第二章矩陣PPT課件

1、第二章 矩陣 1矩陣的概念；矩陣的概念； 2矩陣的代數運算；矩陣的代數運算； 3矩陣的初等變換；矩陣的初等變換； 4矩陣的求逆運算；矩陣的求逆運算； 5分塊矩陣。分塊矩陣。 一一. . 矩陣的概念矩陣的概念 1.矩陣的定義矩陣的定義 方程組方程組mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111系數排成一個矩形數表系數排成一個矩形數表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211這就是這就是矩陣矩陣由由m n個數按一定的個數按一定的次序排成的次序排成的m行行n列的列的矩形數表稱為矩形數表稱為m n矩矩陣陣,簡稱簡稱矩陣矩陣.橫的各排稱

2、為矩陣的橫的各排稱為矩陣的行行,豎的各排稱為矩陣的豎的各排稱為矩陣的列列ija稱為矩陣的第稱為矩陣的第i行行j列的列的元素元素.元素為實數的稱為元素為實數的稱為實矩實矩陣陣, ,我們只討論實矩陣我們只討論實矩陣. .矩陣通常用大寫字母矩陣通常用大寫字母A、B、C等表示，例如等表示，例如mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211簡記為簡記為nmijaA)()(11211naaa12111maaa行矩陣行矩陣列矩陣列矩陣腳標腳標nnnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211當當m=n時，即矩陣的行數與列數相同時時，即矩陣的行數與列數相同時,稱矩陣為稱矩陣為方陣方陣。nn

3、aaa,2211稱為稱為對角線元素對角線元素幾種特殊形式的矩陣幾種特殊形式的矩陣0000. 1nmOnnaa11. 2kk. 311. 4nEnnnnaaaaaa22211211. 5nnnnaaaaaa21222111. 6二二. .矩陣的代數運算矩陣的代數運算一、線性運算一、線性運算1.相等相等:兩個矩陣相等是指這兩個矩陣有相同兩個矩陣相等是指這兩個矩陣有相同 的行數與列數的行數與列數, 且對應元素相等且對應元素相等.即即nmijaA nmijbB=型號相同型號相同ijijba 對應元素相等對應元素相等2.加、減法加、減法nmijaA nmijbB設設同型同型矩陣為矩陣為與定義定義nmij

4、ijbaBA)(nmijijbaBA)(顯然顯然 A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) A+O=O+A=A A-A=O負矩陣負矩陣nmijaA的負矩陣為的負矩陣為記作記作 -A,即即nmijaAnmija3.數乘數乘mnmmnnkakakakakakakakaka212222111211稱為數與矩陣的乘法，簡稱為稱為數與矩陣的乘法，簡稱為數乘數乘。記作：。記作：kAkA1kA1kAAA 1OoAkBkABAklAkAAlkkAllAkAklkAkA)(,)()()()(,nAkAkA是方陣，則二、二、 矩陣的乘法矩陣的乘法3132121111xaxaxay3232221212xaxa

5、xay232131322212122121111tbtbxtbtbxtbtbx與與232132212121113113211211111)()(tbababatbababay232232222122113123212211212)()(tbababatbababay232221131211aaaaaaA323122211211bbbbbbB322322221221312321221121321322121211311321121111babababababababababababa232221131211aaaaaa323122211211bbbbbbsmijaA)(nsijbB)(一般地，有

6、一般地，有nmijc)(sjisjijiijbababac2211=ABC )(21isiiaaasjjjbbb21ijc3132121111xaxaxay3232221212xaxaxay232131322212122121111tbtbxtbtbxtbtbx32123222113121121xxxaaaaaayy21323122211211321ttbbbbbbxxx與32123222113121121xxxaaaaaayy21323122211211321ttbbbbbbxxx232132212121113113211211111)()(tbababatbababay2322322221

