高數(shù)中值定理ppt課件

1、中值定理中值定理 第二章我們討論了微分法，解決了曲線的切線、第二章我們討論了微分法，解決了曲線的切線、法線及有關(guān)變化率問題。這一章我們來討論導(dǎo)數(shù)的法線及有關(guān)變化率問題。這一章我們來討論導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題。應(yīng)用問題。我們知道，函數(shù)我們知道，函數(shù))()(00 xfxxfy )(xfy 在區(qū)間在區(qū)間 xxx 00,上的增量上的增量可用它的微分可用它的微分xxfdy )(0 來近似計(jì)算來近似計(jì)算 其誤差是比其誤差是比x 高階的無窮小高階的無窮小)(0 xfxy 即即是近似關(guān)系是近似關(guān)系)|(|充分小充分小x )(lim00 xfxyx 而而是極限關(guān)系是極限關(guān)系,都不便應(yīng)用都不便應(yīng)用 我們的任務(wù)是尋求差商與

2、導(dǎo)數(shù)的直接關(guān)系，既我們的任務(wù)是尋求差商與導(dǎo)數(shù)的直接關(guān)系，既不是極限關(guān)系，也不是近似關(guān)系。對此，不是極限關(guān)系，也不是近似關(guān)系。對此，Lagrange中值定理給出了圓滿的解答：中值定理給出了圓滿的解答：xxxfy )(0 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ) 本章我們先給出本章我們先給出Rolle定理它是定理它是Lagrange定定理的特殊情況），由特殊過渡到一般來證明理的特殊情況），由特殊過渡到一般來證明Lagrange定理和定理和Cauchy定理，有了定理，有了Cauchy定理定理就可以給出就可以給出Taylor中值定理及中值定理及L， Hospital法則，法則，這就是本章理論部分的主要內(nèi)容

3、。這就是本章理論部分的主要內(nèi)容。理論部分結(jié)構(gòu)圖理論部分結(jié)構(gòu)圖Lagrange定理定理特例特例Rolle定理定理推廣推廣Cauchy定理定理推廣推廣Taylor定理定理 本章的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用部分就是以此為基礎(chǔ)展開討論本章的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用部分就是以此為基礎(chǔ)展開討論的，利用的，利用Lagrange定理給出了可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性定理給出了可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性的判定法則，可以討論可導(dǎo)函數(shù)取得極值和凹凸性的判定法則，可以討論可導(dǎo)函數(shù)取得極值的條件；有了的條件；有了L， Hospital法則，可以進(jìn)一步討論法則，可以進(jìn)一步討論 1 ,0 ,0 ,0000等各種類型的未定式的極限；此外利用中值定理和等各種類型的未定式的極

4、限；此外利用中值定理和單調(diào)性還可證明一些不等式。單調(diào)性還可證明一些不等式。重點(diǎn)重點(diǎn)微分中值定理微分中值定理L， Hospital法則法則Taylor公式公式求函數(shù)的極值和最值求函數(shù)的極值和最值難點(diǎn)難點(diǎn)中值定理中值定理L， Hospital法則的運(yùn)用法則的運(yùn)用利用中值定理證明不等式利用中值定理證明不等式基本要求基本要求 正確理解和掌握正確理解和掌握R、L、C、T定理及它們之定理及它們之 間的關(guān)系間的關(guān)系 熟練運(yùn)用熟練運(yùn)用L法則求未定式的極限法則求未定式的極限掌握函數(shù)展開成掌握函數(shù)展開成Taylor公式的方法，熟記公式的方法，熟記 )1(),1ln(,cos,sin,xxxxex 的的Taylor

5、公式公式熟練掌握單調(diào)性的判定方法，會利用單調(diào)性熟練掌握單調(diào)性的判定方法，會利用單調(diào)性 來證明不等式來證明不等式正確理解函數(shù)取得極值的條件，掌握極值判定正確理解函數(shù)取得極值的條件，掌握極值判定 條件及求法條件及求法掌握函數(shù)凹凸性的判定方法，會求曲線的拐點(diǎn)掌握函數(shù)凹凸性的判定方法，會求曲線的拐點(diǎn)會用中值定理證明不等式會用中值定理證明不等式先講中值定理，以提供必要的理論基礎(chǔ)先講中值定理，以提供必要的理論基礎(chǔ)一、羅爾一、羅爾(Rolle)定理定理定理定理(Rolle) 若函數(shù)若函數(shù)f ( x ) 滿足滿足（1在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上連續(xù)上連續(xù)（2在開區(qū)間在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)（3在區(qū)間端點(diǎn)處的

