同濟(jì)大學(xué)---高數(shù)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)

1、高等數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)要點(diǎn)、函數(shù)與極限(一) 函數(shù)1、 函數(shù)定義及性質(zhì)(有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性)；2、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、函數(shù)的運(yùn)算；3、初等函數(shù)：幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)；4、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)；函數(shù) f(x)在 Xo連續(xù)> lim f(x)二 f(x°)XTXo第一類(lèi)：左右極限均存在間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn).第二類(lèi)：左右極限、至少有一個(gè)不存在無(wú)窮間斷點(diǎn)、振蕩間斷點(diǎn)5、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性與最大值最小值定理、零點(diǎn)定理、介值定 理及其推論.(二) 極限1、定義1) 數(shù)列極限limXn=a= pea。，mNEN,x/n>N, x a

2、< snT°o2) 函數(shù)極限lim f (x) = A= * > 0,我 > 0, %,當(dāng) 0|x-x°|"時(shí)，f(x)-A XrXo左極限：f(X0) = lim f (X)右極限：f(X。)= lim f (x)XT XoI Xolim f (x)二 A 存在二 f (x0) = f(x0 )X_；Xo2、極限存在準(zhǔn)則1) 夾逼準(zhǔn)則:1) y X Zn ( n - n°)2) lim yn = lim zn = a 丿 nn-clim xn 二 an：2) 單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限.3、無(wú)窮小(大)量1) 定義：若lim二

3、0則稱(chēng)為無(wú)窮小量；若lim八：則稱(chēng)為無(wú)窮大量2) 無(wú)窮小的階：高階無(wú)窮小、同階無(wú)窮小、等價(jià)無(wú)窮小、k階無(wú)窮小Th1：二： o(： ) Th2-：， ,lim 一存在， a rlim =alim(無(wú)窮小代換)4、求極限的方法1) 單調(diào)有界準(zhǔn)則；2) 夾逼準(zhǔn)則；3) 極限運(yùn)算準(zhǔn)則及函數(shù)連續(xù)性;4) 兩個(gè)重要極限： sin x 彳a) li叫 1b)Xr ° x5) 無(wú)窮小代換：(x > 0)1lim (1 x)xXr 0lim (V -) ex： xa) x si n x tan x arcs in x arcta nxb)1-cosx Xc) ex -1 x ( ax -1 xl

4、n a)xd) In(1 x)x ( loga(1 X)廠(chǎng)In ae) (1 x) ： _ 1 ：x導(dǎo)數(shù)與微分1、（一）導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)：f Him f(x)f(x0)xtxcTX - X0右導(dǎo)數(shù)：f (X0lim f(x)f(x0)XTX。X X0x >xo定義：f（xo“”函數(shù) f （x）在 Xo 點(diǎn)可導(dǎo)二 f_（Xo）=f（Xo）2、幾何意義：f（X。）為曲線(xiàn)y= f （x）在點(diǎn)xo,f（Xo）處的切線(xiàn)的斜率.3、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：4、求導(dǎo)的方法1）導(dǎo)數(shù)定義；2）基本公式；3）四則運(yùn)算；4）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（鏈?zhǔn)椒▌t）；5）隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)；6）參數(shù)方程求導(dǎo)；7）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.5、高階導(dǎo)數(shù)1）定義

5、：歸2n(n)k (k) (n_k)2)Leibniz 公式：uvCnu vk=0（二）微分1） 定義：y 二 f（X。X）- f （x。）= A x o（ x），其中 A與：x 無(wú)關(guān).2） 可微與可導(dǎo)的關(guān)系：可微= 可導(dǎo)，且dy二f （xQy x= f （xg）dx三、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中值定理1、Rolle羅爾定理：若函數(shù)f (x)滿(mǎn)足：1)f(x) Ca,b ； 2)f(x) D(a,b) ； 3)f(a)=f(b)； 貝S ： (a,b),使f ( J = 0.2、Lagrange拉格朗日中值定理 * :若函數(shù)f (x)滿(mǎn)足：1) f (x) Ca,b ；2 ) f (x) D(

6、a,b)；則.(a,b),使f(b)- f(a) = f ( )(b-a).3、 Cauchy柯西中值定理：若函數(shù)f (x), F (x)滿(mǎn)足：1) f(x),F(x) Ca,b ； 2) f(x),F(x) D(a,b) ；3)F(x)=0,x (a,b)則 (a,b),使f(b)- f(a)F(b)-F (a)f ()F()洛必達(dá)法則（三）Taylor公式（四）單調(diào)性及極值1、 單調(diào)性判別法：f(x) Ca,b , f(x) D(a,b)，則若f (x) 0，則f (x)單調(diào)增加；則若f (x) ” 0，則f (x)單調(diào)減少.2、極值及其判定定理：a) 必要條件：f(x)在X?？蓪?dǎo)，若X。

