因式分解的常見變形技巧

1、因式分解的常見變形技巧 1 因式分解變形技巧 在因式分解學(xué)習(xí)過程中，除要掌握教材上介紹的三種基本方法：提公因式，公式法， 分組分解法外，還常常要進行一些靈活的變換。 下面就簡單介紹一下這些常見的變換方法。 掌握了這些變換方法后，這類因式分解問題基本可以迎刃而解了。需要說明的是，要想熟 練掌握這些技巧，還需要同學(xué)們結(jié)合平時的練習(xí)去體驗我們所講的方法和思路。 技巧一符號變換 有些多項式有公因式或者可用公式，但是結(jié)構(gòu)不太清晰的情況下，可考慮變換部分項 的系數(shù)，先看下面的體驗題。 體驗題 1 (m+n)(x-y)+(m-n)(y-x) 指點迷津 y-x= -(x-y) 體驗過程 原式=(m+n) (x

2、-y)-(m-n) (x-y) =(x-y)(m+n_m+n) =2n( x-y) 小結(jié) 符號變化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的條件不太清晰的情 況下。 實踐題1 分解因式：-a2-2ab-b2每個學(xué)生都應(yīng)該用的 技巧二系數(shù)變換 有些多項式，看起行系數(shù)變換 體驗題2 體驗過程 分解因式 4x2-i2xy+9y 2 原式=(2x) 2-2(2x)(3y)+(3y) 2 =(2x-3y) 小結(jié) 系數(shù)變化常用于可用公式，但用公式的條件不太清晰的情況下。 實踐題2 分解因式 2 lx2 + 0+( 4 3 9 “超級學(xué)習(xí)筆記” 因式分解的常見變形技巧 2 技巧三指數(shù)變換 有些多項式，各

3、項的次數(shù)比較高，對其進行指數(shù)變換后，更易看出多項式的結(jié)構(gòu) 體驗題3 分解因式X4-y4 指點迷津 把X2看成(x2)2，把y4看成(y2)2，然后用平方差公式。 體驗過程 原式=(x2)2-(y2)2 ,2 2 2 2 =(x +y )(x -y ) 2 2 =(x +y )(x+y)(x-y) 小結(jié) 指數(shù)變化常用于整式的最高次數(shù)是 4次或者更高的情況下，指數(shù)變化后更易 看出各項間的關(guān)系。 實踐題3 分解因式 a4-2ab4+b4 技巧四展開變換 有些多項式已經(jīng)分成幾組了，但分成的幾組無法繼續(xù)進行因式分解，這時往往需要將 這些局部的因式相乘的形式展開。然后再分組。 體驗題 4 a(a+2)+b

4、(b+2)+2ab 指點迷津 表面上看無法分解因式，展開后試試： a2+2a+b2+2b+2ab。然后分組。 體驗過程 原式=a2+2a+b2+2b+2ab 2 =(a+b) 2+2(a+b) =(a+b)(a+b+2) 小結(jié) 展開變化常用于已經(jīng)分組，但此分組無法分解因式，相當(dāng)于重新分組。 實踐題 4 x(x-1)-y(y-1) 技巧五拆項變換 有些多項式缺項，如最高次數(shù)是三次，無二次項或者無一次項，但有常數(shù)項。這類問 題直接進行分解往往較為困難，往往對部分項拆項，往往拆次數(shù)處于中間的項。 體驗題5 分解因式3a3-4a+1 指點迷津 本題最高次是三次，缺二次項。三次項的系數(shù)為 3，而一次項的

5、系數(shù)為 -4， 提公因式后，沒法結(jié)合常數(shù)項。所以我們將一次項拆開，拆成 -3a-a試試。 每個學(xué)生都應(yīng)該用的 “超級學(xué)習(xí)筆記” 因式分解的常見變形技巧 3 體驗過程 原式=3a3-3a-a+1因式分解的常見變形技巧 4 2 =3a(a -1)+1-a =3a(a+1)(a-1)-(a-1) =(a-1)3a(a+1)-1 =(a-1)(3a 2+3a-1) 另外，也可以拆常數(shù)項，將 1拆成4-3。 原式=3a4a+4-3 3 =3(a -1)-4(a-1) =3(a-1)(a 2+a+1)-4(a-1) 2 =(a-1)(3a +3a+3-4) 2 =(a-1)( 3a +3a-1) 小結(jié) 拆