7、22113123212211212)()(tbababatbababay則23222113121121aaaaaayy21323122211211ttbbbbbbnssmnmBAC1111,11111BA：例AB0000= O2222BABAAB 顯然顯然這正是這正是矩陣與矩陣與數的不同數的不同ABBA1101,1241,63422CBA：例6946,6946ACABACAB CB 但是但是這又是這又是矩陣與矩陣與數的不同數的不同請記?。赫堄涀。?.矩陣乘法不滿足交換律；矩陣乘法不滿足交換律；2.不滿足消去律；不滿足消去律；3.有非零的零因子。有非零的零因子。nnmnmmEAAAEkBABkA

8、ABkCABAACBACABCBABCACAB. 4)()()(. 3)()(. 2)().(1BAABBA則為同階方陣設,. 5ABBA請?zhí)貏e注意請?zhí)貏e注意性質性質5,如果如果不是同階方不是同階方陣結果不成陣結果不成立立.成立嗎mnnmmnnmBABA不成立不成立!課本課本P39: 例例2.3三、方陣的正整數冪三、方陣的正整數冪lklkAAAAAAAkk個個定義n階方陣的k次冪為：kmmkAA)(顯然EA 0規(guī)定kkkBAAB)(注意注意問等式問等式階方陣階方陣為為與與設設,nBA BABABA 22成立的充要條件是什么成立的充要條件是什么?例：例：AB=BA四、矩陣的轉置四、矩陣的轉置nm

9、ijaAmnTijaTATTTTTTTkAkABABAAA)()()(TAB)(TTAB請記牢請記牢!方陣方陣A的多項式的多項式EcAcAcAcAcAPmmmmmiiim01110)(例例,854221 A;825241 TAjiTijaa 課本課本P40: 例例2.4smijaAnsijbBnmijcABCmnijTTdAB)(msTijTaAsnTijTbBsijsijijskkijkjibabababac22111skjkkiskTkjTikijababd11也就是也就是TTTABAB)(TTTTABCABC)(?11TnnTaajiTijcc ijd=對稱陣與反對稱陣對稱陣與反對稱陣A

10、AT:對稱陣AAT:反對稱陣TTTAAAAAA,TAATija0iiijjiaaa且ijajia對任一方陣A，我們有證明證明:TAAC 設設 TTTAAC 則則AAT ,C 所以所以C為對稱矩陣為對稱矩陣.,TAAB 設設 TTTAAB 則則AAT ,B 所以所以B為反對稱矩陣為反對稱矩陣.22TTAAAAA ,22BC 命題得證命題得證.例： P42: 例2.5 證明任一 階矩陣 都可表示成 對稱陣與反對稱陣之和.nA矩陣運算矩陣運算 加法加法數與矩陣相乘數與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘矩陣的轉置矩陣的轉置小 結2. 只有當第一個矩陣的只有當第一個矩陣的列數列數等于第二個矩陣的等于第

11、二個矩陣的行數行數時，時，兩個矩陣才能兩個矩陣才能相乘相乘, 且矩陣相乘且矩陣相乘不滿足不滿足交換律、消去律交換律、消去律.1. 只有當兩個矩陣是只有當兩個矩陣是同型同型矩陣時，才能進行矩陣時，才能進行加法加法運算運算.3. 矩陣的矩陣的數乘數乘運算與行列式的數乘運算不同運算與行列式的數乘運算不同.注意注意:課后作業(yè)課后作業(yè)P58: 2-1; 2-2. 1) 2) 3) 7); 2-4; 2-6; 2-7; 2-8; P64: 2-51. 1) ).(,)()(jijikcckrrikjiii記作（列）對應元素上去行后加到第乘以常數列行將矩陣的第倍乘變換三三. .矩陣的初等變換矩陣的初等變換以

12、下三種變換分別稱為矩陣的以下三種變換分別稱為矩陣的初等行（列）變換初等行（列）變換：)()(,)(jijiccrrjii的位置，記作列兩行對換矩陣中第).(,()(iikckrikii記作列）行乘第用非零常數對調變換倍加變換矩陣的初等行變換與初等列變換矩陣的初等行變換與初等列變換統稱為統稱為初等變換初等變換。行階梯形：行階梯形：每行首個非零元素的下方全是零每行首個非零元素的下方全是零化簡矩陣而保持其等價性。化簡矩陣而保持其等價性。主要作用：主要作用：矩陣的初等變換是線性代數中一個矩陣的初等變換是線性代數中一個重要的工具重要的工具.00000087005432110000980001221031

