奧數(shù)之表面積與體積

1、奧數(shù)之表面積與體積（一）專(zhuān)題簡(jiǎn)析：小學(xué)階段所學(xué)的立體圖形主要有四種長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體和圓錐體。從平面圖 形到立體圖形是認(rèn)識(shí)上的一個(gè)飛躍，需要有更高水平的空間想象能力。因此，要牢固掌 握這些幾何圖形的特征和有關(guān)的計(jì)算方法，能將公式作適當(dāng)?shù)淖冃?，養(yǎng)成“數(shù)、形”結(jié) 合的好習(xí)慣，解題時(shí)要認(rèn)真細(xì)致觀察，合理大膽想象，正確靈活地計(jì)算。在解答立體圖形的表面積問(wèn)題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：（1 ）充分利用正方體六個(gè)面 的面積都相等，每個(gè)面都是正方形的特點(diǎn)。（2）把一個(gè)立體圖形切成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。反之， 把兩個(gè)立體圖形粘合到一起，減少的表面積等于粘合面積的兩倍。（3）若把幾個(gè)長(zhǎng)方體拼成一

2、個(gè)表面積最大的長(zhǎng)方體，應(yīng)把它們最小的面拼合起來(lái)。 若把幾個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)表面積最小的長(zhǎng)方體，應(yīng)把它們最大的面拼合起來(lái)。例題1:從一個(gè)棱長(zhǎng)10厘米的正方體木塊上挖去一個(gè)長(zhǎng) 10厘米、寬2厘米、高2厘米的小 長(zhǎng)方體，剩下部分的表面積是多少？這是一道開(kāi)放題，方法有多種： 按圖27-1所示，沿著一條棱挖，剩下部分的表面積為 592平方厘米。圖 27-1 按圖27-2所示，在某個(gè)面挖，剩下部分的表面積為632平方厘米。圖 27-2 按圖27-3所示，挖通某兩個(gè)對(duì)面，剩下部分的表面積為672平方厘米。圖 27-3練習(xí)1：1、 從一個(gè)長(zhǎng)10厘米、寬6厘米、高5厘米的長(zhǎng)方體木塊上挖去一個(gè)棱長(zhǎng) 2厘米的 小正方

3、體，剩下部分的表面積是多少？2、把一個(gè)長(zhǎng)為12分米，寬為6分米，高為9分米的長(zhǎng)方體木塊鋸成兩個(gè)想同的小 廠房體木塊，這兩個(gè)小長(zhǎng)方體的表面積之和，比原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積增加了多少平方分 米？3、在一個(gè)棱長(zhǎng)是4厘米的立方體上挖一個(gè)棱長(zhǎng)是 1厘米的小正方體后，表面積會(huì) 發(fā)生怎樣的變化？例題2：把19個(gè)棱長(zhǎng)為3厘米的正方體重疊起來(lái)，如圖27-4所示，拼成一個(gè)立體圖形，求 這個(gè)立體圖形的表面積要求這個(gè)復(fù)雜形體的表面積，必須從整體入手，從上、左、前三個(gè)方向觀察，每個(gè)方向上的小正方體各面就組合成了如下圖形（如圖27-5所示）而從另外三個(gè)方向上看到的面積與以上三個(gè)方向的面積是相等的。整個(gè)立體圖形的表面積可米用（

4、S上+S左+S前）X 2來(lái)計(jì)算。（3X 3X 9+3X 3X 8+3X 3X 10）X 2=(81+72+90)X 2=243 X 2=486 (平方厘米)答：這個(gè)立體圖形的表面積是 486平方厘米。練習(xí)2:1用棱長(zhǎng)是1厘米的立方體拼成圖27-6所示的立體圖形。求這個(gè)立體圖形的表面 積。2、一堆積木（如圖27-7所示），是由16塊棱長(zhǎng)是2厘米的小正方體堆成的。它們 的表面積是多少平方厘米？3、一個(gè)正方體的表面積是384平方厘米，把這個(gè)正方體平均分割成 64個(gè)相等的小 正方體。每個(gè)小正方體的表面積是多少平方厘米？例題3：把兩個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是9厘米、7厘米、4厘米的相同長(zhǎng)方體，拼成一個(gè) 大長(zhǎng)方

