5.1平面向量的概念及線性運算-學(xué)生解析

1、 5.1 平面向量的概念及線性運算 【2014 高考會這樣考】1考查平面向量的概念、線性運算； 2考查向量運算的幾何意義，向量 共線的應(yīng)用. 【復(fù)習(xí)備考要這樣做】1重視向量的概念，熟練掌握向量加減法及幾何意義； 2理解應(yīng)用向量 共線和點共線、直線平行的關(guān)系. 基礎(chǔ)知識*自主學(xué)習(xí) I要點梳理I 1. 向量的有關(guān)概念 名稱 定義 備注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大 小叫做向量的長度（或稱模） 平面向量是自由向量 零向量 長度為零的向量；其方向是任意的 記作 0 單位向量 長度等于 1 個單位的向量 非零向量 a 的單位向量為 a a| 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0 與任一向量平行

2、或共線 共線向量 方向相同或相反的非零向量又叫做 共線向量 相等向量 長度相等且方向相同的向量 兩向量只有相等或不等， 不能比較大小 相反向量 長度相等且方向相反的向量 0 的相反向量為 0 向量 a(a 0)與 b 共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù) X使得 b= X. 難點正本疑點清源 1. 向量的兩要素 向量具有大小和方向兩個要素用有向線段表示向量時，與有向線段起點的位置沒有關(guān) 系.同向且等長的有向線段都表示同一向量. 2. 一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的 向量. 3. 證明三點共線問題， 可用向量共線來解決， 但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別

3、與聯(lián)系, 當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線；另外，利用向量平行證明向量所在直 線平行，必須說明這兩條直線不重合. I基礎(chǔ)自測I 1. 若 a=向東走 8 km ”，b=向北走 8 km，貝 U |a+ b|= _ ； a+ b 的方向是 _ 答案 8 2 東北方向 解析 根據(jù)向量加法的幾何意義，|a+ b 表示以 8 km 為邊長的正方形的對角線長， |a+ b|= 8 2, a+ b 的方向是東北方向.2. 向 量向量運算 定義 法則(或幾何意義) 3. 加法 減法 數(shù)乘 共線向量定理 求兩個向量和的運算 求 a 與 b 的相反向量一 b 的和的運算叫做 a 與 b 的差 求實數(shù)入

4、與向量 a 的積 的運算 (1)1 也|=丨護|; (2)當(dāng)?0 時，掃的方向 與 a 的方向相同；當(dāng) X0 時，掃的方向與 a 的方向相反；當(dāng)匸0 時，掃=0 運算律 交換律：a + b =b+ a. (2)結(jié)合律： (a + b) + c= a+ (b+ c). a b= a + ( b) X厲)=入灌； (X+ p) a = X + 0 ； Xa + b) = ?a+ X 平鐵四邊聒怯嘰 三角形法則 有i=即觀察選項易知 C 滿足題意. 登 PJwww, zxstkw .com 免費聆聽名師教你解題 題型一 平面向量的概念辨析 【例 1】給出下列命題： 若|a|= |b|,貝 U a=

5、b;若 A, B, C, D 是不共線的四點，貝 U AB= DC 是四邊形 ABCD 為平行四邊形的充要條件； 若 a= b, b= c,則 a= c;a = b 的充要條件是|a|= |b|且 a / b. 其中正確命題的序號是 _ . 2.如圖，在平行四邊形 ABCD 中，E 為 DC 邊的中點，且 AB= a, AD = b,則 EBE 1 答案 b- 2 a 解析 BE= BA + AD + 2DC = - a + b+ 1a = b-*a. 3.已知 D 為三角形 ABC 邊 BC 的中點，點 P 滿足 FA + BP+ CP= 0, AP=AD，則實數(shù) 入 的值為 _. 答案 2

