn)動平動平動各質(zhì)元運動狀態(tài)相同各質(zhì)元運動狀態(tài)相同轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動各質(zhì)元繞同一軸作圓周運動各質(zhì)元繞同一軸作圓周運動(理想模型理想模型)本章本章： 剛體轉(zhuǎn)動的描述剛體轉(zhuǎn)動的描述定軸轉(zhuǎn)動定律定軸轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動中的功和能轉(zhuǎn)動中的功和能定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律5.1 剛體轉(zhuǎn)動的描述剛體轉(zhuǎn)動的描述 最簡單情況：定軸轉(zhuǎn)動最簡單情況：定軸轉(zhuǎn)動 同同Chap.1 “圓周運動圓周運動” vsRotanaRS Rv Rat2 Ran角速度的矢量表

2、示法：角速度的矢量表示法：大小：大?。?方向：方向：/轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸, 符合右手螺旋符合右手螺旋rrv線速度：線速度：rv驗證：驗證：r大?。捍笮。悍较颍悍较颍篘ote: r 圓周切向圓周切向 例例5-15-1已知：已知：min/60revkmkjir210)543 (求：求：?v解：解：k)60260()/(2sradkrv210)543 (2kjik210)86(ij)/(188. 0251. 0smji5.2 定軸轉(zhuǎn)動定律定軸轉(zhuǎn)動定律M=J M=Mi =( )Fi ri 合外合外力矩力矩轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動慣量慣量角加角加速度速度Notes:iriFMi方向與所設轉(zhuǎn)動正方向一致為方向與所設轉(zhuǎn)動正方向一致為

3、正，相正，相反為負反為負. . iF幾個力同時作用在一個具有固定轉(zhuǎn)幾個力同時作用在一個具有固定轉(zhuǎn)軸的剛體上，如果這幾個力的矢量軸的剛體上，如果這幾個力的矢量和為零，則此剛體和為零，則此剛體(A)(A)必然不會轉(zhuǎn)動必然不會轉(zhuǎn)動(B)(B)轉(zhuǎn)速必然不變轉(zhuǎn)速必然不變(C)(C)轉(zhuǎn)速必然改變轉(zhuǎn)速必然改變(D)(D)轉(zhuǎn)速可能不變，也可能改變轉(zhuǎn)速可能不變，也可能改變答案：答案： (D)若若矢量和不矢量和不為零，結(jié)果？為零，結(jié)果？思考思考 例例5-25-2剛體的重力矩剛體的重力矩等于剛體全部質(zhì)量集中于等于剛體全部質(zhì)量集中于質(zhì)心時所產(chǎn)生的重力矩質(zhì)心時所產(chǎn)生的重力矩.重力矩大小：重力矩大?。篶os2Lmge.g

4、.細桿質(zhì)量細桿質(zhì)量m, 長長Logm從水平到豎值：從水平到豎值： ，J= miri2 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 mi第第i i質(zhì)元的質(zhì)量質(zhì)元的質(zhì)量 ri 第第i i質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離e.g.oomm2232mL231232)(2)(LmLmJ對對OO 軸：軸：SISI單位：單位：kg m2L31L32有兩個半徑相同、質(zhì)量相等的細圓有兩個半徑相同、質(zhì)量相等的細圓環(huán)環(huán)A和和B，A環(huán)的質(zhì)量分布均勻，環(huán)的質(zhì)量分布均勻，B環(huán)環(huán)不均勻，它們對通過環(huán)心并與環(huán)面不均勻，它們對通過環(huán)心并與環(huán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為JA和和JB，則則(A)JAJB (B)JAJB(C)JA=JB

5、(D)不能確定不能確定答案：答案： (C)若是兩個圓盤呢若是兩個圓盤呢？思考思考 例例5-35-3J J的大小依賴于剛體質(zhì)量的大小依賴于剛體質(zhì)量相對于轉(zhuǎn)軸相對于轉(zhuǎn)軸的分布的分布.oocc細桿質(zhì)量細桿質(zhì)量m, ,長長L對于對于 軸：軸：J=mL2/3oo J J的物理意義的物理意義: : 表征剛體轉(zhuǎn)動慣性的大小表征剛體轉(zhuǎn)動慣性的大小.e.g.cc 對于對于 軸：軸：J=mL2/12 例例5-45-4已知圓盤轉(zhuǎn)動慣量已知圓盤轉(zhuǎn)動慣量J J，初角速度，初角速度 0 0阻力矩阻力矩M=-k ( (k為正的常量為正的常量) )求求: :角速度角速度從從 0 0變?yōu)樽優(yōu)?0 0/2/2所需的時間所需的時間

