高數(shù)上第一章151-3函數(shù)的連續(xù)性ppt課件

1、處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù) )( . 2xxfy x y xyoxxx )(xfy )(xy xyoxxx x y MN. 0 0 yx時(shí)時(shí). 0 0 yx時(shí)時(shí)1.5 1.5 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性1.5.11.5.1連續(xù)函數(shù)的概念連續(xù)函數(shù)的概念 定定義義1 1 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xfy 在在),( xN有有定定義義，若若 0lim0 yx則則稱稱函函數(shù)數(shù)xxf ) (在點(diǎn)在點(diǎn)處處連連續(xù)續(xù)，并并稱稱x 點(diǎn)點(diǎn)是是函函數(shù)數(shù) )(xf的的連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)。 xxx ， 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，有有xx； 0)()(limlim0 xfxfyxxx， )()(limxfxfxx 。 定定義義2 2 設(shè)設(shè)

2、函函數(shù)數(shù))(xfy 在在),( xN有有定定義義，若若 )()(limxfxfxx 則則稱稱函函數(shù)數(shù)xxf ) (在在點(diǎn)點(diǎn)處處連連續(xù)續(xù)。 函函數(shù)數(shù))(xfy 在在),( xN有有定定義義； )(limxfxx存存在在； )()(limxfxfxx 。 若若條條件件之之一一不不滿滿足足，則則稱稱)( xfx 為為點(diǎn)點(diǎn)的的一一個(gè)個(gè)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) ( (或或不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)) )。 函數(shù)函數(shù)xxf ) (在點(diǎn)在點(diǎn)處連續(xù)必須滿足以下三個(gè)條件：處連續(xù)必須滿足以下三個(gè)條件： 定定義義 3 3 若若o ，0 ， xx時(shí)時(shí)，恒恒有有 )()(xfxf，則則稱稱函函數(shù)數(shù)xxf ) (在在點(diǎn)點(diǎn)處處連連續(xù)續(xù)。 若若)

3、()(limxfxfxx ，則則稱稱函函數(shù)數(shù)xxfy ) (在在點(diǎn)點(diǎn) 處處左左連連續(xù)續(xù)。 若若)()(limxfxfxx ，則則稱稱函函數(shù)數(shù)xxfy ) (在在點(diǎn)點(diǎn) 處處右右連連續(xù)續(xù)。 函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點(diǎn)點(diǎn)x處處連連續(xù)續(xù)的的充充要要條條件件: : )(lim)()(lim)()(limxfxfxfxfxfxxxxxx 3 3. .函函數(shù)數(shù))(xfy 在在某某區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)的的連連續(xù)續(xù)性性 若若函函數(shù)數(shù))(xfy 在在) ,(ba內(nèi)內(nèi)每每一一點(diǎn)點(diǎn)都都連連續(xù)續(xù)，則則稱稱函函數(shù)數(shù) )(xfy 在在) ,(ba內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)。 若若函函數(shù)數(shù))(xfy 在在) ,(ba內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，且且在在左左端端

4、點(diǎn)點(diǎn)ax 右右連連續(xù)續(xù)，在在右右端端點(diǎn)點(diǎn)bx 左左連連續(xù)續(xù)，則則稱稱函函數(shù)數(shù))(xfy 在在 ,ba上上連連續(xù)續(xù)。 區(qū)區(qū)間間I I上上連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的全全體體簡簡記記為為C C( (I I) )。例例 1 1證證明明 0 , 0 0 ,11)(xxxxxf在在點(diǎn)點(diǎn) 0 x處處連連續(xù)續(xù)。 證證明明：00lim)00(0 xf， , 0lim2121lim11lim)00(000 xxxxxfxxx )0(0)(lim0fxfx ， 0 ) ( xxf在在點(diǎn)點(diǎn)處處連連續(xù)續(xù)。 區(qū)區(qū)間間I上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xfy ，簡簡記記為為)(ICf 。 例例 2 2證證明明 函函數(shù)數(shù)xy sin

5、在在) ,( 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)。 , 2sin2)2cos(2sin20 xxxxxy 證證明明：),( x，則則 ),2cos(2sin2sin)sin(xxxxxxy 故故xy sin 在在處處 x連連續(xù)續(xù)， 再再由由的的 x任任意意性性知知，xy sin 在在) ,( 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)。 0lim0yx0lim0 yx， 可可以以證證明明函函數(shù)數(shù) )10( aaayx且且在在) ,( 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)。 類類似似地地可可證證 xy cos 在在) ,( 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)。 定定理理 1 1 若若函函數(shù)數(shù))(xf，)(xg在在區(qū)區(qū)間間 I 上上連連續(xù)續(xù)，則則函函數(shù)數(shù) )()(xgxf ，)()(xgxf

6、，)()(xgxf)0)( xg在在區(qū)區(qū)間間 I 上上 連連續(xù)續(xù)。 由由定定理理 1 1 及及xsin，xcos的的連連續(xù)續(xù)性性可可知知xxxcossintan ， xxxsincoscot ，xxcos1sec ，xxsin1csc 在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi) 連連續(xù)續(xù)。 1.5.2 1.5.2 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算 定理定理2 2 （反函數(shù)的連續(xù)性）（反函數(shù)的連續(xù)性） 若若)(xfy 是區(qū)間是區(qū)間 ,ba上的嚴(yán)格上的嚴(yán)格單調(diào)增加單調(diào)增加( (或減少或減少) ) 的連續(xù)函數(shù)，則其反函數(shù)的連續(xù)函數(shù)，則其反函數(shù))(1xfy 在區(qū)間在區(qū)間 )( ),(bfaf (或或 )( ),(afbf)

