3.7分式方程及應用

1、學習目標學習目標：1、理解整式方程、分式方程及增根的概念；、理解整式方程、分式方程及增根的概念；2、掌握可化為一元一次、一元二次方程的、掌握可化為一元一次、一元二次方程的分式方程的解法；分式方程的解法；3、了解分式方程產生增根的原因及掌握驗、了解分式方程產生增根的原因及掌握驗根的方法。根的方法。引例引例: 列方程列方程某數(shù)與某數(shù)與1的差除以它與的差除以它與1的和的商等于的和的商等于,求這個數(shù)求這個數(shù).解解 :設某數(shù)為設某數(shù)為x, 得得12 =X-1X+1121 1、2 2( (x x1 1) )= =x x1 1; x; x2 2x x-20=0; -20=0; x x+2+2y y=1=12

2、、 整式方程整式方程: 方程兩邊都是整式的方程方程兩邊都是整式的方程.分式方程：分式方程：方程中只含有分式或整式方程中只含有分式或整式,且且分母含有未知數(shù)的方程分母含有未知數(shù)的方程.觀察下列方程觀察下列方程：19511 ; 1111 ;2111 ; 0112xxxxyxxxxx 概概 念念一元一次方程一元一次方程一元二次方程一元二次方程找一找：找一找： 1. 下列方程中屬于分式方程的有（下列方程中屬于分式方程的有（ ）;屬于一元分式方程的有（屬于一元分式方程的有（ ）. x2 +2x-1=0 鞏鞏 固固 定定 義義1312xxx124131xyx734yx2、已知分式、已知分式 ,當當x= 時

3、時, 分式無意義分式無意義.1322xx3、分式、分式 與與 的最簡公分母的最簡公分母 是是 .) 3( 22xxxx332X2-1=0-1=0X(x3)3)12X(x3)例例1 解分式方程解分式方程 化簡化簡,得整式方程得整式方程 2(x1)=x1解整式方程解整式方程,得得 x=3. 把把x=3代入原方程代入原方程 左邊左邊= , 右邊右邊= . 左邊左邊=右邊右邊 原方程的根是原方程的根是 x=3. 分式方程分式方程整式方程整式方程解整式方程解整式方程檢檢 驗驗轉化轉化 2111xx檢驗：檢驗：解分式方程解分式方程解解: 方程的兩邊同乘以最簡公分母方程的兩邊同乘以最簡公分母2(x1), 得

4、得 2(x1) 2(x1)2111xx21131321例例2 解分式方程解分式方程 解解 方程兩邊同乘以方程兩邊同乘以(x1)(x1),解整式方程解整式方程,得得 x1=1, x2=8 得得 （x-1)2 =5x+9195112xxxxx2-2x+1=5x+9 -2x+1=5x+9 X X2 2-7x-8=0-7x-8=0(x+1)(x-8)=0(x+1)(x-8)=0例例2 解分式方程解分式方程 解解 方程兩邊同乘以方程兩邊同乘以(x1)(x1),解整式方程解整式方程,得得 x1=1, x2=8檢驗檢驗:把把x1=1，x2=8代入原方程代入原方程當當x1=1時時, 原方程的兩個分母值為零原方

5、程的兩個分母值為零,分分式無意義，因此式無意義，因此x1=1不是原方程的根不是原方程的根.當當x2=8時時, 左邊左邊= , 右邊右邊= 左邊左邊=右邊右邊, 因此因此x2=8是原方程的根是原方程的根. 原方程的根是原方程的根是x=8. 得得 （x-1)2 =5x+9195112xxxx+1+1(x+1)(x-1)(x+1)(x-1)9797例例2 解分式方程解分式方程 解解 方程兩邊同乘以方程兩邊同乘以(x1)(x1),解整式方程解整式方程,得得 x1=1, x2=8檢驗檢驗:把把x1=1，x2=8代入原方程代入原方程當當x1=1時時, 原方程的兩個分母值為零原方程的兩個分母值為零,分分式無