5、體，這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積最少是多少平方厘米？把兩個(gè)相同的大長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大廠房體，需要把兩個(gè)相同面拼合，所得大廠房體 的表面積就減少了兩個(gè)拼合面的面積。要使大長(zhǎng)方體的表面積最小，就必須使兩個(gè)拼合面的面積最大，即減少兩個(gè)9X 7的面(9X 9+9X 4+7X 4)X 2X 29X 7X 2=(63+36+28)X 4126=508126=382 （平方厘米）答：這個(gè)大廠房體的表面積最少是 382平方厘米。練習(xí)3：1、把底面積為20平方厘米的兩個(gè)相等的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的表面積 是多少？2、將一個(gè)表面積為30平方厘米的正方體等分成兩個(gè)長(zhǎng)方體，再將這兩個(gè)長(zhǎng)方體拼 成一個(gè)大長(zhǎng)方體。求大長(zhǎng)方體

6、的表面積是多少。3、用6塊（如圖27-8所示）長(zhǎng)方體木塊拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，有許多種做法，其中 表面積最小的是多少平方厘米？2厘米例題4：一個(gè)長(zhǎng)方體，如果長(zhǎng)增加 2厘米，則體積增加40立方厘米；如果寬增加3厘米， 則體積增加90立方厘米；如果高增加4厘米，則體積增加96立方里，求原長(zhǎng)方體的表 面積。我們知道：體積=長(zhǎng)乂寬X高；由長(zhǎng)增加2厘米，體積增加40立方厘米，可知寬X 高=40-2=20 （平方厘米）；由寬增加3厘米，體積增加90立方厘米，可知長(zhǎng)X高=90 -3=30 （平方厘米）；由高增加4厘米，體積增加96立方厘米，可知長(zhǎng)X寬=96-4=24（平方厘米）。而長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)X寬+長(zhǎng)X

7、高+寬X高）X2= （20+30+24） X2=148 （平方厘米）。即40 - 2=20 (平方厘米)90 - 3=30 （平方厘米）96 - 4=24 （平方厘米）（30+20+24 X 2=74 X 2=148 （平方厘米）答：原 長(zhǎng)方體的表面積是148平方厘米。練習(xí)4:1、一個(gè)長(zhǎng)方體，如果長(zhǎng)減少2厘米，則體積減少48立方厘米；如果寬增加5厘米, 則體積增加65立方厘米；如果高增加4厘米，則體積增加96立方厘米。原來(lái)廠房體的 表面積是多少平方厘米？2、一個(gè)廠房體木塊，從下部和上部分別截去高為3厘米和2厘米的長(zhǎng)方體后，便成 為一個(gè)正方體，其表面積減少了 120平方厘米。原來(lái)廠房體的體積是多

8、少立方厘米？3、有一個(gè)廠房體如下圖所示，它的正面和上面的面積之和是209。如果它的長(zhǎng)、寬、 高都是質(zhì)數(shù)，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？例題5：如圖27-10所示，將高都是1米，底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的三個(gè)圓柱 組成一個(gè)物體。求這個(gè)物體的表面積。如果分別求出三個(gè)圓柱的表面積，再減去重疊部分的面積，這樣計(jì)算比較麻煩。實(shí) 際上三個(gè)向上的面的面積和恰好是大圓柱的一個(gè)底面積。這樣，這個(gè)物體的表面積就等 于一個(gè)大圓柱的表面積加上中、小圓柱的側(cè)面積。3.14 X 1.5 X 1.5 X 2+2X 3.14 X 1.5 X 1+2X 3.14 X 1 X 1+2X 3.14 X 0.5 X 1=3.