13、20750011a)2(02kak) 1(03kjaj主要過程：主要過程：利用初等行變換將矩陣化為利用初等行變換將矩陣化為行階梯形行階梯形。41311221222832A2832122122413131rr669044604131131222rrrr223022304131000022304131連接。之間用記號與，化為利用初等變換將BABA利用利用初等行變換初等行變換將矩陣將矩陣A化為化為行階梯形矩陣行階梯形矩陣。例例1：221r331r23rr 利用初等行變換將矩陣化為利用初等行變換將矩陣化為行最簡形行最簡形。行最簡形：行最簡形：每行首個非零元素為每行首個非零元素為1， 且這些且這些1所在

14、列的其他元素都是零所在列的其他元素都是零0111a12ka13ja14la301020201A5000202019113123343221B07700111103221000001103221100010001000001103001利用利用初等行變換初等行變換將矩陣化為將矩陣化為行最簡形矩陣行最簡形矩陣。例例2：13rr 221r351r312rr 124rr 133rr 2111r237rr 212rr 矩陣的等價矩陣的等價定義定義: 對矩陣對矩陣A實行有限次初等變換得到矩陣實行有限次初等變換得到矩陣B，則稱則稱矩陣矩陣A與與B等價等價，記作，記作 A B. 性質性質: 等價矩陣具有等價矩

15、陣具有自反性、對稱性、傳遞性自反性、對稱性、傳遞性。CACBBAABBAAA,;rnmIA0000000000001000001000001A的等價標準形的等價標準形定理：定理：任何一個矩陣都任何一個矩陣都有等價標準形。有等價標準形。矩陣矩陣A的秩的秩如例如例1中：中：000022304131A00002230000114131243cccccc000000100001242323122ccccc推論推論:矩陣矩陣 A與與 B 等價的等價的充要條件充要條件是是A與與 B 有相同的標準形。有相同的標準形。矩陣的秩矩陣的秩.階子式的矩陣階子式. 12kAk階行列式，稱為素，按原次序組成的個元素交處

16、的列，位于這些行、列相行中任取在：kkkkAnm一般地：個。階子式有的矩陣knkmCCkAnm2. 秩的定義秩的定義: 矩陣矩陣 A 的所有的所有不等于零的子式的最高階數不等于零的子式的最高階數 稱為矩陣稱為矩陣 A 的秩的秩. 記作記作 r(A) .顯然顯然 r(O)=0;只要只要A不是零陣不是零陣, 就有就有 r(A)0. 并并且且:;,min)()(nmArinm).()()(ArAriiT.)(;)()(kArklArliii階子式全為零，則若所有的階子式不為零，則若有一個例例3.174532321的秩的秩求矩陣求矩陣 A解解中，中，在在 A，階子式只有一個階子式只有一個的的又又AA3

17、. 03221 ，且且0 A. 2)(Ar例例4 4，求該矩陣的秩，求該矩陣的秩已知已知 510231202231A, 022031 502320231 解解計算計算A的的3階子式，階子式，, 0 , 0 510312223 512310221 , 0 . 0 102120231 . 2)(Ar例例5 求矩陣求矩陣A的秩的秩00002222111211rnrrnrnraaaaaaaaaA.)(rAr顯然利用初等變換可以求矩陣的秩利用初等變換可以求矩陣的秩. .02211rraaa其中秩的求法秩的求法定理定理: 矩陣經初等變換后其秩不變矩陣經初等變換后其秩不變.證證: 只證行變換的情形只證行變換

18、的情形.);()(BrArBAjirr);()(BrArBAikrABjikrr )()(BrAr例例6 求矩陣的秩求矩陣的秩41311221222832. 1 A2832122122413131rrA6690446041310000446041312)(Ar131222rrrr2233rr 930012107022204321930053001110432193001210701110432140005300111043214)(Br5021011321014321. 2 B1413123rrrrrr221r237rr 34rr 911312343221tA？為何值時，3)(Art07700