6、函數(shù)值相等在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等f(a)=f(b)0)()(),(,),( fxfbaba在在該該點(diǎn)點(diǎn)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為零零，即即使使得得函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上連續(xù)上連續(xù)在在 ,)3 , 1(上上可可導(dǎo)導(dǎo)在在 , 0)3()1( ff且且),1(2)( xxf)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f幾何解釋幾何解釋: :xyo)(xfy abC1 2 若連續(xù)曲線弧的兩個若連續(xù)曲線弧的兩個端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，且除去兩個端點(diǎn)外處且除去兩個端點(diǎn)外處處有不垂直于橫軸的處有不垂直于橫軸的切線，切線

7、，.,切切線線是是水水平平的的在在該該點(diǎn)點(diǎn)處處的的上上至至少少有有一一點(diǎn)點(diǎn)在在曲曲線線弧弧CAB物理解釋物理解釋: :變速直線運(yùn)動在折返點(diǎn)處變速直線運(yùn)動在折返點(diǎn)處,瞬時速度等于零瞬時速度等于零.證證,)(連連續(xù)續(xù)在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)1(mM 若若.)(Mxf 則則. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同時時在在端端點(diǎn)點(diǎn)),(afM 設(shè)設(shè).)(),(Mfba 使使內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)則在則在),()( fxf, 0)()( fxf, 0 x若若; 0)()

8、( xfxf則則有有, 0 x若若; 0)()( xfxf則則有有; 0)()(lim)(0 xfxffx; 0)()(lim)(0 xfxffx,)(存在存在 f).()( ff. 0)( f只只有有注注 Rolle定理有三個條件：閉區(qū)間連續(xù)；開區(qū)間可導(dǎo)定理有三個條件：閉區(qū)間連續(xù)；開區(qū)間可導(dǎo) 區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等；區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等；這三個條件只是充分條件，而非必要條件這三個條件只是充分條件，而非必要條件如：如：y=x2在在-1,2上滿足上滿足(1),(2)，不滿足，不滿足(3)卻在卻在(-1,2)內(nèi)有一點(diǎn)內(nèi)有一點(diǎn) x=0 使使0200 xxxy但定理的條件又都是必須的，即為了保證結(jié)論

9、成立但定理的條件又都是必須的，即為了保證結(jié)論成立三個條件缺一不可。三個條件缺一不可。例如例如,;2 , 2, xxy,)0(2 ,2一一切切條條件件滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的不不存存在在外外上上除除在在f . 0)( xf但但在在內(nèi)內(nèi)找找不不到到一一點(diǎn)點(diǎn)能能使使又例如又例如,; 0)0(,1 , 0(,1)( fxxxf在在0,1上除去上除去x=0不連續(xù)外，滿足羅爾定理的不連續(xù)外，滿足羅爾定理的一切條件一切條件. 0)( xf但但在在內(nèi)內(nèi)找找不不到到一一點(diǎn)點(diǎn)能能使使再例如再例如.1 , 0,)( xxxf在在0,1上除去端點(diǎn)的函數(shù)值不相等外，滿足羅爾上除去端點(diǎn)的函數(shù)值不相等外，滿足羅爾定理的

10、一切條件定理的一切條件.0)(的的點(diǎn)點(diǎn)但但也也找找不不到到使使 xf羅爾定理的結(jié)論是在開區(qū)間內(nèi)至少有一使導(dǎo)數(shù)羅爾定理的結(jié)論是在開區(qū)間內(nèi)至少有一使導(dǎo)數(shù)等等0的點(diǎn)。有的函數(shù)這樣的點(diǎn)可能不止一個；的點(diǎn)。有的函數(shù)這樣的點(diǎn)可能不止一個；另外還要注意點(diǎn)另外還要注意點(diǎn)并未具體指出，即使對于給定并未具體指出，即使對于給定的具體函數(shù)，點(diǎn)的具體函數(shù)，點(diǎn)也不一定能指出是哪一點(diǎn)，也不一定能指出是哪一點(diǎn)，如如)2ln()( xxxf在在-1，0上滿足羅爾定理的全部條件，而上滿足羅爾定理的全部條件，而)2ln(2)( xxxxf但卻不易找到使但卻不易找到使 的點(diǎn)的點(diǎn)0)( xf但根據(jù)定理，這樣的點(diǎn)是存在的。即便如此，我們

