高等代數(shù)第5章習(xí)題解

1、第五章習(xí)題解答習(xí)題5.11、用消元法解下列線性方程組:(1)(2)(3) (4) 解：（1）原方程組無解。（2）所以 （3）即 所以原方程組的通解為：（4）所以有即方程組的通解為2、當(dāng)a、b取何值時,下列線性方程組有解,并求其解。(1) (2) 解（1）所以當(dāng)時方程組有無窮多解。此時方程組的通解為（2）對增廣矩陣施行行變換：所以當(dāng)時，方程組有解。此時通解為3、當(dāng)取何值時，下列線性方程組有解、有無窮多解、無解？（1） （2）解：（1）所以當(dāng)時，方程組無解；當(dāng)時方程組有無窮多解；當(dāng)且時，方程組有唯一解。（2），當(dāng)時，方程組無解；當(dāng)時，上面的矩陣?yán)^續(xù)變換成：，此時時方程組無解；當(dāng)時，方程組有唯一解。

2、綜上所述，當(dāng)或時方程組無解；當(dāng)且時方程組有唯一解。4、當(dāng)取何值時，下列齊次線性方程組有非零解？（1） （2）解：（1）所以當(dāng)或時，方程組有非零解。（2）所以當(dāng)或時，方程組有非零解。習(xí)題5.21、求下列齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，并寫出全部解（1） （2）解：（1）分別取和，得基礎(chǔ)解系為全部解為（2）分別取和，得基礎(chǔ)解系為全部解為2、判斷下列線性方程組是否有解：如有解，求出它的全部解（1） （2）解：（1）所以方程組的全部解為 （2）原方程組可以寫成所以方程組的全部解為 3、試證明：如果是方程組的解，那么也是該方程組的解，其中滿足證明：記則方程組用矩陣形式表示為，依題意有那么 所以，也是該方程

3、組的解4、如果是某個齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，試問：是否也是該方程組的一個基礎(chǔ)解系？解：答案是肯定的，事實上是某個齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，則線性無關(guān)，此時也線性無關(guān)，并且設(shè)是的任意解，而即的任意解都可以由線性表示，所以也是該方程組的一個基礎(chǔ)解系。5、證明齊次線性方程組的任意個線性無關(guān)的解都是它的一個基礎(chǔ)解系，這里r是系數(shù)矩陣A的秩。證明：設(shè)是所給方程組的一個基礎(chǔ)解系，是它的任意個線性無關(guān)的解，則可以由線性表出，由§4.3的習(xí)題5知這兩個向量組等價，從而也是方程組的基礎(chǔ)解系。6、證明線性方程組有唯一解的充分必要條件是它的導(dǎo)出組只有零解。注：這是一個錯題，充分性不成立。證明：由于所給方程組只有唯一解，所以它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩都必然為n，此時應(yīng)有。那么對應(yīng)的齊次方程組中，必然有個方程是由其余方程通過初等變換得到的，去掉這個方程后，剩余的n元n個齊次方程構(gòu)成的方程組的系數(shù)行列式不