19、11803221tA0118001103221t030001103221t. 3)(, 3Art例例7解：解：131234rrrr32371rrr23)8(rtr P59: 2-17. 1) 2) 3) ; P88：3-15. 3）4）; 小小 結結(2)(2)初等變換法初等變換法1. 矩陣的初等變換矩陣的初等變換2. 求矩陣秩的方法求矩陣秩的方法(1)(1)利用定義利用定義(把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數就是矩陣的秩階梯形矩陣中非零行的行數就是矩陣的秩).(即尋找矩陣中非零子式的最高階數即尋找矩陣中非零子式的最高階數)

20、;作業(yè)：作業(yè)：行階梯形行階梯形 行最簡形行最簡形 等價標準形等價標準形初等矩陣初等矩陣定義定義：對單位陣進行一次初等變換后得到的：對單位陣進行一次初等變換后得到的矩陣稱為矩陣稱為初等矩陣初等矩陣。 三種初等行變換得到的初等矩陣分別為：三種初等行變換得到的初等矩陣分別為：101101),(jiE對單位陣作一次列變換得到的矩陣也包對單位陣作一次列變換得到的矩陣也包括在上面的三類矩陣之中。括在上面的三類矩陣之中。11)(kkiE1111)(,(kkjiE初等矩陣的性質初等矩陣的性質1.),(),(jiEjiET101101),(TjiE),(jiE)(11)(kiEkkiET)(,(1111)(,(

21、kijEkkjiET)()(kiEkiET)(,()(,(kijEkjiET初等矩陣的轉置仍為同類型的初等矩陣初等矩陣的轉置仍為同類型的初等矩陣.1),(jiE2.kkiE)(1)(,(kjiE初等矩陣都是非奇異的初等矩陣都是非奇異的.初等矩陣與初等變換的關系初等矩陣與初等變換的關系先看一個例子先看一個例子333231232221131211aaaaaaaaaA100001010)2 , 1 (E333231232221131211100001010)2 , 1(aaaaaaaaaAE333231131211232221aaaaaaaaa行變換相當于左乘初等矩陣行變換相當于左乘初等矩陣;列變換

22、相當于右乘初等矩陣列變換相當于右乘初等矩陣.100001010)2 , 1(333231232221131211aaaaaaaaaAE333132232122131112aaaaaaaaa例例1 求矩陣的標準形并求矩陣的標準形并用初等矩陣表示初等變換用初等矩陣表示初等變換。011110001A01011000113rr11001000132rr10001000123rrI1010100011P0101000012P1100100013PIAPPP123可以驗證可以驗證333231232221131211aaaaaaaaaA133312321131131211232221aaaaaaaaaaaa

23、B1000010101P1010100012PBPAP21) 1 (BPAP12)2(BAPP21)3(BAPP12)4(例例2 選擇題選擇題4131122122283210101000110000120001000016903122122283210000120001000016918312216228192例例3 顯然，若兩個顯然，若兩個同型矩陣同型矩陣有有相同的秩相同的秩，則這兩個，則這兩個矩矩陣有陣有相同的標準形相同的標準形，從而，從而等價等價；反之，若兩個；反之，若兩個矩陣等價，則它們的秩相同。即有：矩陣等價，則它們的秩相同。即有：定理定理：矩陣：矩陣A與與B等價的等價的充要條件充要

24、條件是是r(A)=r(B).! 請記住：矩陣是否等價只須看矩陣的秩是否相同。請記?。壕仃囀欠竦葍r只須看矩陣的秩是否相同。滿秩矩陣滿秩矩陣定義定義：若：若方陣方陣A的秩與其階數相等，則稱的秩與其階數相等，則稱A為為滿秩滿秩矩陣；矩陣； 否則稱為否則稱為降秩降秩矩陣。矩陣。( 滿秩滿秩非奇異非奇異 降秩降秩奇異）奇異）E-滿秩陣滿秩陣 O-降秩陣降秩陣定理定理：設：設A為滿秩陣，則為滿秩陣，則A的標準形為同階單位陣的標準形為同階單位陣 E .即即EA 矩陣的秩矩陣的秩是矩陣的一個是矩陣的一個重要的數字特征重要的數字特征。推論推論1：以下命題等價：以下命題等價：滿秩；Ai)(;)(EAii非奇異；A