11、但根據(jù)定理，這樣的點(diǎn)是存在的。即便如此，我們將會看到，這絲毫不影響這一重要定理的應(yīng)用將會看到，這絲毫不影響這一重要定理的應(yīng)用例例1 1.10155的的正正實(shí)實(shí)根根有有且且僅僅有有一一個個小小于于證證明明方方程程 xx證證, 15)(5 xxxf設(shè)設(shè),1 , 0)(連連續(xù)續(xù)在在則則xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即為方程的小于即為方程的小于1的正實(shí)根的正實(shí)根.,),1 , 0(011xxx 設(shè)另有設(shè)另有. 0)(1 xf使使,)(10件件之之間間滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條在在xxxf使使得得之之間間在在至至少少存存在在一一

12、個個),(10 xx )1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.為唯一實(shí)根為唯一實(shí)根例例2證明證明0)(2 cbxaxex至多有三個實(shí)根至多有三個實(shí)根證證)()(2cbxaxexfx 記記直接證明有困難，采用反證法直接證明有困難，采用反證法設(shè)設(shè)0)( xf有四個實(shí)根有四個實(shí)根4321xxxx )()(2cbxaxexfx 記記連續(xù)、可導(dǎo)連續(xù)、可導(dǎo)對對)(xf,433221xxxxxx在在用羅爾定理得用羅爾定理得4332211xxxx 0)()()(321 fff使使baxexfx 2)(連續(xù)、可導(dǎo)連續(xù)、可導(dǎo)對對)(xf ,3221 在在用羅爾定理得用羅爾定理得32211

13、0)()(21 ff使使aexfx2)( 連續(xù)、可導(dǎo)連續(xù)、可導(dǎo)對對)(xf ,21 在在用羅爾定理得用羅爾定理得,4121xx 0)( xf使使0)( xexf但但矛盾矛盾得證結(jié)論成立得證結(jié)論成立二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù) f(x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,那末在那末在),(ba內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn))(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. .)1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了

14、與與羅羅爾爾定定理理相相比比條條件件中中注注意意).()()( fabafbf結(jié)結(jié)論論亦亦可可寫寫成成幾何解釋幾何解釋:xoy)(xfy ABabC1 D2 .,ABCAB線平行于弦線平行于弦在該點(diǎn)處的切在該點(diǎn)處的切一點(diǎn)一點(diǎn)上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧證證分析分析:).()(bfaf 條件中與羅爾定理相差條件中與羅爾定理相差弦弦AB方程為方程為).()()()(axabafbfafy xNM,)(ABxf減減去去弦弦曲曲線線., 兩兩端端點(diǎn)點(diǎn)的的函函數(shù)數(shù)值值相相等等所所得得曲曲線線ba作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(滿足羅爾定理的條件滿足羅

15、爾定理的條件xF. 0)(,),( Fba使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個區(qū)間上的拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系. .,),()(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在在在設(shè)設(shè)baxf則則有有),(,00baxxx ).10()()()(000 xxxfxfxxf).10()(0 xxxfy也也可可寫寫成成.的的精精確確表表達(dá)達(dá)式式增增量量 y 拉格朗日中值公式又稱有限

16、增量公式拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.拉格朗日中值定理又稱有限增量定理拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.微分中值定理微分中值定理推論推論1.)(,)(上上是是一一個個常常數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間那那末末上上的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)恒恒為為零零在在區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)IxfIxf推論推論2 2CxgxfIxgxfI )()(),()(上上在在區(qū)區(qū)間間那那末末上上在在區(qū)區(qū)間間如如果果例例2 2).11(2arccosarcsin xxx證證明明證證1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf設(shè)設(shè))11(11)(22xxxf 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2

17、 .2 C即即.2arccosarcsin xx0 例例3 3.)1ln(1,0 xxxxx 時時證明當(dāng)證明當(dāng)證證),1ln()(xxf 設(shè)設(shè), 0)(上上滿滿足足拉拉氏氏定定理理的的條條件件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即例例4MaaffaxfMxfa | )(| )0(|), 0()(,| )(| , 0最最大大值值，試試證證內(nèi)內(nèi)取取得得在在且且上上設(shè)設(shè)在在證證內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在上上連連續(xù)續(xù)在在由由于于), 0(, 0)(aa

