對一道課本習(xí)題的延伸與探究（徐久鈺）

1、對一道課本習(xí)題的延伸與探究MANBP圖（2）MANBP圖（1）八年級數(shù)學(xué)（下）北師大版216頁B組第2題 ：我們在本章復(fù)習(xí)題A組第7題中已經(jīng)證明，當(dāng)直線MANB，并且點P在MA和NB之間時，有APB=MAP+NBP（如圖（1）.當(dāng)點P在MA和NB之外時（如圖（2）會有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么猜想？易證當(dāng)點P在MA和NB之外時，有MAP=NBP+APB（證明略）.師：你還能就本題作出什么猜想？（同學(xué)們這時議論紛紛，情緒一下便調(diào)動起來了）MANBP圖（4）生：當(dāng)點P在MA和NB之間（如圖（3）時，有MAP+PBN+APB=360°.圖（3）MANBP生：當(dāng)點P在MA和NB之外時（如

2、圖（4），有NBP=MAP+APB.師：很好.圖（2）與圖（4）中的結(jié)論雖然形式上不一樣，但它們有本質(zhì)的不同嗎？生：沒有，可看作是同一種類型.師：如果在MA和NB之間有兩個點P1、P2呢？又會有什么樣的結(jié)論呢？（組織學(xué)生討論，同學(xué)們這時積極性更高.）師：這時，P1、P2兩點有哪幾種位置關(guān)系？生：有兩種,如圖（5）和圖（6）所示：MANBP1圖（5）P2圖（6）MANBP1P2生：在圖（5）中，有AP1P2+P1P2BMAP1NBP2=180°（證明略，虛線表示輔助線，以下同）在圖（6）中，有MAP1+AP1P2+P1P2B+NBP2=540°師：還有沒有其他情況？生：P1、

3、P2兩點的位置還可能是如圖（7）或圖（8）所示，BP2MANP1圖（8）P2MANBP1圖（7）在圖（7）中，有NBP2+P1P2B+MAP1AP1P2=180°在圖（8）中，有MAP1+AP1P2+NBP2P1P2B=180°MANBP1圖（9）P2師：非常好！P1、P2兩點的位置除了在MA和NB之間外，還有沒有其他情況呢？生：P1、P2兩點的位置還可能是如圖（9）所示,這時有MAP1+AP1P2+P1P2BNBP2=180°.一堂課到這里時間也差不多了，所得結(jié)果甚至超出了我的預(yù)期想象，同學(xué)們積極參與，通過動腦、動手、自主探究、互相合作，獲得了知識，這正是新課標

4、的目的與要求.雖然快下課了，可同學(xué)們似乎還意猶未盡，為了進一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人情，我又提出如果增加到3個點、4個點n個點，情況又會是怎樣的呢？有興趣的同學(xué)不妨試試看. 幾天后，幾個對數(shù)學(xué)非常感興趣的“尖子生”說他們已經(jīng)探索出了規(guī)律.現(xiàn)把他們的思想整理后在這里與大家交流. 隨著點的增多，并考慮到規(guī)律性，主要分為三種類型：第一種：如圖（1）和圖（5）所示的這一類型.當(dāng)MA和NB之間有3個點（1、2個點的情況上面已討論）P1、P2 、P3時，如圖（10），這時有：AP1P2+P1P2P3+P2P3BMAP1NBP3=360°=（31）180°MANBP1圖（10）P2P3MA

5、NBP1圖（11）P2P3P4當(dāng)MA和NB之間有4個點P1、P2 、P3、P4時，如圖（11）這時有：AP1P2+P1P2P3+P2P3P4+P3P4BMAP1NBP4=540°=（41）180°依此類推，當(dāng)MA和NB之間有n個點P1、P2 、P3、P4Pn（順次連接點A、P1、P2 、P3、P4Pn、B、A所組成的多邊形為凸n邊形）時,有AP1P2+P1P2P3+P2P3P4+ +Pn1PnBMAP1NBPn=（n1）180°()，顯然當(dāng)n=1、2時()式都成立.第二種：如圖（3）和圖（6）所示的這一類型. 當(dāng)MA和NB之間有3個點（1、2個點的情況上面已討論）

6、P1、P2 、P3時，如圖（12），有MAP1+AP1P2+P1P2P3+P2P3B+NBP3=720°=（3+1）180°圖（13）MANBP1P3P2P4P2圖（12）MANBP1P3當(dāng)MA和NB之間有4個點P1、P2 、P3、P4時，如圖（13），有MAP1+AP1P2+P1P2P3+P2P3P4+P3P4B+NBP4=900°=（4+1）180°依此類推，當(dāng)MA和NB之間有n個點P1、P2 、P3、P4Pn（順次連接點A、P1、P2 、P3、P4Pn、B、A所組成的多邊形為凸n邊形）時,有MAP1+AP1P2+P1P2P3+P2P3P4+Pn1P

7、nB+NBPn=（n+1）180°()顯然當(dāng)n=1、2時()式都成立. 第三種：如圖（4）和圖（9）所示的這一類型.當(dāng)MA和NB之外有3個點P1、P2 、P3時，如圖（14），有MANBP1圖（14）P2P3MANBP1圖（15）P2P3P4MAP1+AP1P2+P1P2P3+P2P3BNBP3=360°=（31）180°當(dāng)MA和NB之間有4個點P1、P2 、P3、P4時，如圖（15）有：MAP1+AP1P2+P1P2P3+P2P3P4+P3P4BNBP4=540°=（41）180°依此類推，當(dāng)MA和NB之間有n個點P1、P2 、P3、P4Pn（順次連接點A、P1、P2 、P3、P4Pn、B、A所組成的多邊形為凸n邊形）時,有MAP1 +AP1P2+P1P2P3+P2P3P4+ +Pn1PnBNBPn=（n1）180°()，顯然當(dāng)n=1、2時()式都成立. 除了以上三種類型外，還有其他類型，但由于點的增多，情況比較復(fù)雜，在這里就不繼續(xù)展開討論了.以上是筆者在教學(xué)中的一些收獲.由此看來，只