二項式定理教案(絕對經典)(共11頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第3講二項式定理基礎梳理1二項式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)這個公式所表示的定理叫二項式定理，右邊的多項式叫(ab)n的二項展開式其中的C(r0,1，n)叫二項式系數式中的Canrbr叫二項展開式的通項，用Tr1表示，即通項Tr1Canrbr.2二項展開式形式上的特點(1)項數為n1.(2)各項的次數都等于二項式的冪指數n，即a與b的指數的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數由零逐項增1直到n.(4)二項式的系數從C，C，一直到C，C.3二項式系數的性質(1)對稱性：與首

2、末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等即CC.(2)增減性與最大值：二項式系數C，當k時，二項式系數逐漸增大由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的；當n是偶數時，中間一項Cn取得最大值；當n是奇數時，中間兩項Cn，Cn取得最大值(3)各二項式系數和：CCCCC2n； CCCCCC2n1.雙基自測1(12x)5的展開式中，x2的系數等于() A80 B40 C20 D10 2若(1)5ab(a，b為有理數)，則ab() A45 B55 C70 D803.若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，則a0a2a4的值為() A9 B8 C7 D64(13x)n(其中nN且n6)的展開式中x5與x6的

3、系數相等，則n() A6 B7 C8 D95設(x1)21a0a1xa2x2a21x21，則a10a11_.考向一二項展開式中的特定項或特定項的系數【例1】的展開式中常數項是 ；含x2的項的系數是 【訓練1】 1、 已知在n的展開式中，第6項為常數項(1)求n；(2)求含x2的項的系數；(3)求展開式中所有的有理項2、若6展開式的常數項為60，則常數a的值為_考向二二項式的和與積【例2】 1、在的展開式中，含項的系數是 2、(12x)3(1x)4展開式中x項的系數為_【訓練2】1、的展開式中的系數是_. 2、的展開式中，的系數為_.考向二二項式定理中的賦值【例3】二項式(2x3y)9的展開式中

4、，求： (1)二項式系數之和； (2)各項系數之和； (3)所有奇數項系數之和【訓練3】 已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.【例4】 若多項式x3x10a0a1(x1)a9(x1)9a10(x1)10，則a9() A9 B10 C9 D10【訓練4】1、 2、= 【例5】除以9的余數為 ?！居柧?】設n為奇數，則除以9的余數為 。A組專項訓練一、選擇題1、的展開式中常數項是第 （ ）A5項 B6項 C7項 D8項2、使得的展開式中含有常數項的最小的是（ ） A.4 B.5 C.6

5、 D.73、（+）5展開式的常數項為80，則a的值為（）A1B2C D44、的展開式中的系數是（ ） A. B. C.5 D.205、在(1x3)(1x)10的展開式中，x5的系數是()A297 B207 C297 D2526、若（x+）n展開式的二項式系數之和為64，則n為（）A 4B5C6D77、已知的展開式的各項系數之和為32，則展開式中的系數為（ ） A. B. C. D. 8、在二項式的展開式中恰好第5項的二項式系數最大，則展開式中含項的系數是（ ）A56B35C 35D56二、填空題1、設二項式的展開式中常數項為A，則A_2、已知的展開式中的系數為5，則_.3、在的展開式中，項的系

6、數是_. 4、若則a3= . 5、的展開式中的系數為 .6、展開式中系數最大的項的系數為 7、的展開式中的系數是_.第3講二項式定理基礎梳理1二項式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)這個公式所表示的定理叫二項式定理，右邊的多項式叫(ab)n的二項展開式其中的C(r0,1，n)叫二項式系數式中的Canrbr叫二項展開式的通項，用Tr1表示，即通項Tr1Canrbr.2二項展開式形式上的特點(1)項數為n1.(2)各項的次數都等于二項式的冪指數n，即a與b的指數的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數由零逐項

7、增1直到n.(4)二項式的系數從C，C，一直到C，C.3二項式系數的性質(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等即CC.(2)增減性與最大值：二項式系數C，當k時，二項式系數逐漸增大由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的；當n是偶數時，中間一項Cn取得最大值；當n是奇數時，中間兩項Cn，Cn取得最大值(3)各二項式系數和：CCCCC2n；CCCCCC2n1.一個防范運用二項式定理一定要牢記通項Tr1Canrbr，注意(ab)n與(ba)n雖然相同，但具體到它們展開式的某一項時是不同的，一定要注意順序問題，另外二項展開式的二項式系數與該項的(字母)系數是兩個不同的概念，前者只指C，而后

8、者是字母外的部分前者只與n和r有關，恒為正，后者還與a，b有關，可正可負一個定理二項式定理可利用數學歸納法證明，也可根據次數，項數和系數利用排列組合的知識推導二項式定理因此二項式定理是排列組合知識的發(fā)展和延續(xù)兩種應用(1)通項的應用：利用二項展開式的通項可求指定的項或指定項的系數等(2)展開式的應用：利用展開式可證明與二項式系數有關的等式；可證明不等式；可證明整除問題；可做近似計算等三條性質(1)對稱性；(2)增減性；(3)各項二項式系數的和；以上性質可通過觀察楊輝三角進行歸納總結雙基自測1(12x)5的展開式中，x2的系數等于() A80 B40 C20 D10答案B 解析Tr1C(2x)r

