誤差理論及數(shù)據(jù)處理課后答案

1、第五章：最小二乘法原理 知識(shí)點(diǎn)： 1.最小二乘法原理 2.正規(guī)方程 3.兩種參數(shù)估計(jì)的方法 4.精度估計(jì)推薦掌握：基于矩陣的的最小二乘法參數(shù)估計(jì)第五章：最小二乘法原理參數(shù)最小二乘法估計(jì)矩陣形式的簡單推導(dǎo)及回顧：由誤差方程V=L-AX且要求V”最小，則:V7V = (L AX)7'(L AX)= (U-XA)(L-AX)=UL U AX XrArL + XrArAXB"，w第五章：最小二乘法原理令其等于f(x),要f(X)最小，需其對(duì)應(yīng)偏導(dǎo)為0：f(X) = -LrA-LrA + (ArAX)r + XrArA = 0 t/XL7'A = XrArAArL = ArAX

2、所以:x =(ata)tatl第五章：最小二乘法原理理論基礎(chǔ)：(1)Myf(X)=W-f(X)y dXT dXf(X)g(X)=g(x)f(x)+f(x)烏 g(x)(2)JXdX第五章：最小二乘法原理5-1由測(cè)量方程3x+y = 2.9 x-2y = 0,92x-3y = 1.9試求X、y的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。解：方法一(常規(guī))：1.列出誤差方程組：匕=2.9 (3x4- 2y)jv2 =0.9 (x2y) >v3 =1.9 (2x 3y)XV2=(2.9 - (31+y)2 + (0.9 -(x - 2y)i2+(1.9-(2i- 3y)2分別對(duì)X，y求偏導(dǎo)，并令它們的結(jié)果為

3、o, 2(3" y) - 2.9) x 3+2(v - 2y) - 0.9)+2(2 3yH. 9) x 2 = 0 2(3x + y) - 2.9)-2(x- 2y)- 0.9) x2+2(2x-3y)-1.9)x3 = 0第五章：最小二乘法原理 即，14x-5y = 13.4-5x + 14 = -4.6由上式可解得結(jié)果：x = 0.9626 y = 0.0152HfthOli第五章：最小二乘法原理2.直接列表計(jì)算給出正規(guī)方程常數(shù)項(xiàng)和系數(shù) I即ai2ai*%的a"a/1319132.98.72.921-214-20.90.9-1.832-349-61.93.8-5.72

4、1414-513.4-4.6第五章：最小二乘法原理可得正規(guī)方程14x-5y = 13.4 1-5x + 14y = -4.6將心的結(jié)果代入分別求得:V, =2.9-(3x 0.9626+0.0152)=- 0.003 v2 = 0.9-(0.9626-2x0.0152)=-0.0322 > v3 = 1.9-(2x 0.9626-3 x 0.0152)=0.0204第五章：最小二乘法原理得，3，匕2=匕2+匕2+匕2/=1=(-0.003)2 +(-0.0322)2 +(0.0204)2= 0.00146由題已知， =3, 1 = 2得0.0382第五章：最小二乘法原理由不定乘數(shù)的方程組

5、14人54, 二 15JU + I4JI2 = 0146721-5J22 = 0一5八+ 14d” = l得4i =0.0819d” = 0.0819得區(qū) 二=0.038270.0819= 0.0109巴= 0.0382n/0.0819= 0.0109方法二（按矩陣形式計(jì)算）：由誤差方程AV=L - AXV)= 2.9-(3% + 2y) v2 = 0.9-(x-2y) > v3 = 1.9-(2x-3y)第五章：最小二乘法原理上式可以表示為一百1 一2 ，2 J，即第五章：最小二乘法原理可得式中=C lA/L = (A/ArIA,L1 114 5 = J_114 5|14 -L14 5

6、而14 5VhwH第五章：最小二乘法原理所以C-AE142.917114-2 -30.91.9474 132.91711V729-23-320.91.9164.6第五章：最小二乘法原理即解得,x = 0.9626y = 0.0152；將最佳估計(jì)值代入誤差方程可得,AV=L-AX=%V2;3 11 -22 -32.90.91.9第五章：最小二乘法原理0.96260.01520.0030-0.03220.0204將計(jì)算得到的數(shù)據(jù)代入式中n-t46X10 =0.0382為求出估計(jì)量X，y的標(biāo)準(zhǔn)差，首先求出不 定常數(shù)四（，/ = 1，2）。由已知，不定常數(shù)分的系數(shù)與正規(guī)方程的系數(shù)相同,而先是矩陣5中各

7、元素，即=4514= 0.081917114 = 0.0819171第五章：最小二乘法原理可得估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為b、= 0.03 827(10819= 0.0109巴=VZ = 0.0382s/0.0819=0.01095-3測(cè)力計(jì)示值與測(cè)量時(shí)的溫度/的對(duì)應(yīng)值獨(dú)立測(cè)得如下表所示。t/151821242730FIN43.6143.6343.6843.7143.7443.78設(shè)£無誤差,F值隨，的變化呈線性關(guān)系F = k°+kt,試給出線性方程中系數(shù)熱和火的最小二乘估計(jì)及其相應(yīng)精度。第五章：最小二乘法原理解：利用矩陣求解，誤差方程丫“一女可寫成第五章：最小二乘法原理V =L =1