6、解：解： 轉(zhuǎn)動定律：轉(zhuǎn)動定律：2/000ddtJktkJt2ln角速度從任意值角速度從任意值 變?yōu)樽優(yōu)?/2所需的時間所需的時間?思考思考dtdJk飛輪轉(zhuǎn)動慣量飛輪轉(zhuǎn)動慣量J J，初角速度，初角速度 0 0，阻力阻力矩的大小與角速度的平方成正比，矩的大小與角速度的平方成正比，比例系數(shù)為比例系數(shù)為k k(k(k為正的常量為正的常量) )求：求：當當 = = 0 0/3/3時，角加速度時，角加速度 = =？從開從開始制動到始制動到 = = 0 0/3/3時時所所轉(zhuǎn)過的角度轉(zhuǎn)過的角度解：解： 按題意按題意 M=-k 2JMJk20) 3/(Jk920轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律：dtdJk2 例例5-55-5k

7、J3ln3/000ddJk思考思考 所經(jīng)過的時間所經(jīng)過的時間?ddtdJdk23/20200ddtJkdtdJkt000213kJttJk 例例5-65-6已知已知: :滑輪質(zhì)量滑輪質(zhì)量M、半徑、半徑R、 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量J=MR2/2 物體質(zhì)量物體質(zhì)量m，v0 0=0=0 忽略繩子質(zhì)量忽略繩子質(zhì)量 繩、輪之間無滑動繩、輪之間無滑動求求: :物體下落時的物體下落時的vt t關(guān)系關(guān)系解：解： 受力圖：受力圖：gma)(TT TgMNT對物體：對物體：maTmg對滑輪：對滑輪：221MRTRMmmga22.consta atv Note:T T 22 1 例例5-75-7質(zhì)量為質(zhì)量為m、半徑為、半

8、徑為R的圓盤可繞通過的圓盤可繞通過其直徑的光滑固定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣其直徑的光滑固定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量量J=mR2/4，設圓盤從靜止開始在恒，設圓盤從靜止開始在恒力矩力矩M作用下轉(zhuǎn)動，則作用下轉(zhuǎn)動，則t秒后圓盤邊秒后圓盤邊緣上緣上B點的點的at=，an=.BR 例例5-85-8 at=R =4M/mR an=R 2=16M2t2/m2R3解：解：M恒定恒定 恒定恒定 =M/J=4M/mR2 = t=4Mt/mR25.3 5.3 轉(zhuǎn)動中的功和能轉(zhuǎn)動中的功和能1.力矩的功力矩的功對于對于 +d ，有，有rdFdAMdrdFtrdFt(垂直于轉(zhuǎn)軸的截面垂直于轉(zhuǎn)軸的截面) rFtFd rd對于對于 1 2

9、，有，有21MdA力矩的功力矩的功有正負有正負Note:2.轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能221iikvmE2221iirm221J3.轉(zhuǎn)動動能定理轉(zhuǎn)動動能定理轉(zhuǎn)動定律：轉(zhuǎn)動定律：dtdJMddtdJMd2121dJMd21212221JJA剛體轉(zhuǎn)動動能的增量剛體轉(zhuǎn)動動能的增量合外力矩的功合外力矩的功(轉(zhuǎn)動動能定理轉(zhuǎn)動動能定理)4.4.剛體的重力勢能剛體的重力勢能等于剛體全部等于剛體全部質(zhì)量集中于質(zhì)心時質(zhì)量集中于質(zhì)心時的重力勢能的重力勢能剛體也是質(zhì)點系剛體也是質(zhì)點系, , 可用功能原理、可用功能原理、機械能守恒定律等來處理剛體系的機械能守恒定律等來處理剛體系的功能問題功能問題. .Note:重力勢能大?。褐?/p>