7、上也是嚴(yán)格上也是嚴(yán)格單調(diào)增加單調(diào)增加( (或減少或減少) )的連續(xù)函數(shù)。的連續(xù)函數(shù)。 )10( aaayx且且在在) ,( 內(nèi)內(nèi)嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)， )10(log aaxya且且在在) , 0( 內(nèi)內(nèi)也也嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)。 xy sin 在在 2 ,2 上上嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)增增加加且且連連續(xù)續(xù)， xy arcsin 在在1 , 1 上上嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)增增加加且且連連續(xù)續(xù)。 同同樣樣，由由定定理理 2 2 可可知知： xy arccos 在在 1 , 1上上嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)減減少少且且連連續(xù)續(xù)， xy arctan 在在) ,( 內(nèi)內(nèi)嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)減減少少且且連連續(xù)續(xù)

8、， xarcycot 在在) ,( 上上嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)減減少少且且連連續(xù)續(xù)。 若若)(xgu 在在x 點(diǎn)點(diǎn)處處連連續(xù)續(xù)，)(ufy 在在點(diǎn)點(diǎn))(xgu 處處連連續(xù)續(xù)，則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))(xgfy 在在x 點(diǎn)點(diǎn)處處也也連連續(xù)續(xù)。 （證證明明從從略略） 定理定理 3（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）定定理理 3 是是說說連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)仍仍是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)。其其結(jié)結(jié)論論為為 )(lim)()(limxgfxgfxgfxxxx 極極限限符符號號 與與函函數(shù)數(shù)符符號號 在在函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)可可以以交交換換次次序序。 limf例如：例如： uy sin ，2xu

9、均為連續(xù)函數(shù)，均為連續(xù)函數(shù)， 復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)2sinxy 在在點(diǎn)點(diǎn)2 x處處連連續(xù)續(xù)， . 12sin)2sin()limsin(sinlim22222 xxxx 1.5.3 1.5.3 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性1.1.基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的；基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的； 例例如如：kxkxxf )()0( k， )(xf的的定定義義域域?yàn)闉? x，它它在在0 x附附近近沒沒有有定定義義， 因因此此，)(xf在在0 x談?wù)劜徊簧仙鲜鞘沁B連續(xù)續(xù)的的。 重要結(jié)論：重要結(jié)論：2. 2. 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。注注：初初等

10、等函函數(shù)數(shù)在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)不不一一定定是是連連續(xù)續(xù)的的。 若若x是是初初等等函函數(shù)數(shù))(xF定定義義區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)的的點(diǎn)點(diǎn)，則則 )()(limxFxFxx 。 例例 5 5證證明明： （1）)10( log)1(loglim0 aaexxaax且且； （2 2）)10( ln1lim0 aaaxaxx且且； （3 3）)( 1)1(lim0Rxxx 。 證證明明： （1 1）xaxaxxxx100)1(loglim)1(loglim .log)1(limlog10exaxxa 特特別別有有 . 1)1ln(lim0 xxx （2 2）令）令1 xat，則，則)1(logtxa ， 當(dāng)當(dāng)

11、0 x時(shí)時(shí)，0t， aettxaaatxxlnlog1)1(loglim1lim00 。 特特別別有有 11lim0 xexx （3 3）當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí)，結(jié)結(jié)論論顯顯然然成成立立。 當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí)，xxxexxx)1ln()1ln(11)1()1ln( xxxexxxxxx)1ln(lim)1ln(1lim1)1(lim0)1ln(00 .11 重要結(jié)論：重要結(jié)論：)1ln(x , x )1(logxa , ln1xa 1 xe, x 1 xa,lnax 1)1( x.x , 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)x證證明明：)(ln)()()(xuxvxvexu ， 由由指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)和和對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性

12、性與與極極限限的的復(fù)復(fù)合合運(yùn)運(yùn)算算法法則則得得 )(ln)(lim)(ln)()(lim)(limxuxvxuxvxxxvxxxxeexu )(lnlim)(limxuxvxxxxe .ln)(limln)(limBABxuxvAeexxxx 例例 6 6證證明明：若若0)(lim Axuxx，Bxvxx )(lim，則則 BxvxxAxu )()(lim（x其其中中可可以以是是有有限限數(shù)數(shù)也也可可以以是是 ） 。 例例 7 7求求下下列列極極限限： （1 1）xxxxxln1lim1 解解：1lnlnlimln1limln1lim1ln11 xxxxxxexxxxxxxxx。 （2 2）)0(2lim20 ahaaaxhxhxh； 解解：aahaahaaaxhhxhxhxhxh22020ln)1(lim2lim 。 （3 3）)(lim12 nnnxxn； 解解： )(lim)(lim111212 nnnnnnxxnxxn xnnxnxxnnnnnnnln)1(1lim )1( lim112)1(1112 等價(jià)無窮小量等價(jià)無窮小量.ln)1(limlimln211xnnnxxnnn （4 4）xxxtan2)(sinlim ； 解解：令令2 xt，當(dāng)當(dāng)2 x時(shí)時(shí)，0t， ttxxtxcot0tan2)(coslim)(sinlim . 1021limtancos1