25、iii)()( ;)(21為初等矩陣。其中imPPPPAiv)()()(iiiiii定理), 0,)(非奇異即AAnAr:)()(ivii ,EA 使，,121mllPPPPPmllPEPPPPA121mllPPPPP121:)()(iiiv mPPPA21EPPPm21EA 初等矩陣)()()()(iviiiiii證證推論推論2：矩陣：矩陣A與與B等價的等價的充要條件充要條件為存在為存在m階及階及 n階滿秩陣階滿秩陣P、Q，使，使nnmmnmQBPA由此還可得到：由此還可得到： 若若P、Q為滿秩陣，則為滿秩陣，則r(A) = r(PA) = r(PAQ) = r(AQ)例例4：).(,301

26、020201, 2)(34ABrBAr求設, 3)(Br滿秩，B2)()(ArABr. P61：2-18; P62：2-34 . 小小 結結2. 初等矩陣與初等變換的關系初等矩陣與初等變換的關系3. 矩陣矩陣滿秩的等價條件滿秩的等價條件作業(yè)：作業(yè)：1. 單位矩陣單位矩陣 初等矩陣初等矩陣. .一次初等變換一次初等變換4. 同型矩陣同型矩陣等價的充要條件等價的充要條件EBAABBA使矩陣矩陣,?,四、逆矩陣四、逆矩陣. 1, 0111aaaaaa使定義定義：對：對n階階方陣方陣A，若有，若有n階矩陣階矩陣B，使，使AB=BA=E，則，則 稱稱B為為A的的逆矩陣逆矩陣，稱，稱A為可逆的。為可逆的。

27、（1）逆陣唯一逆陣唯一。設設B,C都是都是A的逆，則的逆，則B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C1AA的逆記為：的逆記為：（2）并非每個方陣都可逆并非每個方陣都可逆。例如例如0001A就不可逆。就不可逆。,1dcbaA假設000001badcba100110 要解決的問題：要解決的問題：1.方陣滿足什么條件時可逆方陣滿足什么條件時可逆?2.可逆時，逆陣怎樣求？可逆時，逆陣怎樣求？逆陣的性質逆陣的性質;1)(1AAAi可逆;)( ,)(111AAAAii可逆可逆;)()(1ABEBAorEABiii;)()(11TTAAiv;)(111ABABv)., 0( ,1)(11可逆AkAkkAv

28、i)()(11ABABv E;)(111ABAB伴隨矩陣伴隨矩陣 nnijaAnnnnnnAAAAAAAAAA212221212111數余子式的代為ijijaA伴隨矩陣伴隨矩陣時要注意什么？寫A代數余子式的順序代數余子式的順序! !二階二階A矩陣的伴隨矩陣矩陣的伴隨矩陣.dcbaAacbdA AAnnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaa212221212111212222111211AAEAAAEAAAAA重要公式重要公式性質：性質：AAAAAAn1;01*1*那么，如果.2103200011*AAA，則，若例：定理定理: n階方陣階方陣A可逆的可逆的充要條件充要條件是是A

29、AA11. 0A證證:,1EAAA可逆知”由“兩邊取行列式，111EAAAA0 A, 0A”由“EAAAAAEAAAAAA)1()1(AAA11牢記這個定理牢記這個定理滿秩非奇異可逆AAA例例1.的逆。求dcbaAAAA11acbdbcad1解：解：)0( bcad例例 2.);,(),(1jiEjiE);1()(1kiEkiE)(,()(,(1kjiEkjiE證證:EjiEjiE),(),(),(),(1jiEjiE同理證其它兩式。同理證其它兩式。 這說明初等矩陣的逆陣仍為同類型的初等矩陣。這說明初等矩陣的逆陣仍為同類型的初等矩陣。這是初等矩陣的第三個性質。這是初等矩陣的第三個性質。練習：求