6、 解析 如圖所示，由 AF= 何），且RA+ BP+ CP = 0,貝 y F 是以 AB、AC 為 鄰邊的平行四邊形的第四個頂點，因此 AP = 2PD，貝 U A 2. 4.已知 O 是厶 ABC 所在平面內(nèi)一點，D 為 BC 邊的中點，且 2OA + OB+ OC = 0,那么（ ） A.AO = OD B.AO = 2OD C.AO = 3OD D . 2AO= OD 答案 A 解析 由 2OA+ OB + OC = 0 可知，O 是底邊BC上的中線 AD的中點，故 AO = OD. 5. （2012 四川）設(shè) a、b 都是非零向量，下列四個條件中，話器成立的充分條件是（ A . a=

7、 b C. a = 2b 答案 C B . a / b D. a / b 且|a|= |b| 解析 咅表示與 a 同向的單位向量, |a I 呂表示與 b 同向的單位向量，只要 |b| a 與 b 同向，就 題型分類深度剖析 a E 答案 解析 不正確兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同. 正確./ AB = DC ,|AB|= |DC| 且 AB/ DC , 又/ A, B, C, D 是不共線的四點，四邊形 ABCD 為平行四邊形；反之，若四邊形 ABCD 為平行四邊形，則 AB / DC 且|AB|= |DC,因此， AB = DC. 正確./ a = b, a, b 的長度相等且

8、方向相同；又 b= c, b, c 的長度相等且方向相同， a, c 的長度相等且方向相同，故 a = c. 不正確.當(dāng) a / b 且方向相反時，即使|a|=|b|,也不能得到 a = b,故|a|= |b|且 a / b” 不是“a= b”的充要條件，而是必要不充分條件. 綜上所述，正確命題的序號是. 探究提高 (1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵. (2) 相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性. (3) 共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān). 向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時，不要把它與函數(shù)圖象移 動混為一談. 變成川堆|下列命題中正確的是 A

9、 . a 與 b 共線，b 與 c 共線，則 a 與 c 也共線 B .任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一個平行四邊形的四個頂點 C .向量 a 與 b 不共線，則 a 與 b 都是非零向量 D .有相同起點的兩個非零向量不平行 答案 C 解析 由于零向量與任一向量都共線，所以 A 不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向 量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構(gòu)不成四邊形，所以 B 不正 確；向量的平行只要求方向相同或相反， 與起點是否相同無關(guān)， 所以 D 不正確；對于 C, 其條件以否定形式給出， 所以可從其逆否命題入手來考慮， 假設(shè) a 與 b 不都是非零向量， 即 a 與

10、 b 中至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可知 a 與 b 共線，符 合已知條件，所以有向量 a 與 b 不共線，則 a 與 b 都是非零向量，故選 C. 題型二 向量的線性運算 【例 2】 如圖，以向量 O)A = a, O)B= b 為鄰邊作？OADB , BM = BC, CN = a 非零向量 a 與面的關(guān)系: a 曰 丙是 a 方向上的單位向量. 3 CD，用 a, b 表示 OM , ON, MN. 3 思維啟迪：結(jié)合圖形性質(zhì)，準(zhǔn)確靈活運用三角形法則和平行四邊形法則是向量加減運算 的關(guān)鍵. 解/ BA= 0A OB = a b, BM = &BA = ga1

11、b, 6 6 6 OM = OB + BM = ga + 5 b. 6 6 又/ OD = a + b, 1 - 1 - 1 - ON = OC + -CD = - OD + OD 3 2 6 2 二 2 2 =3OD=3a+3b， MN = ON OM = 3 a+ 2 b 1a 5b= 2 agb. 綜上，OM = ga + 5b, ON = 2a+ 2b, MN = a b. 6 6 3 3 2 6 探究提高 （1）解題的關(guān)鍵在于搞清構(gòu)成三角形的三個問題間的相互關(guān)系， 能熟練地找出 圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化. （2）用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：

12、觀察各向量的位置；尋找相應(yīng)的 三角形或多邊形；運用法則找關(guān)系；化簡結(jié)果. 變式訓(xùn)練 2 在厶ABC中，AB = c, AC = b,若點 D滿足 BD = 2DC，則 AD 等于（ 2 1 b+3c 5 2 B c； b 3 3 2 1 b3c 答案 A 1 2 D.3b+3c 解析 / BD = 2DC, AD AB = 2（AC AD）, 3AD = 2AC + AB, A=3AC+1AB=3b+芷 題型三共線向量定理及應(yīng)用 【例 3】設(shè)兩個非零向量 a 與 b 不共線， (1)若 AB= a+ b, BC= 2a + 8b, CD = 3(a b),求證：A、B、D 三點共線; 試確定實

