高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)(云大土木系)04-無限自由度體系r

1、第四章第四章 無限自由度系統(tǒng)無限自由度系統(tǒng)4-1 桿的橫向振動桿的橫向振動4-2 弦線的橫向振動弦線的橫向振動4-3 圓軸的橫向振動圓軸的橫向振動4-4 梁的振動微分方程梁的振動微分方程 實(shí)際的工程結(jié)構(gòu)實(shí)質(zhì)都是由實(shí)際的工程結(jié)構(gòu)實(shí)質(zhì)都是由連續(xù)分布的質(zhì)量和連續(xù)分布連續(xù)分布的質(zhì)量和連續(xù)分布的剛度的剛度所組成，即所組成，即連續(xù)體連續(xù)體，在一定條件下簡化成離散的多自，在一定條件下簡化成離散的多自由度系統(tǒng)，是必要的合理的。由度系統(tǒng)，是必要的合理的。 但在某些條件下用連續(xù)體模型描述更合理。例如細(xì)長飛但在某些條件下用連續(xù)體模型描述更合理。例如細(xì)長飛行器（導(dǎo)彈，火箭結(jié)構(gòu)），細(xì)長比大于行器（導(dǎo)彈，火箭結(jié)構(gòu)），細(xì)長

2、比大于4時可用連續(xù)的變截時可用連續(xù)的變截面梁模型描述，小于面梁模型描述，小于4時可用彈簧質(zhì)量塊模型描述。時可用彈簧質(zhì)量塊模型描述。u 由于確定連續(xù)體上無數(shù)質(zhì)點(diǎn)的位置需要無限多個坐標(biāo)，由于確定連續(xù)體上無數(shù)質(zhì)點(diǎn)的位置需要無限多個坐標(biāo)，因此因此連續(xù)體是具有無限多自由度的系統(tǒng)。連續(xù)體是具有無限多自由度的系統(tǒng)。u 連續(xù)體的振動要用時間和空間坐標(biāo)的函數(shù)來描述，其運(yùn)連續(xù)體的振動要用時間和空間坐標(biāo)的函數(shù)來描述，其運(yùn)動方程不再像有限多自由度系統(tǒng)那樣是動方程不再像有限多自由度系統(tǒng)那樣是二階常微分方程組二階常微分方程組，而是而是偏微分方程偏微分方程。 這些主振型之間也存在著關(guān)于質(zhì)量和剛度的正交性；這些主振型之間也存

3、在著關(guān)于質(zhì)量和剛度的正交性；注意注意：在物理本質(zhì)上，連續(xù)體系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)沒有什么差：在物理本質(zhì)上，連續(xù)體系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)沒有什么差別，別，連續(xù)體振動的基本概念與分析方法與有限多自由度系統(tǒng)是連續(xù)體振動的基本概念與分析方法與有限多自由度系統(tǒng)是完全類似的。完全類似的。例如：例如： 任何一個彈性體具有無限多個固有頻率及與之相應(yīng)的主振型；任何一個彈性體具有無限多個固有頻率及與之相應(yīng)的主振型； 彈性體的自由振動也可以表示為各主振動的線性疊加；彈性體的自由振動也可以表示為各主振動的線性疊加； 對于彈性體的動響應(yīng)分析振型疊加法仍然是適用的。對于彈性體的動響應(yīng)分析振型疊加法仍然是適用的。 本章討論本章討論

4、理想彈性體理想彈性體的振動，即滿足以下三個條件的連續(xù)的振動，即滿足以下三個條件的連續(xù)系統(tǒng)模型：系統(tǒng)模型： 均勻分布均勻分布 各向同性各向同性 服從虎克定律服從虎克定律4-1 桿的縱向振動桿的縱向振動該方程為一維波動方程，該方程為一維波動方程，a a為縱波在桿內(nèi)的傳播速度。為縱波在桿內(nèi)的傳播速度。 Ea顯然第顯然第n個振型有個振型有n-1個節(jié)點(diǎn)。個節(jié)點(diǎn)。 4-1 弦線的橫向振動弦線的橫向振動 設(shè)理想柔軟的細(xì)弦張緊于兩個固定點(diǎn)之間，張力為設(shè)理想柔軟的細(xì)弦張緊于兩個固定點(diǎn)之間，張力為 T ，跨，跨長為長為 l ，弦單位長度的質(zhì)量為，弦單位長度的質(zhì)量為 ，兩支點(diǎn)連線方向取為，兩支點(diǎn)連線方向取為 x 軸

5、軸，與，與 x 軸垂直的方向取為軸垂直的方向取為 y 軸，如圖，軸，如圖，波動方程波動方程弦振動示意圖弦振動示意圖4.1 弦的振動弦的振動 弦振動示意圖弦振動示意圖 設(shè)弦的振動發(fā)生在設(shè)弦的振動發(fā)生在xoy平面內(nèi)，弦的運(yùn)動可表示為平面內(nèi)，弦的運(yùn)動可表示為y = y(x,t) 。并假設(shè)弦的。并假設(shè)弦的振動幅度是微小的振動幅度是微小的，即，即 y 與與 均為小量；在均為小量；在這些假設(shè)下，弦的張力這些假設(shè)下，弦的張力 T 可近似地看作常量。再設(shè)重力與阻尼可近似地看作常量。再設(shè)重力與阻尼的影響均可略去不計。的影響均可略去不計。yx在自由振動中，弦的微元在自由振動中，弦的微元 dx 的受力圖如下的受力圖