30、逆陣練習：求逆陣1211. 1 A2111. 2 B1022. 3 C121131. 11A1112. 21B202121. 31C102123111A？ ？的逆怎樣求？的逆怎樣求？逆陣的求法逆陣的求法方法一方法一：求。用A方法二方法二：初等變換法。初等變換法。,1可逆可逆 AAsPPPA211EAPPPs21121 AEPPPs的逆。：求例1021231111A)()(1AEEA行變換124100013210001111124100235010112001100102010123001111)(EA1023200132100011111A124235112方法三方法三：用定義求。：用定義求。

31、. 0,2111AaaaaAnn求：例猜：猜：naaB111.EAB 對否？只須驗證1 AB解：naa1naa111EnaaA111111.2312AAOEAAAn可逆并求，求證滿足：設例EAA22EEAA2)(EEAA221EAA方法四方法四：用定義證明：用定義證明B為為A的逆。的逆。4.,(),:kAO k例 設為正整數 證明121)(kAAAEAE)(12kAAAEAE)(1212kkkAAAAAAAEkAE EP60. 2-14逆陣的應用逆陣的應用求解矩陣方程求解矩陣方程可逆。ABAX,. 1BAXI1:解法XBPPPs21EAPPPs21)()(XEBA行變換可逆。ABXA,. 2（

32、初等變換法）解法:IIsPPPA2111: BAXI解法（初等變換法）解法:IIsPPPA211XPPBPs21EPPAPs21XEBA列變換可逆。其中CABAXC,. 311:BCAXI解法:II解法BAXCor11 BCAX求解矩陣方程時，一定要記?。合然啠偾蠼?。求解矩陣方程時，一定要記?。合然啠偾蠼?。.,. 1BBAABA求且已知ABABABEA)(AEAB1)(,B或用初等變換求)()(BEAEA行變換.,. 22XXAEAXA求且已知)(2EAEAEAXAX)()(EAEAXEA.,EAXEA則可逆只要).9()3(,. 321EAEAA求已知)9()3(21EAEA)3)(

33、3()3(1EAEAEAEA3. 0 A3. 逆矩陣的計算方法逆矩陣的計算方法 ;21AAA利用公式利用公式2.2.逆矩陣逆矩陣 存在存在1 A ;1 定義法定義法 初等變換法初等變換法3小 結1. 逆矩陣的概念及運算性質逆矩陣的概念及運算性質. P59: 2-9. 1)3)5); 2-10; 2-11. 1)3) ; 2-12; 2-13; 2-15. 作業(yè)：作業(yè)：一、分塊矩陣的概念一、分塊矩陣的概念343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA22211211AAAA343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA23222113121

34、1AAAAAA定義定義：將矩陣用若干：將矩陣用若干縱橫直線縱橫直線分成若干個小塊，分成若干個小塊，每一小塊稱為矩陣的子塊（或子陣），每一小塊稱為矩陣的子塊（或子陣），以子塊以子塊為元素形成的矩陣為元素形成的矩陣稱為分塊矩陣。稱為分塊矩陣。五、分塊矩陣五、分塊矩陣二、分塊矩陣的運算二、分塊矩陣的運算1.線性運算線性運算 加法與數乘加法與數乘2.乘法運算乘法運算符合乘法的要求符合乘法的要求3.轉置運算轉置運算大塊小塊一起轉大塊小塊一起轉TTAAAAAAA232221131211TTTTTTAAAAAA231322122111三、幾種特殊的分塊陣三、幾種特殊的分塊陣1.準對角陣準對角陣sAAAA21), 2 , 1(siAi為方陣，準對角陣或準對角陣或分塊對角陣分塊對角陣課本課本P46P46sAAAA21sBBBB21), 2 , 1,(siBAii