13、數(shù) k,使 ka+ b 和 a + kb 共線. 思維啟迪：解決點共線或向量共線的問題，要結(jié)合向量共線定理進行. (1)證明/ AB = a+ b, BC = 2a + 8b, CD = 3(a b), BD = BC + CD = 2a+ 8b+ 3( a b) =2 a + 8b+ 3 a 3 b= 5( a+ b)= 5AB. AB、BD 共線，又它們有公共點 B, A、B、D 三點共線. 解 / ka+ b 與 a+ kb 共線， 存在實數(shù) 人 使 ka+ b= Xa + kb), 即 ka + b= X + X b. (k Xa= ( X k- 1)b. a、b 是不共線的兩個非零向

14、量， 2 - k X= X： 1 = 0, - k 1 = 0. k= 1. 探究提高 證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的 區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線. 向量 a、b 共線是指存在不全為零的實數(shù) X , X，使Xa+ Xb= 0 成立，若Xa + Xb= 0, 當(dāng)且僅當(dāng)X= X= 0 時成立，則向量 a、b 不共線. 變咒汕I練:；設(shè)D、E、F 分別是 ABC 的三邊 BC、CA、AB 上的點，且 DC = 2BD, CE = 2EA, AF = 2FB，貝 V AD + BE+ CF 與 BC ( ) A .反向平行 B .同向平行

15、C .互相垂直 D .既不平行也不垂直 答案 A 解析 由題意，得 DC = DA + AC, BD = BA+AD. 又 DC = 2BD，所以 DA + AC = 2(BA+ AD). 所以 AD = 3AC+ |AB. 同理，得 BE = 3BC+|BA , CF = 3CA+ 2CB. 將以上三式相加，得 AD + BE + CF = BC.故選A. 思想與方法系列9 方程思想在平面向量的線性運算中的應(yīng)用 典例：(14 分)如圖所示，在 ABO 中，OC= ；OA, OD = OB , AD 與 BC 相交于點 M，設(shè) OA = a, OB = b.試用 a 和 b 表示向量 OM.

16、. 0 c 審題視角 (1)用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基 本要領(lǐng)，要盡可能地轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中去. (2) 既然 OM 能用 a、b 表示，那我們不妨設(shè)出 OM = ma + nb. (3) 利用向量共線建立方程，用方程的思想求解. 規(guī)范解答 解設(shè)OM =ma+ nb, 則 AM = OM OA = ma+ n b a= (m 1) a+ nb. 于 于 于 1 于 于 1 AD = OD OA= OB OA= a+ -b.3 分 又 A、M、D 三點共線， AM 與 AD 共線. 存在實數(shù) t，使得 AM = tAD , 1 (m 1) a+ n b= ta + tb

17、. m 1 = t t ，消去 t 得，m 1 = 2n, n = 2 即 m + 2n = 1. 7 分 又 T CM = OM OC = ma + nb *a= m 4 a+ nb, CB = OB OC= b ga=- a+ b. 4 4 又 C、M、B 三點共線， CM 與 CB 共線.10 分 存在實數(shù) t1,使得CM = rCB, 1 1 m 4 a + nb= t1 4a + b , 消去 b 得，4m+ n=1.12 分 由得 m= 1，n= 7, OM = 7a + 3b.14 分 溫馨提醒 (1)本題考查了向量的線性運算，知識要點清楚，但解題過程復(fù)雜，有一定的 難度.易錯點

