（整理版）二分法的應(yīng)用你了解多少

1、二分法的應(yīng)用你了解多少函數(shù)與方程的思想貫穿了高中數(shù)學(xué)的始終，而且函數(shù)與方程緊密聯(lián)系，函數(shù)的零點(diǎn)就是相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根，研究二分法求方程的近似解問(wèn)題，首先是通過(guò)估算，數(shù)形結(jié)合借助計(jì)算器、計(jì)算機(jī)等手段來(lái)確定一個(gè)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間。本文通過(guò)幾個(gè)具體例子來(lái)看看二分法有何應(yīng)用。一、求方程的近似解例1.證明方程6-3x=2x在區(qū)間1,2內(nèi)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)解，并求出這個(gè)實(shí)數(shù)解精確到0.1). 證明: 設(shè)函數(shù)使f(x)=2x+3x-6.f(l)=-1<0,f(2)=4>0,又f(x)是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)=2x3x-6在區(qū)間1,2有唯一的零點(diǎn)，那么方程6-3x=2x在區(qū)間1,2有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)解 設(shè)

2、該解為x0，那么x01,2，取x1=1.5，f(1.5)=0.33>0，. f(1)·f(1.5)<0， x0 (1,1.5) 取x21.25，f(1.15)0.1280，f(1)·f(1.25)0，x0(1,1.25) 取x31.125，f(1.125)-0.440，f(1.125)·f(1.25)0，x0(1.125,1.25) 取x41.187 5,f(1.187 5)-0.160，f (1.187 5)·f(1.25)0，.x0(1.187 5,1,25)|1.25-1.87 5|=0.062 50.1，可取x01.2，那么方程的實(shí)數(shù)

3、解為x0=1.2.點(diǎn)評(píng)：用二分法求方程實(shí)數(shù)解的思想是非常簡(jiǎn)明的、但是為了提高解的精確度，用二分法求方程實(shí)數(shù)解的過(guò)程又是較長(zhǎng)的，有些計(jì)算不用計(jì)算工具甚至無(wú)法實(shí)施，所以需要借助科學(xué)計(jì)算器二、判斷方程解的個(gè)數(shù)例2.函數(shù)f (x)在其定義域上是單調(diào)函數(shù)，證明f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)分析:不妨設(shè)f(x)在r上是增函數(shù)，為證明f(x)=0至多有一個(gè)實(shí)根，考慮用反證法證明證明: 假設(shè)f(x)=0至少有兩個(gè)不同的實(shí)根x1,x2，且不妨設(shè)x1<x2，由題意得f(x1)o,f(x2)=0, f(x1)f(x2) f(x)在定義域上是單調(diào)菌數(shù)，不妨設(shè)為增函數(shù)，由x1x2，那么f(x1)<f(x2)因此矛盾

4、，假設(shè)不成立，故f(x)=0至多有一個(gè)零點(diǎn)三、求一定條件下的函數(shù)的零點(diǎn)f(x)=x3+x2-2x-2的一個(gè)為正數(shù)的零點(diǎn)精確到0.1分析：用二分法，要注意到初始區(qū)間的選取。解：由于f(1)=-2<0,f(2)=6>0,可取區(qū)間1,2作為計(jì)算的初始區(qū)間。用二分法逐次計(jì)算，列表如下：端點(diǎn)中點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算中點(diǎn)的函數(shù)值取區(qū)間f(1)=-2<0f(6)=6>01,2x1f(x1)=0.625>01,1.5x2f(x2)=-0.984<01.25,1.5x3f(x3)=-0.260<01.375,1.5x4f(x4)=0.165>01.375,1.438x5f(x

5、5)=-0.052<0例3題圖x1-2-10y由上表的計(jì)算可知，區(qū)間1.375,1.438的長(zhǎng)度小于0.1，所以這個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)x5f(x)=x3+x2-2x-2的圖象如圖.實(shí)際上還可用二分法繼續(xù)算下去，進(jìn)而得到這個(gè)零點(diǎn)精確度更高的近似值.點(diǎn)評(píng)：給定精確度，用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)的近似值應(yīng)該按課本p105的四個(gè)步驟進(jìn)行.四、確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)例4二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,ac0，那么函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 . 分析: c=f(0),ac=a f(0)<0, 或.函數(shù)必有兩零點(diǎn)或ac0b2-4ac0,函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn). 答案:2.點(diǎn)評(píng)：用二分法求方程近似解，關(guān)鍵是判斷近似解所在的區(qū)間a

6、,b，用二分法選定初始區(qū)間時(shí)，往往通過(guò)分析函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，并通過(guò)試驗(yàn)確定端點(diǎn)。五、求一些無(wú)理數(shù)的值二分法不僅僅用于求函數(shù)零點(diǎn)或方程的根，它還有很多應(yīng)用，例如求一些無(wú)理數(shù)的值，解決實(shí)際問(wèn)題等例5. 求的近似值精確到0.01) 分析：假設(shè)設(shè)x=，那么x3-2=0，因此的近似值就是方程x3-2=0的根的近似值，也就是函數(shù)y=x3-2的近似零點(diǎn) 解：設(shè)x=，那么x3-2=0,令f(x)=x3-2,那么函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零點(diǎn)的近似值 由于f(1)=-1<0,f(2) =6>0,故可以取區(qū)間1,2為計(jì)算的初始區(qū)間用二分法逐步計(jì)算，列表如下： 區(qū)間1.2

7、57 812 5，1.265 625的長(zhǎng)度1.265 625-1.257 812 5=0. 007 81<0. 01，所以這個(gè)區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)的近似值都可以作為函數(shù)f(x)零點(diǎn)的近似值是1.26,即的近似值是1.26. 六、解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題二分法不僅僅用于求函數(shù)零點(diǎn)或方程的根，它在現(xiàn)實(shí)生活中也有許多重要的應(yīng)用例5.在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫(kù)閘房到防洪指揮部的 線路發(fā)生了故障這是一條10 km長(zhǎng)的線路，如何迅速查出故障所在？ 如果沿著線路一閘門待查指揮部一小段一小段查找，困難很多每查一個(gè)點(diǎn)要爬一次電線桿子，10 km長(zhǎng)，大約有200多根電線桿子呢 想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？ 如圖，他首先從中點(diǎn)c查用隨身帶的話機(jī)向兩端測(cè)試時(shí)，發(fā)現(xiàn)ac段正常，斷定故障在bc段，再到bc段中點(diǎn)d，這次發(fā)現(xiàn)bd段正常，可見(jiàn)故障在cd段，再到cd中點(diǎn)e來(lái)查每查一次，可以把待查的線路長(zhǎng)度縮減一半，算一算，要把故障可能發(fā)生的范圍縮小到50100 m左右，即一兩根電線桿附近，要查多少次？ 解: 用簡(jiǎn)便易行的方法最多測(cè)試7次就能找到故障，方法是： 10km線路共有200根電桿 第一次測(cè)試第100根， 第二次測(cè)試有故障的一側(cè)中的第50根， 第三次再測(cè)有故障的一側(cè)中的第25根， 去掉一根，有可能故障在這里 再側(cè)有故障的一段中的第12根， 第五次測(cè)有故障一段中的第6根，第六次側(cè)試