9、14 X（ 4.5+3+2+1）=3.14 X 10.5=32.97 （平方米）答：這個(gè)物體的表面積是32.97平方米。練習(xí)5:1、一個(gè)棱長(zhǎng)為40厘米的正方體零件（如圖27-11所示）的上、下兩個(gè)面上，各有 一個(gè)直徑為4厘米的圓孔，孔深為10厘米。求這個(gè)零件的表面積。2、 用鐵皮做一個(gè)如圖27-12所示的工件（單位：厘米），需用鐵皮多少平方厘米？3、如圖27-13所示，在一個(gè)立方體的兩對(duì)側(cè)面的中心各打通一個(gè)長(zhǎng)方體的洞，在上、下側(cè)面的中心打通一個(gè)圓柱形的洞。已知立方體棱長(zhǎng)為10厘米，側(cè)面上的洞口是邊長(zhǎng)為4厘米的正方形，上、下側(cè)面的洞口是直徑為4厘米的圓，求該立方體的表面積和體積（口取3.14 ）

10、。答案:練11、 切下一塊后，切口處的表面減少了前、后、上面 3個(gè)1X 1的正方形，新增加了左右 下面三個(gè)1 X1的正方形，所以表面積大小不變。2、4X 4X 6-2X 2X 2 = 92 平方厘米3、 中心挖去的洞的體積是：12X 3X 3- 13X 2= 7立方厘米，挖洞后木塊的體積：33- 7 =20立方厘米，中心挖洞后每面增加的面積是 12X 4- 12 = 3平方厘米，挖洞后木塊 的表面積：（32+3）X 6= 72平方厘米。練21、從三個(gè)不同的方向看，得到圖答 27- 1：從上往下看從前往后看從左往右看(1 X 1 X 12+1 X 1 X 8+1X 1 X 7)X 2 = 54

11、平方厘米2、(2X 2X 9+2X 2X 9+2X 2X 7)X 2 = 200 平方厘米3、 因?yàn)?4= 4X4X4,所以大正方形的棱長(zhǎng)等于小正方形棱長(zhǎng)的4被，那么大正方體的表面積是小正方體的4X 4= 16倍，小正方體的表面積是：384- 16= 24平方厘米 練31、 將正方體分為兩個(gè)長(zhǎng)方體，表面積就增加了2個(gè)30十6= 15平方厘米，拼成大正方體，表面積將減少兩個(gè)拼合面的面積，正好是1個(gè)30十6= 15平方厘米，所以大長(zhǎng)方體的表面積是30+30+6= 35平方厘米。2、要是表面積最小，就要盡可能地把大的面拼合在一起。表面積最小的拼法有如圖答27- 2兩種：表面積都是(3X 3+3X 4

12、X 2)X 2 = 66平方厘米。3、設(shè)大長(zhǎng)方體的寬和高為x分米，長(zhǎng)為2x分米，左面和右面的面積就是 x2平方分米。 其余的面積為2x2平方分米，根據(jù)題意，大長(zhǎng)方體的表面積是：8x2+8 X 2x2 = 600 x =5大長(zhǎng)方體的體積是：5X 5X 2X 5 = 250立方分米練41、(48- 2+65- 5+96- 4)X 2= 122 平方厘米2、減少的表面積實(shí)質(zhì)是高度分別為 2厘米和3厘米的前、后、左、右四個(gè)面的面積之 和。把兩個(gè)合并起來(lái)，用120-( 2+3)= 24厘米，求到正方體底面的周長(zhǎng)，正方 體的棱長(zhǎng)就是24- 4= 6厘米。圓長(zhǎng)方體的體積是：6X 6X(6+3+2)= 396立方厘 米3、 長(zhǎng)方體正面及上面的面積之和恰好等于這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)X(寬+高)，209= 11X 19,所以長(zhǎng)=11，寬+高=19，或長(zhǎng)=19，寬+高=11，根據(jù)題意，寬和高只能是17和 2,長(zhǎng)方體的體積就是11X 17X 2 = 374練51、402X 6+3.14X 4X 10X 2 = 9651.2 平方厘米2、用兩個(gè)同樣的工件可拼成圖答27- 3的圓柱體。3.14X 15X( 46+54)十 2 = 2355 平方厘米3、 立方體的表面積和是：6