18、是，找不到問題的切入口，亦即想不到利用待定系數(shù)法求解. 數(shù)形結(jié) 合思想是向量加法、減法運算的核心，向量是一個幾何量，是有形”的量，因此在解 決向量有關(guān)問題時，多數(shù)習(xí)題要結(jié)合圖形進行分析、判斷、求解，這是研究平面向量最 重要的方法與技巧.如本題易忽視 A、M、D 共線和 B、M、C 共線這個幾何特征.(4) 方程思想是解決本題的關(guān)鍵，要注意體會 即(m 1)a+ n b= t a+ 分 n = t1 1 =1t1 思想方法*感悟提高 方法與技巧 1. 將向量用其它向量（特別是基向量）線性表示，是向量坐標(biāo)形式的基礎(chǔ). 2 可以運用向量共線證明線段平行或三點共線. 如CD且 AB 與 CD 不共線，

19、則 AB / CD; 若 AB / Be，貝 y A、B、C三點共線. 失誤與防范 1.解決向量的概念問題要注意兩點： 一是不僅要考慮向量的大小， 更重要的是要考慮向量的 方向；二是考慮零向量是否也滿足條件.要特別注意零向量的特殊性. 2 .在利用向量減法時，易弄錯兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯誤. 練出高分 A 組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 （時間：35 分鐘，滿分：57 分） 一、選擇題（每小題 5 分，共 20 分） 1 .給出下列命題： 兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量； 兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大??； 掃=0（入為實數(shù)），則入必為零； 人為實數(shù)，若/a= b，

20、貝 U a 與 b 共線. 其中錯誤命題的個數(shù)為 （ ） A . 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案 C 解析 錯，由于終點相同，兩起點不一定相同，所以可以不共線. 對，由于模是實數(shù)，所以可以比較大小. 錯，由于 a = 0,苗 0 時，也可以得 掃=0. 錯，當(dāng) L 尸 0 時，雖然/a=山，但是 a 與 b 可以不共線.錯誤命題個數(shù)為 3. 2 .設(shè) P 是厶 ABC 所在平面內(nèi)的一點，BC+ BA = 2BP，則 A. PA + PB= 0 B.PC + PA= 0 C.PB + PC= 0 D.PA+PB+PC=0 答案 B 、填空題（每小題 5 分，共 15 分） 5. _ 設(shè)

21、a、b 是兩個不共線向量， AB = 2a+ pb, BC= a + b, CD = a 2b,若 A、B、D 三點共 線，則實數(shù) p 的值為 . 答案 1 解析 / BD = BC+ CD = 2a b,又 A、B、D 三點共線， T T 2= 2 入 存在實數(shù)人使 AB = BD.即 , p = 1. Ip=入 6. _ 在？ABCD 中，AB = a, AD = b, AN = 3NC, M 為 BC 的中點，則 IMN = _ (用 a, b 表示). 1 1 答案 一 Ta + 4b 4 4 解析 由 AN = 3NC 得 AN= 3AC= 3( a+ b), 4 4、 八 解析 如

22、圖，根據(jù)向量加法的幾何意義有 BC+ BA= 2BP? P 是 AC 的中點，故 PA+ PC = 0. 3. 已知向量 a, b 不共線，c= ka+ b (k R), d= a b.如果 c/ d,那么 (A . k= 1 且 c 與 d 同向 C. k= 1 且 c 與 d 同向 B. k= 1 且 c 與 d 反向 D . k= 1 且 c 與 d 反向 X= 1 4. (2011 四川)如圖，正六邊形 ABCDEF 中，BA + CD + EF 等于( A . 0 B.BE C.AD D.CF 答案 D 解析因 ABCDEF 是正六邊形, E A D E AM = a + 為，所以

23、MN = AN AM 3 1 1 1 =嚴(yán) + b) a+ 尹=4 a+ b. 7. 給出下列命題: 向量 AB 的長度與向量 BA 的長度相等； 向量 a 與 b 平行，則 a 與 b 的方向相同或相反; 兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同； _ 向量 AB 與向量 CD 是共線向量，則點 A、B、C、D 必在同一條直線上. 其中不正確的個數(shù)為 _ . 答案 2 解析命題正確，不正確. 三、解答題洪 22 分） 1 8. （10 分）若 a, b 是兩個不共線的非零向量， a 與 b 起點相同，則當(dāng) t 為何值時，a, tb, （a + b）三向量的終點在同一條直線上？ 解 設(shè) 0A

