高數(shù)上第一章154間斷點(diǎn)及其分類ppt課件

1、1.5.4 1.5.4 間斷點(diǎn)及其分類間斷點(diǎn)及其分類 1 1. .間間 斷斷 點(diǎn)點(diǎn) 的的 定定 義義 定定義義 3 3 若若函函數(shù)數(shù)),()( xNxf在在有有定定義義，且且xxf )(在在點(diǎn)點(diǎn) 不不連連續(xù)續(xù)，則則稱稱點(diǎn)點(diǎn))(xfx 為為的的不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)（或或間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)） 。 若若)(xf有有下下列列三三種種情情況況之之一一： 在在xx 沒沒有有定定義義； 雖雖在在xx 有有定定義義，但但)(limxfxx不不存存在在； 雖雖在在xx 有有定定義義，且且)(limxfxx存存在在，但但)()(limxfxfxx ， 處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則 )( xxf. . 2 2. .間間斷斷點(diǎn)

2、點(diǎn)的的分分類類（2）第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)（設(shè)設(shè)的的是是 )( xfx間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。 ） （1）第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) 若若)0( xf和和)0( xf都都存存在在，則則稱稱的的是是 )( xfx第第一一 類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。 若若)0()0( xfxf，則則稱稱的的是是 )( xfx跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)； 若若)0()0( xfxf，則則稱稱的的是是 )( xfx可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。 若若)0( xf和和)0( xf中中至至少少有有一一個個不不存存在在，則則是是稱稱 x 的的 )(xf第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。其其中中極極限限為為 者者 稱稱為為無無窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。 例例 1xy ta

3、n 在在2 x處處無無定定義義， 2 x是是xy tan 的的一一個個間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。 xxtanlim2， 2 x是是xy tan 的的第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)， 且且是是無無窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。 例例 2xy1sin 在在0 x處處無無定定義義， 0 x是是xy1sin 的的一一個個間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。 xx1sinlim0不存在，不存在， 0 x是是xy1sin 的的第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。 例例 311)(2 xxxf在在點(diǎn)點(diǎn)1 x處處無無定定義義， 1 x是是11)(2 xxxf的的一一個個間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。 2)1(lim11lim)(lim1211 xxxxfxxx， 1 x是是11)(2

4、xxxf的的第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，且且是是可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。 若若補(bǔ)補(bǔ)充充定定義義：2)1( f， 則則 1 , 2 1 ,11)(2xxxxxf在在點(diǎn)點(diǎn)1 x處處連連續(xù)續(xù)。 例例 4設(shè)設(shè) 0 , 11sin0 , 0 0 , sin )(xxxxxxxxf， 1sinlim)00(0 xxfx， 1)11sin(lim)00(0 xxfx， 1)(lim0 xfx， 但但0)0(1)(lim0 fxfx， 點(diǎn)點(diǎn)0 x是是)(xf的的第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，且且是是可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。 若若改改變變定定義義：1)0( f，則則)(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處連連續(xù)續(xù)。 例例 5討討論論下

5、下列列函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性，并并指指出出間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的類類型型。 （1）xxexf 111)( 解解：間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為0 x，1 x， ) (1, ,1) , 0( ,0) ,( )( 在在xf內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)。 xxxxexf10011lim)(lim， 0 x為為第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，且且是是無無窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。 011lim)(lim111 xxxxexf， 111lim)(lim111 xxxxexf， 1 x為為第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，且且是是跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。 （2） 1 , 1 ,11arctan)1()(2 xxxxxxf. . 當(dāng)當(dāng)1 x時時， 根根據(jù)據(jù)初初等等

6、函函數(shù)數(shù)在在其其定定義義區(qū)區(qū)間間上上是是連連續(xù)續(xù) 的的結(jié)結(jié)論論，知知)(xf在在) (1, 1), , 1( 1), ,( 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)。 解：解：)(xf是分段函數(shù)，是分段函數(shù)，1 x是“分界點(diǎn)” 。是“分界點(diǎn)” 。 011arctan)1(lim)(lim211 xxxfxx， 1)1 ( f， )1()(lim1fxfx ， 故故1 x為為第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，且且是是可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。 11arctan)1(lim)(lim21 1 xxxfxx， 11arctan)1(lim)(lim21 1 xxxfxx， )(lim1 xfx 不不存存在在， 故故1 x為為第第一一類類間