18、xf內(nèi)內(nèi)取取得得最最大大值值在在且且),0()(axf0)(), 0(, cfacFermat使使定定理理知知由由上上分分別別使使用用在在對對, 0)(accxf Lagrange定理定理cffcf )()0()(1 )0(1c )()()()(2cafcfaf )(2ac )( | )(| )(| )(| )0(|21cafcfaff )(cacM Ma 例例5設(shè)拋物線設(shè)拋物線CBxxy 2與與 x 軸有兩個交點(diǎn)軸有兩個交點(diǎn))(,babxax 函數(shù)函數(shù)f(x)在在a,b上二階可導(dǎo)上二階可導(dǎo)0)()( bfaf曲線曲線y = f ( x )與拋物線與拋物線CBxxy 2在在a,b內(nèi)有一個交點(diǎn)內(nèi)

19、有一個交點(diǎn)證明證明2)(),( fba使使證證如下圖如下圖oxyCBxxy 2y=f(x)abcMN)()()(2cBxxxfxF 令令內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在上上連連續(xù)續(xù)在在則則),(),(,)(bccabccaxF0)()()( bFcFaF且且由羅爾定理，得由羅爾定理，得bca 21 0)()(21 FF使使內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在上上連連續(xù)續(xù)在在又又),(,)(2121 xF 0)()(21 FF且且再由羅爾定理，得再由羅爾定理，得),(),(21ba 0)( F使使BxxfxF 2)()(而而2)()( xfxF2)( f三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理柯西柯西（CauchyCauc

20、hy）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf及及)(xF在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且且)(xF在在),(ba內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零，那末在內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零，那末在),(ba內(nèi)至少內(nèi)至少有一點(diǎn)有一點(diǎn))(ba , ,使等式使等式 )()()()()()( FfbFaFbfaf成立成立. .幾何解釋幾何解釋:)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦該點(diǎn)處的切線平行于該點(diǎn)處的切線平行于在在一點(diǎn)一點(diǎn)上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧 證證作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).()()

21、()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件x . 0)(,),( 使得使得內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)則在則在ba, 0)()()()()()( FaFbFafbff即即.)()()()()()( FfaFbFafbf. 0)(,),( 使得使得內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)則在則在ba,)(xxF 當(dāng)當(dāng), 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf).()()( fabafbfCauchy定理又稱為廣義微分中值定理定理又稱為廣義微分中值定理).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,

22、1 , 0)(fffxf 使使至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)證明證明內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)例例6 6證證分析分析: 結(jié)論可變形為結(jié)論可變形為 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 設(shè)設(shè), 1 , 0)(),(條條件件上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在則則xgxf有有內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即例例7設(shè)設(shè)f(x)在在x=0的某鄰域內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且的某鄰域內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且0)0()0( ff試證試證)10(! 2)()(2 xfxxf證證的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的

23、的任任一一點(diǎn)點(diǎn)為為設(shè)設(shè)00 xx由題設(shè)知由題設(shè)知上上在在 xxxgxf, 0)(),(2滿足滿足Cauchy定理的條件定理的條件 由由Cauchy公式得公式得)0()()0()()(2gxgfxfxxf 112)( f x, 01 再對函數(shù)再對函數(shù)上上在在 1, 02)(),( xxgxf應(yīng)用應(yīng)用Cauchy公式，有公式，有)0()()0()()(112ggffxxf ! 2)(2 f 12, 0 之間之間與與在在由于由于x02 )10(2 x)10(! 2)()(2 xfxxf若若f(x)在在x=0的某鄰域內(nèi)具有的某鄰域內(nèi)具有 n 階導(dǎo)數(shù)，且階導(dǎo)數(shù)，且0)0()0()0()1( nfff!)()()(nxfxxfnn 則則這就是這就是Taylor公式公式例例8設(shè)設(shè)f(x)在在a,b上連續(xù)，在上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，0 a證明證明),(,321baxxx 33222213)()(2)()()(xxfaabbxxfabxf 使使證證f(x)在在a,b上滿足上滿足Lagrange定理的條件定理的條件),(1bax )()()(1abxfafbf