10、力勢能大?。簊in2)(LmgEp細桿質(zhì)量細桿質(zhì)量m, 長長Logm 例例5-95-9 細桿質(zhì)量細桿質(zhì)量m、長、長L、對軸的轉(zhuǎn)動慣量對軸的轉(zhuǎn)動慣量J=mL2/3, ,開始時水平開始時水平靜止靜止. .軸光滑軸光滑. .求求: :桿下擺桿下擺 角時角時, , =?=?解：解：桿地球系統(tǒng)：桿地球系統(tǒng)：Ep+Ek=const.令水平位置令水平位置Ep=0，則有，則有03121sin222mLLmgLg sin3 思考思考 用用轉(zhuǎn)動動能定理轉(zhuǎn)動動能定理 求解求解? ?用用轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律求解求解? ?dLmgJcos202102ddJdtdJLmgcos2sin2212LmgJ20021cos2JdJ

11、dLmg5.4 5.4 定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒 1.1.質(zhì)點質(zhì)點對固定軸的角動量對固定軸的角動量L L正負取決于轉(zhuǎn)動正方向的選取正負取決于轉(zhuǎn)動正方向的選取. .mvdL定義：定義：v在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi).dvmONotes:2.剛體對固定軸的角動量剛體對固定軸的角動量iivmiriiirvmL2iirm J3.定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理微分形式：微分形式：dtdLM 合外力矩合外力矩角動量變化率角動量變化率該定理適用于單個剛體該定理適用于單個剛體,也適用于也適用于剛體系剛體系.積分形式：積分形式：1221LLMdttt將該定理的微分形式應用于

12、單個剛將該定理的微分形式應用于單個剛體，即得定軸轉(zhuǎn)動定律體，即得定軸轉(zhuǎn)動定律Notes:4.4.定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律對于剛體系，若對于剛體系，若則則.constL 總0外M 例例5-105-10細桿質(zhì)量細桿質(zhì)量M, ,長長L, ,J= ML2/3, ,子彈質(zhì)量子彈質(zhì)量m=M/4, ,速度速度 , ,軸光滑軸光滑求：子彈嵌入后求：子彈嵌入后, , = =？最大擺角最大擺角 = =？0v解：解：嵌入過程中嵌入過程中, ,子彈桿系統(tǒng)子彈桿系統(tǒng) L=const.)(231232320MLLmLmvOL32 Lv830上擺過程中上擺過程中, ,子彈桿地球系統(tǒng)子彈桿地球系統(tǒng)Ep

13、+Ek=const.令令O軸處軸處Ep=0，則有，則有coscos2132LMgLmg2231232212132)()(MLLmLMgLmg)6431arccos(20gLv 思考思考 上式對上式對v0 0值有何限制值有何限制? ?OL32 例例5-115-11圓盤質(zhì)量圓盤質(zhì)量M, ,半徑半徑R, ,J=MR2/2, ,轉(zhuǎn)軸光滑轉(zhuǎn)軸光滑, ,人的質(zhì)量人的質(zhì)量m, ,開始時，開始時，兩者靜止兩者靜止求：人在盤上沿邊緣走過一周求：人在盤上沿邊緣走過一周時，盤對地面轉(zhuǎn)過的角度時，盤對地面轉(zhuǎn)過的角度解：解： 在走動過程中在走動過程中, ,人盤系統(tǒng)人盤系統(tǒng) L=const.設設任意任意時刻，人對盤時刻，人對盤: ；盤對地；盤對地: 則有則有0)(2212MRmRMmm2220022dMmmdMmm24 Mm Chap.5 SUMMARY1.1.剛體轉(zhuǎn)動描述剛體轉(zhuǎn)動描述rvRS Rv Rat2 Ran2.2.定軸轉(zhuǎn)動定律定軸轉(zhuǎn)動定律 M=J (重力矩的計算！重力矩的計算！)3.3.轉(zhuǎn)動中的功和能轉(zhuǎn)動中的功和能力矩的功力矩的功( (有正負有正負 ) )轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能221JEk