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文檔簡介

1、圓錐曲線大綜合第一部分圓錐曲線??碱}型和熱點問題一??碱}型題型一:數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系題型二:弦的垂直平分線問題題型三:動弦過定點問題題型四:過已知曲線上定點的弦的問題題型五:共線向量問題題型六:面積問題題型七:弦或弦長為定值的問題題型八:角度問題題型九:四點共線問題題型十:范圍為題(本質(zhì)是函數(shù)問題)題型十一: 存在性問題 (存在點, 存在直線ykxm ,存在實數(shù), 三角形(等邊、 等腰、直角),四邊形(矩形,菱形、正方形),圓 )二熱點問題1. 定義與軌跡方程問題2. 交點與中點弦問題3. 弦長及面積問題4. 對稱問題5. 范圍問題6. 存在性問題7. 最值問題8. 定值,定

2、點,定直線問題第二部分知識儲備一與一元二次方程 ax2bxc0(a0) 相關(guān)的知識(三個“二次”問題)1.判別式:b24ac2.韋達定理:若一元二次方程ax2bxc0(a0) 有兩個不等的實數(shù)根x1, x2,則x1x2b , x1 x2caa3.求根公式:若一元二次方程ax2bxc0(a0) 有兩個不等的實數(shù)根x1, x2,則x1, 2bb24 ac2a二與直線相關(guān)的知識1. 直線方程的五種形式:點斜式,斜截式,截距式,兩點式,一般式12. 與直線相關(guān)的重要內(nèi)容:傾斜角與斜率:y tan ,0, ) ;點到直線的距離公式:dAx0By0C (一般式) 或 dkx0 y0b (斜截式)A2B 2

3、12k 23.弦長公式:直線ykxb 上兩點 A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) 間的距離:AB1 k 2 xx2(1k 2 )( xx )24x x ( 或 AB11yy2)11212k 214.兩直線 l1 : y1k1x1b1 ,l2 : y2k2 x2b2 的位置關(guān)系: l1 l2k1 k21 l1 / / l2k1 k2且b1b25.中點坐標(biāo)公式:已知兩點A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2),若點 M x, y線段AB 的中點,則xx1x1 , yy1y222三圓錐曲線的重要知識考綱要求:對它們的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì),文理要求有所不同。文

4、科:掌握橢圓,了解雙曲線;理科:掌握橢圓及拋物線,了解雙曲線1. 圓錐曲線的定義及幾何圖形:橢圓、雙曲線及拋物線的定義及幾何性質(zhì)。2. 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程3.圓錐曲線的基本性質(zhì):特別是離心率,參數(shù)a,b, c 三者的關(guān)系,p 的幾何意義等4.圓錐曲線的其他知識:通徑:橢圓2b2,雙曲線2b2,拋物線 2 paa焦點三角形的面積: p 在橢圓上時 S F1PF2b2tan2p 在雙曲線上時 S F1PF2b2 / tan2四常結(jié)合其他知識進行綜合考查1 圓的相關(guān)知識:兩種方程,特別是直線與圓,兩圓的位置關(guān)系2 導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識:求導(dǎo)公式及運算法則,特

5、別是與切線方程相關(guān)的知識3 向量的相關(guān)知識:向量的數(shù)量積的定義及坐標(biāo)運算,兩向量的平行與垂直的判斷條件等4 三角函數(shù)的相關(guān)知識:各類公式及圖像與性質(zhì)5 不等式的相關(guān)知識:不等式的基本性質(zhì),不等式的證明方法,均值定理等五不同類型的大題( 1)圓錐曲線與圓例 1.(本小題共14 分)2223已知雙曲線 C : x2y21(a0, b 0) 的離心率為3 ,右準(zhǔn)線方程為xab3()求雙曲線 C 的方程;()設(shè)直線 l 是圓 O : x2y22 上動點 P( x0 , y0 )( x0 y00) 處的切線, l 與雙曲線 C交于不同的兩點A, B ,證明AOB 的大小為定值 【解法 1】本題主要考查雙

6、曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識,考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法,考查推理、運算能力a23()由題意,得c3,解得 a1,c3 ,c3a b2c2a22 ,所求雙曲線C 的方程為 x2y21 .2()點 P x0 , y0x0 y00在圓 x2y22 上,圓在點 Px0 , y0 處的切線方程為yy0x0x x0,y0化簡得 x0 xy0 y2 .由x2y21222 得 3x24 x24x x 8 2x20 ,2及 x0y0000x0 xy0 y2切線 l與雙曲線 C 交于不同的兩點 A、 B,且 0x022 ,3x0240,且16x024 3x0248 2x020 ,設(shè)

