（整理版）專題補(bǔ)充學(xué)習(xí)空間向量法解決立體幾何問(wèn)題

1、專題補(bǔ)充學(xué)習(xí)-空間向量法解決立體幾何問(wèn)題一知識(shí)回憶：1、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo)，y軸是縱軸對(duì)應(yīng)為縱軸，z軸是豎軸對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo).令，那么,， (用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：)2、空間兩點(diǎn)的距離公式：.專題提綱一、引入兩個(gè)重要空間向量1、直線的方向向量；2、平面的法向量。二、立體幾何問(wèn)題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系；(1)直線與直線的位置關(guān)系;(2)直線與平面的位置關(guān)系;(3)平面與平面的位置關(guān)系;2、求解空間中的角度；3、求解空間中的距離。abzyxo:把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖1,在空間直角坐標(biāo)系中,

2、由a(x1,y1,z1)與b(x2,y2,z2)確定的直線ab的方向向量是n:如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面,稱這個(gè)向量垂直于平面,記作n,這時(shí)向量n叫做平面的法向量. 3.在空間直角坐標(biāo)系中,如何求平面法向量的坐標(biāo)呢? 如圖2,設(shè)a=( x1,y1,z1)、=(x2,y2,z2)是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知,假設(shè)na且nb,那么n.換句話說(shuō),假設(shè)n·a = 0且n·b = 0,那么n . nba4.求平面的法向量的坐標(biāo)的步驟第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)n·a = 0且n&

3、#183;b = 0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個(gè)正數(shù)(當(dāng)然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐標(biāo). 【例題賞析】 例1：在棱長(zhǎng)為2的正方體abcd-a1b1c1d1中,o是面ac的中心,求面oa1d1的法向量. aaabcdoa1b1c1d1zxybaba1.判定直線、平面間的位置關(guān)系(1)直線與直線的位置關(guān)系 不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a ,b. 假設(shè)ab,即a=b,那么ab. 假設(shè)ab,即a·b = 0,那么ab【例題賞析】 例2：平行六面體abcd-a1b1c1d1的底面abcd是菱形,c1cb=c1cd

4、=bcd=,求證: c c1bda1b1c1d1cbadnal(2)直線與平面的位置關(guān)系 直線l的方向向量為a,平面的法向量為n,且l . nla假設(shè)an,即a =n,那么 l 假設(shè)an,即a·n = 0,那么l .【例題賞析】 例3:棱長(zhǎng)都等于2的正三棱柱abc-a1b1c1, d,e分別是ac,cc1的中點(diǎn),求證: (i)a1e 平面dbc1; (ii)ab1 平面dbc1a1c1b1acbedzxy(3)平面與平面的位置關(guān)系平面的法向量為n1 ,平面的法向量為n2 n1n1n2n2假設(shè)n1n2,即n1=n2,那么 假設(shè)n1n2,即n1 ·n2= 0,那么【例題賞析】例

5、4:正方體abcd-a1b1c1d1中，e、f分別是bb1、cd的中點(diǎn),求證:面aed面a1fdzxyabcdfea1b1c1d1(1)兩異面直線的夾角利用向量法求兩異面直線所成的夾角,不用再把這兩條異面直線平移,求出兩條異面直線的方向向量,那么兩方向向量的夾角與兩直線的夾角相等或互補(bǔ),我們僅取銳角或直角就行了.【例題賞析】 例5:如圖在正方體abcd-a1b1c1d1中,m是ab的中點(diǎn),那么對(duì)角線db1與cm所成角的余弦值為_(kāi). bc a mxzyb1c1d1a1cdma(2)直線與與平面所成的角假設(shè)n是平面的法向量, a是直線l的方向向量,那么l與所成的角= -<a,n>或=

6、<a,n>- (下列圖) .naa n 于是,因此【例題賞析】例6:正三棱柱abc-a1b1c1的底面邊長(zhǎng)為a,高為 ，求ac1與側(cè)面abb1a1所成的角zxyc1a1b1acbo3二面角bao設(shè)n1 、n2分別是二面角兩個(gè)半平面、的法向量，由幾何知識(shí)可知，二面角-l-的大小與法向量n1 、n2夾角相等選取法向量豎坐標(biāo)z同號(hào)時(shí)相等或互補(bǔ)選取法向量豎坐標(biāo)z異號(hào)時(shí)互補(bǔ)，于是求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面法向量的夾角，這樣可防止了二面角的平面角的作圖麻煩.bao、二面角 是銳二面角bao、二面角 是鈍二面角bao【例題賞析】例7:在四棱錐s-abcd中dab=abc=90°，側(cè)棱sa底面ac，sa=ab=bc=1，ad=2，求二面角a-sd-c的大小.adsbxyczahbn(2)點(diǎn)到平面的距離a為平面外一點(diǎn)(如圖), n為平面的法向量,過(guò)a作平面的斜線ab及垂線ah. = = . 于是，點(diǎn)到平面的距離等于平面內(nèi)外兩點(diǎn)的向量和平面的法向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與平面的法向量模的比值.【例題賞析】例9 :在直三棱柱abc-a1b1c1中,aa1= ,ac=bc=1,acb=90°, 求b1到面a1bc的距離.zxycc1a1b1ab 空間向量理論引入立體幾何中，通常涉及到夾角、平行、垂直、距離等問(wèn)題，其方法是不必添加繁