7、為f(x)的極值點(diǎn)，貝“(Xo) = O.b) 第一充分條件：f (x)在X。的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且fXo) = O，則若當(dāng)X：； X。 時(shí)，f (X) 0，當(dāng)X X。時(shí)，f(X)“ 0 ,則X。為極大值點(diǎn)；若當(dāng)X ” X。 時(shí)，f(x)"，當(dāng)X Xo時(shí)，(X)。，則Xo為極小值點(diǎn)；若在Xo的 兩側(cè)f(X)不變號(hào)，則X0不是極值點(diǎn).C)第二充分條件：f (X)在X。處二階可導(dǎo)，且(Xo)=。，廠(chǎng)(Xo)=。，則 若f(X。)。，則Xo為極大值點(diǎn)；若(X。)。，則Xo為極小值點(diǎn).3、凹凸性及其判斷，拐點(diǎn)1) f (X)在區(qū)間 I 上連續(xù)，若一 Xi,X2T, f(Xl 2X2):： f (X

8、l) 2f (X2)，則稱(chēng) f(x)在x+x f(x)+f(x)區(qū)間I上的圖形是凹的；若一 Xi,X2, I, f (丄訂)七-，則稱(chēng)f(x)在區(qū)間I上的圖形是凸的.2) 判定定理：f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上有一階、二階導(dǎo)數(shù)，則a) 若一 x (a,b), f (x) ,則f (x)在a,b上的圖形是凹的；b) 若- x (a,b), f(X)。,則f (x)在a,b上的圖形是凸的.3) 拐點(diǎn)：設(shè)y二f (x)在區(qū)間I上連續(xù)，Xo是f (x)的內(nèi)點(diǎn)，如果曲線(xiàn)y二f (x)經(jīng) 過(guò)點(diǎn)(x。，f (x。)時(shí)，曲線(xiàn)的凹凸性改變了，則稱(chēng)點(diǎn)(x。，f (x。)為曲線(xiàn)的拐點(diǎn).(五) 不等式證明1

9、、利用微分中值定理;2、利用函數(shù)單調(diào)性；3、利用極值(最值).(六) 方程根的討論1、連續(xù)函數(shù)的介值定理;2、Rolle 定理；3、函數(shù)的單調(diào)性；4、極值、最值；5、凹凸性.(七) 漸近線(xiàn)1、鉛直漸近線(xiàn):匹5)七，則XY為一條鉛直漸近線(xiàn);2、水平漸近線(xiàn):lim f (x) = b，則y = b為一條水平漸近線(xiàn);X四、不定積分(一)概念和性質(zhì)1、 原函數(shù)：在區(qū)間I上，若函數(shù)F(x)可導(dǎo)，且Fx)二f(x)，則F(x)稱(chēng)為f (x)的一個(gè)原函數(shù).2、 不定積分：在區(qū)間I上，函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)的原函數(shù)稱(chēng)為 f(x)在 區(qū)間I上的不定積分.3、 基本積分表(P188, 13個(gè)公式)；4、性質(zhì)(

10、線(xiàn)性性).換元積分法1、第一類(lèi)換元法(湊微分)：.f(x)(x)dx f (u)dJ u(x)2、第二類(lèi)換元法(變量代換：三角代換、倒代換、根式代換等)：f(x)dx 二 I f (t) (t)dt(三)分部積分法：.udv二uv- .vdu (反對(duì)幕指三，前u后v'(四)有理函數(shù)積分1、“拆”；2、變量代換(三角代換、倒代換、根式代換等)五、定積分(一)概念與性質(zhì)：b1、定義：af(x)dx 二2、性質(zhì)：(7條)，性質(zhì)7 (積分中值定理)nlim/ f( J 為函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則 a,b，使bbJ f(x)dxi f(x)dx= f(E)(b-a)(平均值：f(

11、69;)=)b -(二)微積分基本公式(N L公式)1、x變上限積分：設(shè)門(mén)(X)二f(t)dt，則"(X)二f (x)ad:(x)推廣：:、f(t)dt= f W(x)- f 卜(x滬 r(x)dx a(x)b2、N L 公式：若 F(x)為 f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則 j f (x)dx= F(b)- F(a)a(三) 換元法和分部積分bp1、換元法：J f(x)dx= f f毋(t)L(t)dtaot2、分部積分法：udv 二'uv - bvduaa(四) 反常積分1、無(wú)窮積分：亠-tf f (x)dx = lim J f (x)dxtbbf (x)dx lim f (x)dxt )-： ： t-:o-:f(x)dx f(x)dx f (x)dxo2、瑕積分：bbf (x)dx 二 lim f (x)dx (a為瑕點(diǎn))btf