7、A、 B 兩點的坐標(biāo)分別為x1, y1 , x2 , y2,則 x1 x24x04, x1 x28 2 x02 ,3x023x024 cos AOB OA OB ,且OA OB1OAOBx1 x2 y1 y2 x1 x2 y02 2 x0 x1 2 x0 x2 ,3x1 x2212 4 2x0 x1 x2x02 x1 x2x08 2x02148x02x02 8 2x022224243x04 2 x03x03x082 x0282x020 .3x0243x024 AOB 的大小為 90 .【解法2】()同解法 1.()點Px0 , y0x0 y00在圓 x2y22 上,圓在點 Px0, y0處的切

8、線方x0 x2 . 由 x2y21及 x02y022程為 yy0x0 ,化簡得 x0 xy0 y2y0x0 xy0 y2得3x024 x24x0 x 8 2x0203x024 y28 y0 x 8 2x020切線l 與雙曲線 C 交于不同的兩點A、 B,且 0x022, 3x0240 ,設(shè) A、B 兩點的坐標(biāo)分別為 x1 , y1,x2, y2 ,則 x1 x282x02 , y1 y22x028 ,3x0243x024OAOBx1x2y1y20 ,AOB 的大小為 90 .( x02y022 且 x0 y00, 0x022,0y022 ,從而當(dāng) 3x0240 時,方程和方程的判別式均大于零)

9、 .練習(xí) 1:已知點 A 是橢圓 C : x2y21 t 0 的左頂點, 直線 l : xmy 1(m R ) 與橢9t圓 C 相交于 E, F 兩點,與 x 軸相交于點 B . 且當(dāng) m0 時, AEF 的面積為 16.3()求橢圓C 的方程;4()設(shè)直線AE , AF 與直線 x3 分別交于 M , N 兩點,試判斷以MN 為直徑的圓是否經(jīng)過點B ?并請說明理由 .( 2)圓錐曲線與圖形形狀問題例 2.1 已知 A, B, C 是橢圓 W:x22 y 1 上的三個點, O 是坐標(biāo)原點4(1)當(dāng)點 B 是 W 的右頂點,且四邊形OABC 為菱形時,求此菱形的面積;(2)當(dāng)點 B 不是 W 的

10、頂點時,判斷四邊形OABC 是否可能為菱形,并說明理由x22解: (1) 橢圓 W: y 1 的右頂點 B 的坐標(biāo)為 (2,0) 4因為四邊形 OABC為菱形,所以AC與 OB相互垂直平分所以可設(shè) A(1 ,m) ,代入橢圓方程得123.m 1,即 m42所以菱形 OABC的面積是 1 | OB|·|AC| 1 ×2×2| m| 3 .22(2) 假設(shè)四邊形 OABC為菱形因為點 B 不是 W的頂點,且直線 AC不過原點,所以可設(shè) AC的方程為 y kx m( k0,m0) x24 y24,222由kx消 y 并整理得 (1 4k ) x 8kmx 4m 4 0.

11、ym設(shè) A( x1,y1) , C( x2,y2) ,則 x1 x214km 2, y1y2kx1x2m24k22所以 AC的中點為 M14km 2,m2.4k14k因為 M為 AC和 OB的交點,所以直線OB的斜率為因為 k·1 1,所以AC與 OB不垂直m.14k21.4k4k所以 OABC不是菱形,與假設(shè)矛盾所以當(dāng)點 B 不是 W的頂點時,四邊形OABC不可能是菱形x2y21(a b 0) 過點 (2 , 1),且以橢圓短軸的兩個端點和練習(xí) 1:已知橢圓 C :b2a2一個焦點為頂點的三角形是等腰直角三角形.( )求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;( )設(shè) M ( x, y) 是橢圓 C 上的

12、動點,P( p,0) 是 X 軸上的定點,求MP 的最小值及取最小值時點 M 的坐標(biāo) .5( 3)圓錐曲線與直線問題例 3.1 已知橢圓 C : x2 2y2 4 ,(1)求橢圓 C 的離心率 .(2)設(shè) O 為原點, 若點 A 在橢圓 C 上,點 B 在直線 y2 上,且 OAOB,求直線 AB與圓 x2y22 的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論 .22解析:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:xy1,42a 2 , b2則 c2,離心率 ec2;a2直線 AB 與圓 x2y22 相切 . 證明如下:法一:設(shè)點 AB 的坐標(biāo)分別為x0y0t 2,其中 x00 .因為 OA OB ,所以 OAOB0 ,即 tx02 y