6、如下, , 運(yùn)動微分方程運(yùn)動微分方程為為22sin()sinydxTdxTtxxytansin又因?yàn)椋河忠驗(yàn)椋?2yt整理得整理得 設(shè)設(shè)Tc 波動方程波動方程彈性波沿弦向的傳播速度彈性波沿弦向的傳播速度具有具有m/s的量綱的量綱22222yyctx2222yTytx即即 2222yydxTdxtx故有故有 描述弦振動的函數(shù)描述弦振動的函數(shù)y(x,t) 可以分解為空間函數(shù)與時間函數(shù)的乘積可以分解為空間函數(shù)與時間函數(shù)的乘積)()(),(tYxXtxy其代入波動方程可得其代入波動方程可得:22222d Yd XXc Ydtdx要使上式對任意的要使上式對任意的 x 與與 t 都成立，必然是二者都等于同

7、一個常數(shù)都成立，必然是二者都等于同一個常數(shù)。設(shè)這一常數(shù)為。設(shè)這一常數(shù)為 ，得如下兩個常微分方程，得如下兩個常微分方程頻率方程頻率方程22222211d Yd XcY dtXdx分離變量法求解波動方程分離變量法求解波動方程即即 其中：其中： X(x) 是是振型函數(shù)振型函數(shù)，它表示整個弦的振動形態(tài)；，它表示整個弦的振動形態(tài)； Y(t) 表征點(diǎn)的振動規(guī)律。表征點(diǎn)的振動規(guī)律。于是，上述方程可改寫為于是，上述方程可改寫為0222YdtYd2220d XXdxc可解得可解得 ( )sinY tAt( )sincosX xCxDxcc 其中：其中： Y(t) 表征點(diǎn)的振動規(guī)律，表征點(diǎn)的振動規(guī)律， 為固有頻率

8、，為固有頻率， 相位角相位角 X(x) 是是振型函數(shù)振型函數(shù)，它表示整個弦的振動形態(tài)，它表示整個弦的振動形態(tài)弦振動（波動方程）的通解為弦振動（波動方程）的通解為( , )( ) ( )sincossinsincossiny x tX x Y tCxDxAtccCxDxtcc 其中：其中： C 、D 、 、 由邊界條件和運(yùn)動的初始條件確定。由邊界條件和運(yùn)動的初始條件確定。0),(), 0(tlytyl兩端固定：邊界條件邊界條件由邊界條件得由邊界條件得得得sin00DtD，即sinsin0Cltc由此可確定一系列由此可確定一系列固有頻率固有頻率nlc, 2, 1n0),(), 0(tlytysin

9、0lc只能是只能是 弦振動的弦振動的頻率方程頻率方程即即nn cnTll, 2, 1n可見，張緊弦的自由振動，除了基頻（最低頻率）振動外，還包可見，張緊弦的自由振動，除了基頻（最低頻率）振動外，還包含頻率為基頻整數(shù)倍的振動。這種含頻率為基頻整數(shù)倍的振動。這種倍頻振動倍頻振動亦稱為亦稱為諧波振動諧波振動。 弦對應(yīng)于各階固有頻率的弦對應(yīng)于各階固有頻率的主振動主振動為為( , )( )( )sinsinnnnnnnnyx tXx Y tCxtl而弦的而弦的自由振動自由振動可以表示為這些主振動的疊加：可以表示為這些主振動的疊加： 11( , )( , )sinsinnnnnnnny x tyx tCx

10、tl與此相應(yīng)，可確定一系列與此相應(yīng)，可確定一系列主振型主振型，即，即( )sinsinnnnnnXxCxCxcl1, 2,n 其中各個其中各個Cn 與與 由運(yùn)動的初始條件確定。由運(yùn)動的初始條件確定。n4-3 圓軸的扭轉(zhuǎn)振動圓軸的扭轉(zhuǎn)振動2221122PpImrr dx rJ dx441J322Pdr( , )(sincos)sin()x tAxBxtaa它的解為 由系統(tǒng)的邊界條件和初始條件確定。一般解為：1( , )(sincos)sin()nnnnnnnx tAxBxtaa一維波動方程一維波動方程式中四個待定常數(shù),A B及綜上所述，弦的橫振、桿的縱振與軸的扭振都導(dǎo)致同一形式的波動綜上所述，弦

11、的橫振、桿的縱振與軸的扭振都導(dǎo)致同一形式的波動方程。它們的運(yùn)動具有共同的規(guī)律，如表方程。它們的運(yùn)動具有共同的規(guī)律，如表4-14-1。 弦的橫振弦的橫振桿的縱振桿的縱振軸的扭振軸的扭振物物理理參參數(shù)數(shù) 弦的張力弦的張力 弦的線質(zhì)量弦的線質(zhì)量彈性模量彈性模量 截面積截面積 密度密度剪切彈性模量剪切彈性模量截面極慣性矩截面極慣性矩 密度密度 截面的截面的位移位移橫向位移橫向位移縱向位移縱向位移轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 角角單位長度單位長度的質(zhì)量或的質(zhì)量或轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 截面處力截面處力（或扭矩）（或扭矩） ApJTEGpJxyxxyTxyEAxyGJpAc/T/E/G22222xycty)()(tYxXyyiiicxDcxCxXiAtYiiiiiiiicossin)(,sin)(0)()0(lXX0)( )0( lXX0)( )0(lXXlcii/3,2,1ilc