9、2rCxr， 當r2時，T340x2. 2若(1)5ab(a，b為有理數)，則ab() A45 B55 C70 D80答案C 解析(1)51510()210()35()4()54129由已知條件a41，b29，則ab70.3.若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，則a0a2a4的值為() A9 B8 C7 D6答案B 解析令x1，則a0a1a2a3a40令x1，則a0a1a2a3a416 a0a2a48.4(13x)n(其中nN且n6)的展開式中x5與x6的系數相等，則n() A6 B7 C8 D9答案B 解析Tr1C(3x)r3rCxr 由已知條件35C36C即C3C3 整理得n7

10、5設(x1)21a0a1xa2x2a21x21，則a10a11_.答案0 解析Tr1Cx21r(1)r(1)rCx21r由題意知a10，a11分別是含x10和x11項的系數，所以a10C，a11C，a10a11CC0 考向一二項展開式中的特定項或特定項的系數【例1】的展開式中常數項是 ；含x2的項的系數是 【答案】A令得,故展開式中常數項為; 含x2的項的系數是-12【訓練1】 1、 已知在n的展開式中，第6項為常數項(1)求n；(2)求含x2的項的系數；(3)求展開式中所有的有理項解通項公式為Tr1Cx(3)rx(3)rCx.(1)第6項為常數項，r5時，有0，解得n10.(2)令2，得r(

11、n6)2，x2的項的系數為C(3)2405.(3)由題意知令k(kZ)，則102r3k，即r5k，rZ，k應為偶數，k2,0，2，即r2,5,8.第3項，第6項，第9項為有理項，它們分別為405x2，61 236,295 245x2. 求二項展開式中的指定項，一般是利用通項公式進行，化簡通項公式后，令字母的指數符合要求(求常數項時，指數為零；求有理項時，指數為整數等)，解出項數k1，代回通項公式即可2、若6展開式的常數項為60，則常數a的值為_答案4 解析二項式6展開式的通項公式是Tr1Cx6r()rx2rCx63r()r，當r2時，Tr1為常數項，即常數項是Ca，根據已知Ca60，解得a4.

12、考向二二項式的和與積【例2】 1、在的展開式中，含項的系數是 2、(12x)3(1x)4展開式中x項的系數為_1、答案：152、答案2 解析(12x)3(1x)4展開式中的x項的系數為兩個因式相乘而得到，即第一個因式的常數項和一次項分別乘以第二個因式的一次項與常數項，它為C(2x)0·C(x)1C(2x)1·C14(x)0，其系數為C03·C(1)C·2462. 對于求多個二項式的和或積的展開式中某項的系數問題，要注意排列、組合知識的運用，還要注意有關指數的運算性質二項式定理研究兩項和的展開式，對于三項式問題，一般是通過合并其中的兩項或進行因式分解，轉化

13、成二項式定理的形式去求解【訓練2】1、的展開式中的系數是_. 答案：15602、的展開式中，的系數為_. 答案：30考向二二項式定理中的賦值【例3】二項式(2x3y)9的展開式中，求： (1)二項式系數之和； (2)各項系數之和； (3)所有奇數項系數之和解設(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二項式系數之和為CC19CC29.(2)各項系數之和為a0a1a2a9(23)91(3)由(2)知a0a1a2a91，令x1，y1，得a0a1a2a959，將兩式相加，得a0a2a4a6a8，即為所有奇數項系數之和 二項式定理給出的是一個恒等式，對a，b賦予一些特定的值，是解決二

14、項式問題的一種重要思想方法賦值法是從函數的角度來應用二項式定理，即函數f(a，b)(ab)nCanCan1bCanrbrCbn.對a，b賦予一定的值，就能得到一個等式【訓練3】 已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解令x1，則a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，則a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0C1，a1a2a3a72.(2)()÷2，得a1a3a5a71 094.(3)()÷2，得a0a2a4a61 093.(4)(12x)7展開式中，

15、a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.【例4】 若多項式x3x10a0a1(x1)a9(x1)9a10(x1)10，則a9() A9 B10 C9 D10【訓練4】1、 答案：2402、= 【例5】除以9的余數為 。答案：7 ，展開后只有最后兩項不能整除【訓練5】設n為奇數，則除以9的余數為 。答案：7 原式=A組專項訓練一、選擇題1、的展開式中常數項是第 （ ）A5項 B6項 C7項 D8項【答案】C ：，令，常數項為第7項2、使得的展開式中含有常數項的最小的是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 答案：.B3、（+）5展開式的常數項為80，則a的值為（）A1B2C D4 答案：.B4、的展開式中的系數是（ ） A. B. C.5 D.20 答案：.A5、在(1x3)(1x)10的展開式中，x5的系數是()A297 B207 C297 D252 答案：B6、若（x+）n展開式的二項式系數之和為64，則n為（）A 4B5C6D7 答案：C7、已知的展開式的各項系數之和為