7、間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，且且是是跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。 注注：如如果果不不是是閉閉區(qū)區(qū)間間而而是是開開區(qū)區(qū)間間，那那么么定定理理的的結(jié)結(jié)論論 不不一一定定成成立立。 例例如如：)1 , 0(1)(Cxxf ，但但)(xf在在)1 , 0(內(nèi)內(nèi)無無界界。 1.5.5 1.5.5 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定理定理 4 4（有界性定理）（有界性定理） 設(shè)設(shè) ,baCf ，則，則 , baf 在在 上有界上有界，即即0 M， ,bax ，有有Mxf )(。 xyoab)(xfy )(1xf)(2xf1x2x定理定理 5 5（最大（最大最小值定理）最小值定理）設(shè)設(shè) ,baCf ，則存在，則存在

8、 , ,21baxx ， ,bax ，有有)()()(21xfxfxf 。 （2 2）如果）如果)(xf在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，那么定理的結(jié)論在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，那么定理的結(jié)論 不一定成立。不一定成立。 注注： （1 1）如如果果不不是是閉閉區(qū)區(qū)間間而而是是開開區(qū)區(qū)間間，那那么么定定理理的的結(jié)結(jié)論論不不 一一定定成成立立。例例如如：xxf )(在在)1 , 1( 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，但但 xxf )(在在)1 , 1( 內(nèi)內(nèi)無無最最大大值值也也無無最最小小值值。 xy11-1-1-1-1o例例如如： 1,0 , 10 0,0,1 , 1)(xxxxxxf 在在1 , 1 上上無無最最大大值值和和最最小小

9、值值。 定理定理 6 6（零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理） 設(shè)設(shè) ,baCf ，且，且0)()( bfaf， 則至少存在一點(diǎn)則至少存在一點(diǎn)) ,(bac ，使得，使得0)( cf。 定定理理 6 6 的的幾幾何何意意義義是是： 若若連連續(xù)續(xù)曲曲線線弧弧)(xfy 的的兩兩個個端端點(diǎn)點(diǎn) 位位于于軸軸 x的的不不同同側(cè)側(cè)，則則這這段段曲曲線線弧弧與與軸軸 x至至少少有有一一個個交交點(diǎn)點(diǎn)。 xyoab)(xfy c定定理理 7 7（介介值值定定理理） 設(shè)設(shè) ,baCf ，且且)()(bfaf ， 之之間間與與為為介介于于 )( )( bfaf 的的任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，則則至至少少存存在在 一一點(diǎn)點(diǎn))(a, bc ，

10、使使得得 )(cf。 證明證明：作作輔助函數(shù)輔助函數(shù) )()(xfxF，則，則 ,baCF ， 之間之間與與為介于為介于 )( )( bfaf ， 0)( )()()( bfafbFaF， 由由定定理理 6 6 知知，),( bac ，使使得得0)( cF， 即即 )(cf。 定定理理 7 7 的的幾幾何何意意義義是是：連連續(xù)續(xù)曲曲線線弧弧)(xfy 與與直直線線 y至至少少有有一一個個交交點(diǎn)點(diǎn)。 )(bf)(af oxyab)(xfy 1c2c3c 證證明明：令令12)( xxxf，則則1 ,0Cf ， 01)0( f，01)1( f， 存存在在)1 , 0( c，使使012)( cccf，

11、 即即方方程程012 xx在在)1 , 0(內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一個個實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)根根。 例例 6 6證證明明方方程程012 xx在在)1 , 0(內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一個個實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)根根。 推推論論：設(shè)設(shè) ,baCf ，Mf 能能取取得得介介于于它它的的最最大大值值則則 與與最最小小值值 m 之之間間的的任任一一個個值值。 例例 7證證明明：實(shí)實(shí)系系數(shù)數(shù)方方程程023 cbxaxx必必有有實(shí)實(shí)根根。 證證明明：令令cbxaxxxf 23)(，則則) ,( )( Cxf。 )1(lim)(lim323 xcxbxaxxfxx， )1(lim)(lim323 xcxbxaxxfxx， 必必存存在在)( ,2121xxxx ，使使得得0)( , 0)(21 xfxf， 而而 , )(21xxxf在在上上連連續(xù)續(xù)， 故故由由零零點(diǎn)點(diǎn)定定理理知知，必必存存在在) ,( 21xxc ，使使得得0)( cf， 即即方方程程023 cbxaxx必必有有實(shí)實(shí)根根。 例例 8設(shè)設(shè) ,baCf ，證證明明：若若bxxxak 21 （K 為為某某一一正正整整數(shù)數(shù)） ，則則存存在在 ,bac ，使使 kiixfkcf1)(1)(。 證證明明： ,baCf ， , , 1baxxk ， , )(1kxxCxf ， kMxfxf