6、項變化多用于缺項的情況，如整式 3a3-4a+1，最高次是三，其它的項分別 是一，零。缺二次項。通常拆項的目的是將各項的系數(shù)調(diào)整趨于一致。 實踐題5 分解因式 3a3+5a2-2 技巧六添項變換 有些多項式類似完全平方式，但直接無法分解因式。既然類似完全平方式，我們就添 一項然后去一項湊成完全平方式。然后再考慮用其它的方法。 體驗題6 分解因式X2+4X-12 指點迷津 本題用常規(guī)的方法幾乎無法入手。與完全平方式很象。因此考慮將其配成完 全平方式再說。 體驗過程 原式=X2+4X+4-4-12 2 =(X+2) -16 2 2 =(X+2) -4 =(X+2+4)(X+2-4) =(X+6)(

7、X-2) 小結(jié) 添項法常用于含有平方項，一次項類似完全平方式的整式或者是缺項的整 式，添項的基本目的是配成完全平方式。 實踐題6 分解因式X2-6X+8每個學(xué)生都應(yīng)該用的 “超級學(xué)習(xí)筆記” 因式分解的常見變形技巧 5 實踐題7 分解因式a4+4 技巧七換元變換 有些多項式展開后較復(fù)雜，可考慮將部分項作為一個整體，用換元法，結(jié)構(gòu)就變得清 晰起來了。然后再考慮用公式法或者其它方法。 體驗題 7 分解因式 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 指點迷津 直接展開太麻煩，我們考慮兩兩結(jié)合?？茨芊癜涯承┎糠肿鳛檎w考慮。 體驗過程 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 =(x+1)(x+

8、4)(x+2)(x+3)+1 2 2 =(x +5x+4)(x +5x+6)+1* 令 x2+5x=m. 上式變形為(m+4)(m+6)+1 2 m +10m+24+1 =(m+5) 2 =(x +5x+5) 實踐題答案 實踐題1 分解因式：-a2-2ab-b2 實踐詳解 各項提岀符號，可用平方和公式 .每個學(xué)生都應(yīng)該用的 小結(jié) *式也可以這樣變形，令 原式可變?yōu)椋?x2+5x+4=m m(m+2)+1 2 =m +2m+1 =(m+1) 2 =(x +5x+5) 換元法常用于多項式較復(fù)雜，其中有幾項的部分相同的情況下。如上題中的 2 2 2 x +5x+4與x +5x+6就有相同的項 x +

9、5x.，換元法實際上是用的整體的觀點 來看冋題。 實踐題8 “超級學(xué)習(xí)筆記” 因式分解的常見變形技巧 6 原式=-a -2ab-b 2 2 =-(a +2ab+b ) 2 =-(a+b) 實踐題3 分解因式 a4-2a4b4+b4 指點迷津 把a4看成(a2)2, b4=(b2)2 實踐詳解 原式=(a2-b2)2 2 2 =(a+b) 2(a-b)2 實踐題 4 x(x-1)-y(y-1) 指點迷津 表面上看無法分解因式，展開后試試： x2-x-y 2+y。然后重新分組。 實踐詳解 原式= x 2-x-y 2+y 2 2 =(x -y )-(x-y) =(x+y)(x-y)-(x-y) =(

10、x-y)(x+y-l) 實踐題5 分解因式 3a3+5a2-2 指點迷津 三次項的系數(shù)為 3, 二次項的系數(shù)為 5，提岀公因式 a2后。下一步?jīng)]法進行 了。所以我們將 5a2拆成3a2 +2a2,化為3a3+3a2+2a2-2. 實踐詳解 原式=3a3+3a2+2a2-2 2 2 =3a (a+1)+2(a -1) =3a2(a+1)+2(a+1)(a-1) 2 =(a+1)(3a +2a-2) 實踐題2 分解因式1 x2 xy y 4 3 9 實踐詳解 原式=(纖+2丄+(纖 2 2 3 3 =(X+y) 2 3 每個學(xué)生都應(yīng)該用的 “超級學(xué)習(xí)筆記” 因式分解的常見變形技巧 7 分解因式X2-6X+8 原式=X2-6X+9-9+8實踐題6 實踐詳解 因式分解的常見變形技巧 2 =(x-3) -1 2 2 =(x-3) 2-12 =(x-3+1)(x-3-1) =(x_2)(x_4) 分解因式a4+4 原式=a4+4a2+4-4a2 2 2 2 =(a +2) -4a 2 2 =(a +2+2a)(a +2-2a) 2 2 =(a +2a+2)(a -2a+2) 實踐題8 分解因式x(x+2)(x+3)(x+5)