8、12，543.61'43.6343.6843.7143.74A =1111115'18212427Ax =K k94.43.7813()第五章：最小二乘法原理可得=（3"工=（人”）一么工式中21242730C-I = (A7 A)-11111111518212427306135135 3165一13195 -1356135 1-1356135 31651 3195-135"-9451 356第五章：最小二乘法原理所以g#o = C-"L43.6143.6343.6843.7143.7443.78k_ 1 P3195 -135j 111111 94

9、5 -135615 18 21 24 27 3043.4324-0.01152將最佳估計(jì)值代入誤差方程V = L-A0得15182143.432424 0.01 15227300.0048-0.009760.005680.00112-0.00344B0.002tmii第五章：最小二乘法原理為求出估計(jì)量心A的標(biāo)準(zhǔn)差,需要求出不定乘數(shù)%的系數(shù),而不定乘數(shù)分的系數(shù)與正規(guī)方程的系數(shù)相同,因而四是矩陣L中各元素，即C13195 -135945 1356m中第五章：最小二乘法原理則3195dxx = = 338095"945= = 0.0063522 945可得估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為氣一向=0.006

10、43.38095= 0.001 15/ = 0 曲=0.0064770.00635= 0.00051 f第五章：最小二乘法原理5-5不等精度測(cè)量的方程組如下：x 3y = 5.6 9=1；4x + y = 8.1, P2 = 2 .2x 3y = 0.5 ,乙=3試求X、丁的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。IftHOI!第五章：最小二乘法原理解：利用矩陣計(jì)算-1 - 3一A= 4 12 -1；l_y；/,-5.6L= /2 = 8.1。-5MB-1 0 0P= 0 2 00 0 3= (ArPA) 'ArPL第五章：最小二乘法原理另C* = A*rA* = A7PArJl1 4 2=0一3

11、 1 -1LJ 0_ _ 186 _-3 2 - 3_ _45 -r- -1 14olFi-31-1第五章：最小二乘法原理45 -11-1 141 11 F1445629 1145(A/PAr，A/PL = C*-,ArPL114 1 ir 16291 45_|-3 1 -1-5.68.10.5第五章：最小二乘法原理將最佳估計(jì)值代入誤差方程v = l .得V1匕5.68.10.5-31-11.4352.3520.0230.0095-0.0165可計(jì)算_ /VrPV _ 11X O.O23O2 + 2 X O.OO952 + 3 x (-0.0165)2° "不丁332= 0

12、0392又知14= = 0.02226 x 0.0223629 45d” =4=0.07154 « 0.0715629川川第五章：最小二乘法原理可得估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為crv =0向=0.0392j0.0223= 0.00596 = ay/d22 = 0.0392j0.07l5 = 0.0105第五章：最小二乘法原理5-7將下面的非線性誤差方程組化成線性的 形式，并給出未知參數(shù)孫超的二乘法處理及其 相應(yīng)精度。匕=5.13玉 v3 = 13.21 (Xj +w)v2 = 8.26%v4 = 3.01 第五章：最小二乘法原理解：1.由前面三個(gè)線性的誤差方程V = L . A可解得X, x2的

13、近似估計(jì)值/，工20利用矩陣形式求解:5.13=8.2613.211 0一0 11 1 ;第五章：最小二乘法原理可得玉=C-IA/L = (AyA)-,A/L第五章：最小二乘法原理式中第五章：最小二乘法原理所以，Ax =王 x2= C",A7I3 -15.138.2613.212-1-125.138.2613.211 15.21003 24.60005.0700-8.2000加而陽川第五章：最小二乘法原理2.取孫得近似值xio=5.O7OO, x2O=8.2(X), 令玉=Fo+gX2 =m2。+昆可將誤差方程線性化, 偏導(dǎo)a” =1dx, 1 1 10現(xiàn)分別對(duì)測(cè)量方程求第五章：最小

14、二乘法原理_ Of4_ X2(Xl +X2)-X1X2,X2=0.3818 X T|C的%=0.1460月T|O叼=%dxx一(Xj +x2)2=Of4 I= 一|(7 +-2)一 項(xiàng)“2&2(X, + X2)2掂(3+“2)2二 不2:益(項(xiàng)+)2第五章：最小二乘法原理則誤差方程化成線性方程組V=L-A6,4 - 工（*10,*20）0.06，2 - 以西0，“20)0.044 -八(芭0'120-0.064 一 Z»（XO，*2o L-0.12,第五章：最小二乘法原理1o10.38180110.1460第五章：最小二乘法原理可得-C-1 ATL , = (AT A)-1 AtL，第五章：最小二乘法原理式中C-1 =(ArAr,T1 0 1 0.381810一。11 0.1460J10.1460 ：o.38182.1458 1.0557?!1.0557 2.0213 MB-_ 0.6272 -0.3276- -0.3276 0.6658用川第五章：最小二乘法原理所以'0.06 "_ F 0.6272 -0.32761 Fl 0 1 0.3818'0.04一1一0.3276 0