6、意義，因此式無意義，因此x1=1不是原方程的根不是原方程的根.當當x2=8時時, 左邊左邊= 7 / /9 , 右邊右邊=7 / /9左邊左邊=右邊右邊, 因此因此x2=8是原方程的根是原方程的根. 原方程的根是原方程的根是x=8. 得得 （x-1)2 =5x+9195112xxxx增根增根增根的定義增根的定義增根增根:在去分母在去分母,將分式方程轉化為整將分式方程轉化為整式方程的過程中出現(xiàn)的不適合于原方式方程的過程中出現(xiàn)的不適合于原方程的根程的根.產生的原因產生的原因:分式方程兩邊同乘以一個分式方程兩邊同乘以一個后后,所得的根是整式方程的根所得的根是整式方程的根,而不是分式方程的根而不是分式

7、方程的根.使分母值為零的根使分母值為零的根(填空填空)1、解方程、解方程:解解:方程兩邊同乘以最簡公分母方程兩邊同乘以最簡公分母 , 化簡化簡,得得 . 解得解得 x1= , x2= . 檢驗檢驗:把把x1= ,代入最簡公分母代入最簡公分母, x(x-2)= = 0;0; 把把x2= ,代入最簡公分母代入最簡公分母, x(x-2)= =0 x=x= 是增根是增根, ,舍去舍去. . 原方程的根是原方程的根是x=x= . .026212xxxxx(x- -2)x 2+ x - -6=0 或或x(x+1)-6=0-3 2-3 2- -3 - -3(- -3- -2) 152 2(2- -2) 2-

8、 -3練練 一一 練練 (填空填空)1、解方程、解方程:解解:方程兩邊同乘以最簡公分母方程兩邊同乘以最簡公分母 , 化簡化簡,得得 . 解得解得 x1= , x2= . 檢驗檢驗:把把x1= ,代入最簡公分母代入最簡公分母, x(x-2)= = 0;0; 把把x2= ,代入最簡公分母代入最簡公分母, x(x-2)= =0 x=x= 是增根是增根, ,舍去舍去. . 原方程的根是原方程的根是x=x= . .026212xxxxx(x- -2)x 2+ x - -6=0 或或x(x+1)-6=0-3 2-3 2- -3 - -3(- -3- -2) 152 2(2- -2) 2- -3練練 一一

9、練練 7 (填空填空)1、解方程、解方程:解解:方程兩邊同乘以最簡公分母方程兩邊同乘以最簡公分母 , 化簡化簡,得得 . 解得解得 x1= x2= . 檢驗檢驗:把把x1= ,代入最簡公分母代入最簡公分母, x(x-2)= ; ; 把把x2= ,代入最簡公分母代入最簡公分母, x(x-2)= .原方程的根是原方程的根是x x1 1= ,x= ,x2 2= =02212xxxxx(x- -2)x 2+ x - -7=0練練 一一 練練 2291 22912291) 22291(229122917) 22291(2291002291 2291 2、分式方程、分式方程 的最簡公分母是的最簡公分母是

10、.1211xx3、如果、如果 有增根有增根,那么增根為那么增根為 .xxx213215、若分式方程、若分式方程 有增根有增根x=2,則則 a= .04422xxaX=2X- -1分析分析: 原分式方程去分母原分式方程去分母,兩邊同乘以兩邊同乘以(x2 -4),得得 a(x+2)+4=0 把把x=2代入代入,得得 4a+4=0, a=- -1 a=-1時時,x=2是原方程的增根是原方程的增根.- -14、關于、關于x的方程的方程 =4 的解是的解是x= ,則則a= .xax 12126、解下列方程：、解下列方程： ； ； ； . .3132xx253xx1211xx1212xxx x= x= x

11、=-3 x=-3 x x1 1= , x= , x2 2= = x=-2 (x=1x=-2 (x=1是增根是增根, ,已舍去已舍去) )2941714171思思 考考:解分式方程的驗根與解一元一次、解分式方程的驗根與解一元一次、一元二次方程的驗根有什么區(qū)別？一元二次方程的驗根有什么區(qū)別？小小 結結:1、整式方程、分式方程的概念；、整式方程、分式方程的概念；2、解分式方程；（注意檢驗）、解分式方程；（注意檢驗）3、增根及增根產生的原因；、增根及增根產生的原因；4、體會數(shù)學轉化的思想方法。、體會數(shù)學轉化的思想方法。 分式方程的應用分式方程的應用34211xxxx6272332xx432425222