13、00 ,解得 t2y0 .x0當(dāng) x0t 時, y0t2,代入橢圓 C 的方程,得 t2 ,2故直線 AB 的方程為 x2 . 圓心 O 到直線 AB 的距離 d2 .此時直線 AB 與圓 x2y22相切.當(dāng) x0t 時,直線 AB 的方程為 yy02t,2x0xt即 y02 xx0t y 2 x0ty00 .圓心 O 到直線 AB 的距離2 x0ty0.dy02x022t又 x022 y024 , t2y0,故x02x02 y024 x02x0x0d2 .4y02x048x021622x0y0x0242x02此時直線 AB 與圓 x2y22相切.法二:由題意知,直線OA 的斜率存在,設(shè)為k

14、,則直線 OA 的方程為 ykx , OA OB ,6當(dāng)k0時, A20,易知B02 ,此時直線AB的方程為 xy2 或xy 2 ,原點到直線 AB 的距離為2,此時直線 AB 與圓x2y22相切;當(dāng) k0 時,直線 OB 的方程為 y1,xk22k22k聯(lián)立ykx得點 A 的坐標(biāo)212或122;x22 y21 2k2k2k1 2k4聯(lián)立y1 x得點 B 的坐標(biāo),k2k2y2由點 A 的坐標(biāo)的對稱性知,無妨取點A22k進行計算,12k212k22k2212k2k1于是直線 AB 的方程為: y2x2k2kx2k,222k1 k 12 k122k即 k1 2k2 x 1 k 1 2k 2 y2k

15、 22 0 ,原點到直線 AB 的距離 d2 k222 ,k12k 221k 122k 2此時直線 AB 與圓2y22相切。x綜上知,直線AB 一定與圓x2y22相切 .法三:當(dāng)k0時, A20,易知B02 ,此時 OA2OB2,22OAOB22AB2222 ,原點到直線AB 的距離 d2,、AB22此時直線 AB 與圓 x2y22 相切;當(dāng) k0 時,直線 OB 的方程為 y1x ,k設(shè)A x1y1B x2y2,則OA 1 k2 x1, OB122 1 k2,k y27ykx22k22k得點 A 的坐標(biāo)12k212k212k212k2聯(lián)立2 y2或;x24于是 OA 1 k2 xA2 1 k

16、2, OB 2 1 k2 ,12k24 1222 1k2kk2,AB24 1212k12kOA OB21k 221k 2所以 d12k 2k 22, 直線 AB 與圓 x2y22 相切;AB22 112k2綜上知,直線 AB 一定與圓 x2y22相切練習(xí) 1:已知橢圓 C :x2y21(ab0) 過點 (0,1) ,且長軸長是焦距的2倍. 過橢a22b圓左焦點 F 的直線交橢圓 C 于 A,B 兩點, O 為坐標(biāo)原點 .()求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程;()若直線 AB 垂直于 x 軸,判斷點 O 與以線段 AB 為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由;()若點 O 在以線段 AB 為直徑的圓內(nèi),求直線A

17、B 的斜率 k 的取值范圍 .( 4)圓錐曲線定值與證明問題例 4.1已知橢圓 C 的中心在原點 O ,焦點在 x 軸上,離心率為3 ,且橢圓 C 上的點到2兩個焦點的距離之和為4 ()求橢圓 C 的方程;()設(shè) A 為橢圓 C 的左頂點,過點A 的直線 l 與橢圓交于點M ,與 y 軸交于點 N ,過原點與 l 平行的直線與橢圓交于點P證明: | AM | | AN | 2|OP|2解:()設(shè)橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y 21(ab0) ,a2b2a2b2c2 ,由題意知c3 ,解得 a2 , b1a22a4,8所以橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2y21 5 分4()設(shè)直線AM 的方程為: yk

18、 (x2),則 N (0,2 k) y,k( x 2)16k 2 x16k240(*)由x24 y2得 (1+4k 2 ) x24,設(shè) A(2,0), M ( x1 , y1) ,則2, x1 是方程( * )的兩個根,所以 x128k 2 14k 2所以 M(28k 2,4k2 ) 14k24k1|AM|28k228k 2)2(4k2 )21616k 241 k 2(14k24k(14k2)214k21| AN | 4 4k 22 1 k 2 41k 221k28(1k 2 )|AM |AN |14k214k 2設(shè)直線 OP 的方程為: ykx y,由kx得 (1 4k2 ) x24 0 x

19、24 y24,設(shè) P( x0 , y0 ) ,則 x024, y0 214k 22 14k 24k所以 |OP|244k 2,2| OP |288k 214k 214k2所以 |AM | |AN | 2|OP|2例 4.2:X 2y21()的離心率為3已知橢圓 C:,A( a,0),B(0,b),O( 0,a>b>0a2b220), OAB的面積為 1.(I )求橢圓 C 的方程;(I I) 設(shè) P的橢圓 C上一點,直線PA 與 Y 軸交于點 M,直線 PB 與 x 軸交于點 N。求證: AN BM 為定值。9練習(xí) 1:已知橢圓 C : x2y21(a b 0) 的離心率為6, 橢