24、= a, OB = tb, 0C= 1（a+ b）, 3 - - - 2 1 - - - AC = OC OA= 3a + 3b, AB = OB-OA = tb- a. 3 3 要使 A、B、C 三點共線，只需 AC =沁 2 1 即3a + 3 =入 b也 .當(dāng) t=2 時，三向量的終點在同一條直線上. 9. （12 分）在厶 ABC 中，E、F 分別為 AC、AB 的中點，BE 與 CF 相交于 G 點，設(shè) AB= a, AC= b,試用 a, b 表示 AG. 解 AG=AB + BG= AB+ ?BE =AB + 彳 BA + BC) B+ 2(AC AB) T入T 入 =(1 為

25、AB + 2AC= (1 Ra + 2 b. T T T T T T im T T 又 AG = AC + CG= AC+ mCF = AC+ (CA + CB) TT m - m =(1 m)AC+ -AB = - a+ (1 m) b,-1=-入 .有 1 t= 2 匸 m= 3, AG =1 a+ 3b. B 組專項能力提升 (時間：25 分鐘，滿分：43 分) 一、選擇題(每小題 5 分，共 15 分) 1 . (2012 浙江)設(shè) a, b 是兩個非零向量. A .若 |a+ b|= |a| |b|,貝U a 丄 b B .若 a 丄 b,則 a+ b|= |a| |b| C .若|

26、a+ b|= |a| |b|,則存在實數(shù) 入使得 b= /a D .若存在實數(shù) 人使得 b=掃，則|a+ b|= |a| |b| 答案 C 解析 利用向量運算法則，特別是|a|2= a2求解. 由 |a+ b|= |a| |b| 知 (a + b)2= (|a| |b|)2, 即 a2 + 2a b+ b2= |a|2 2|a|b|+ |b|2, a b= |a|b|. / a b= |a|b| cos a, b, cos a, b= 1, a, b = n, 此時 a 與 b 反向共線，因此 A 錯誤. 當(dāng) a 丄 b 時，a 與 b 不反向也不共線，因此 B 錯誤. 若|a+ b|= |a

27、| |b|,則存在實數(shù) 冶一 1,使 b= a, 滿足 a 與 b 反向共線，故 C 正確. 若存在實數(shù)人使得 b=掃， 則 |a+ b|= |a+ ?a|= |1 + /|a|, |a| |b|= |a| | /a|= (1|/)|a|,只有當(dāng)一 1w 入w 0 時，|a+ b|= |a| |b|才能成立，否則不能 成立，故 D 錯誤. 2. 已知 ABC 和點 M 滿足 MA + IMB + MC = 0,若存在實數(shù) m 使得 AB + AC = mAM 成立，則 m 等于 C. 4 答案 B 解析 由已知條件得MB + MC = MA. 如圖，因此延長 AM 交 BC 于 D 點，貝 y

28、 D 為 BC 的中點.延長 BM 交 AC 于 E 點，延長 CM 交 AB 于 F 點，同理可證 E、F分別為 AC、廣 m 1 /= 2 ( ，解得 入 1 m=2 C AB 的中點，即 M為厶ABC 的重心. AM = 2AD = 1(AB + AC)，即 AB+ AC= 3AM,則 m= 3. 3. O 是平面上一定點， A、B、C 是平面上不共線的三個點，動點 P 滿足: OP=OA+ 入 AB + AC 4AB| |AC|j 入 0,+ ），貝 U P 的軌跡一定通過厶 ABC 的 A .外心 B .內(nèi)心 C .重D .垂心 答案 B 解析 作/ BAC 的平分線 AD. AB . AC / OP = OA + 入塑+ MAB| |AC” AB + AC 屆| ACI丿 =X竽 |AD| (入 0 ,+ a ), AP亠 |AD| AD , AP / P 的軌跡一定通過 ABC 的內(nèi)心. 二、填空題（每小題 5 分，共 15 分） 4 .已知向量 a, b 是兩個非零向量，則在下列四個條件中，能使 a、b 共線的條件是 _ （將正確的序號填在橫線上 ）. 2a 3b= 4e,且 a+ 2b= 3e; 存在相異實數(shù) 入