12、xxxxx( (1)1)( (2)2)( (3)3) 問題：問題：某校招生錄取時，為了防止數(shù)據(jù)某校招生錄取時，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯，輸入出錯，26402640名學生的成績數(shù)據(jù)分別由名學生的成績數(shù)據(jù)分別由兩位程序操作員各向計算機輸入一遍，然兩位程序操作員各向計算機輸入一遍，然后讓計算機比較兩人的輸入是否一致后讓計算機比較兩人的輸入是否一致. .已知已知甲的輸入速度是乙的甲的輸入速度是乙的2 2倍，結果甲比乙少用倍，結果甲比乙少用2 2小時輸完小時輸完. .問這兩個操作員每分鐘各能輸問這兩個操作員每分鐘各能輸入多少名學生的成績？入多少名學生的成績？課前熱身課前熱身列方程解應用題的列方程解應用題的步

13、驟是怎樣的呢？步驟是怎樣的呢？ 602264022640 xx解設乙每分鐘能輸入解設乙每分鐘能輸入x x名學生的成績，名學生的成績，則則甲每分能輸入甲每分能輸入2x2x名學生的成績，根據(jù)題意得名學生的成績，根據(jù)題意得解得解得x x1111經檢驗，經檢驗，x x1111是原方程的解是原方程的解. .并且并且x x1111，2 2x x2 211112222，符合題意，符合題意. .答：甲每分鐘能輸入答：甲每分鐘能輸入2222名學生的成績，乙每分鐘名學生的成績，乙每分鐘能輸入能輸入1111名學生的成績名學生的成績. .三、例題講解與練習三、例題講解與練習 已知兩邊的速度之比為已知兩邊的速度之比為5

14、 5：2 2，所以設大車，所以設大車的速度為的速度為2x2x千米千米/ /時，小說車的速度為時，小說車的速度為5x5x千米千米/ /時，而時，而A A、B B兩地相距兩地相距135135千米，則大車行駛時間千米，則大車行駛時間 小時，小車行駛小時，小車行駛時間時間 小時，由題意可知大車早出發(fā)小時，由題意可知大車早出發(fā)5 5小時，又比小車小時，又比小車早到早到3030分鐘，實際大車行駛時間比小車行駛時間多分鐘，實際大車行駛時間比小車行駛時間多4.54.5小時，由此可得等量關系小時，由此可得等量關系x2135x5135解：設大車的速度為解：設大車的速度為2x2x千米千米/ /時，小車的速度時，小車

15、的速度為為5x5x千米千米/ /時，根據(jù)題意得時，根據(jù)題意得解之得解之得 x=9x=9x2135x513521=5-=5-經檢驗經檢驗x=9x=9是原方程的解是原方程的解當當x=9x=9時，時，2x=182x=18，5x=455x=45答：大車的速度為答：大車的速度為1818千米千米/ /時，小車的速時，小車的速度為度為4545千米千米/ /時時三、例題講解與練習三、例題講解與練習1)1)甲乙兩人同時從甲乙兩人同時從A A地出發(fā)，騎自行車到地出發(fā)，騎自行車到B B地，已知兩地，已知兩地地ABAB的距離為的距離為3030，甲每小時比乙多走，甲每小時比乙多走3 3，并且比乙，并且比乙先到先到404

16、0分鐘設乙每小時走分鐘設乙每小時走x x，則可列方程為，則可列方程為（ ）（2 2）我軍某部由駐地到距離）我軍某部由駐地到距離3030千米的地方去執(zhí)行任務，千米的地方去執(zhí)行任務，由于情況發(fā)生了變化，急行軍速度必需是原計劃的由于情況發(fā)生了變化，急行軍速度必需是原計劃的1.51.5倍，才能按要求提前倍，才能按要求提前2 2小時到達，求急行軍的速度。小時到達，求急行軍的速度。課堂小結課堂小結(1)(1)列分式方程與列一元一次方程解應用題列分式方程與列一元一次方程解應用題的差別是什么？的差別是什么？(2)(2)你能總結一下列分式方程應用題的步驟嗎？你能總結一下列分式方程應用題的步驟嗎？王明同學準備在課外活動時間組織