20、圓短軸的一個端點與兩個a2b23焦點構(gòu)成的三角形的面積為523.()求橢圓 C 的方程 ;( ) 已知動直線y k( x 1) 與橢圓 C 相交于 A 、 B 兩點 . 若線段 AB 中點的橫坐標(biāo)為1, 求斜率k 的值 ; 若點 M (7,0) ,求證: MA MB 為定值 .23練習(xí) 2:已知拋物線 C : y 2 2 px ( p 0),其焦點為 F, O為坐標(biāo)原點,直線AB (不垂直于x軸)過點 F 且拋物線 C交于A , B兩點,直線 OA 與OB 的斜率之積為p (1)求拋物線 C 的方程;(2)若 M為線段 AB的中點,射線 OM交拋物線 C 于點D ,求證:| OD | 2|OM

21、 |101練習(xí) 3: 動點 P( x, y) 到定點 F (1,0) 的距離與它到定直線l : x4 的距離之比為.( ) 求動點 P 的軌跡 C 的方程;()已知定點A( 2,0) , B(2,0) ,動點 Q (4, t ) 在直線 l 上,作直線AQ 與軌跡 C 的另一個交點為M ,作直線 BQ 與軌跡 C 的另一個交點為N ,證明: M , N , F 三點共線 .( 5)圓錐曲線最值問題例 5: 已知橢圓 C : x2y2的離心率為3 ,橢圓 C 與 y軸交于 A,B 兩點,a2b21(a b 0)2|AB|2.()求橢圓C 的方程;()設(shè)點 P 是橢圓 C 上的一個動點, 且點 P

22、 在 y 軸的右側(cè) . 直線 PA, PB 與直線 x4 分別相交于 M , N兩點 . 若以 MN 為直徑的圓與x 軸交于兩點E, F ,求點 P 橫坐標(biāo)的取值范圍及 | EF |的最大值 .解:()由題意可得,b1,c3e,a2a2 13得,a24解 a24 ,橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y21.4()設(shè) P( x0 , y0 )(0x02), A(0,1) , B(0,1) ,所以 kPAy0 1y0 1x 1 ,直線 PA 的方程為 yx0x0同理:直線 PB 的方程為 yy0 1x 1 ,x0直線 PA 與直線 x 4的交點為 M (4, 4( y0 1)1) ,x01 分2 分3 分

23、4 分5 分6 分7 分11直線 PB 與直線 x4的交點為 N (4, 4( y01) 1),x0線段 MN 的中點 (4,4 y0 ) ,8 分x0所以圓的方程為 ( x4) 2( y4 y0 ) 2(14 )2,9 分x0x0令 y 0,則 ( x 4) 216 y02(1x0 )2 ,10 分x024因為 x02y021,所以y0211,11 分4x024所以 (x4)2850 ,x0因為這個圓與 x 軸相交 , 該方程有兩個不同的實數(shù)解,所以 580 ,解得 x0 (8 ,2.12 分x05設(shè)交點坐標(biāo) ( x1 ,0),( x2 ,0) ,則 | x1x2 | 2 58( 8x0 2

24、 )x05所以該圓被 x 軸截得的弦長為最大值為2.14 分練習(xí) 1:已知橢圓 C: x2y21 a ba2b2點F 的直線 l 與橢圓 C交于 A,B兩點,線段圓于 M ,N 兩點。(1)求橢圓 C 的方程;(2)求四邊形 AMBN 面積的最大值。的一個焦點為F(2,0),離心率為6 。過焦3AB中點為 D,O為坐標(biāo)原點,過 O,D的直線交橢練習(xí) 2: 已知橢圓 C : mx23my21(m0) 的長軸長為26 , O 為坐標(biāo)原點 .()求橢圓C 的方程和離心率;()設(shè)點A(3,0) ,動點 B 在 y 軸上,動點P 在橢圓 C 上,且 P 在 y 軸的右側(cè),若| BA | | BP | ,求四邊形OPAB 面積的最小值 .12( 6)圓錐曲線存在性問題例 6.已知橢圓 C : x 2y21 a b 0 的離心率為2 ,點 P 0,1 和點 A m, n m 0a 2b22都在橢圓 C 上,直線 PA 交 x 軸于點 M ()求橢圓 C 的方程,并求點M 的坐標(biāo)(用 m n

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