（整理版）反函數(shù)

1、反函數(shù)、反函數(shù)的定義：設(shè)有函數(shù)，假設(shè)變量y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值y0時，變量x在函數(shù)的定義域內(nèi)必有一值x0與之對應(yīng)，即來表示，稱為函數(shù)的反函數(shù).注：由此定義可知，函數(shù)也是函數(shù)的反函數(shù)。 、反函數(shù)的存在定理：假設(shè)在(a，b)上嚴(yán)格增(減)，其值域為 r，那么它的反函數(shù)必然在r上確定，且嚴(yán)格增(減).注：嚴(yán)格增(減)即是單調(diào)增(減)例題：y=x2，其定義域為(-,+)，值域為0,+).對于y取定的非負(fù)值,可求得x=±.假設(shè)我們不加條件，由y的值就不能唯一確定x的值，也就是在區(qū)間(-,+)上，函數(shù)不是嚴(yán)格增(減)，故其沒有反函數(shù)。如果我們加上條件，要求x0，那么對y0、x=就是y=x2在要

2、求x0時的反函數(shù)。即是：函數(shù)在此要求下嚴(yán)格增(減). 、反函數(shù)的性質(zhì)：在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，與的圖形是關(guān)于直線y=x對稱的。例題：函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，那么它們的圖形在同一直角坐標(biāo)系中是關(guān)于直線y=x對稱的。如右圖所示： 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)的定義：假設(shè)y是u的函數(shù)：，而u又是x的函數(shù)：，且的函數(shù)值的全部或局部在的定義域內(nèi)，那末，y通過u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，我們稱后一個函數(shù)是由函數(shù)及復(fù)合而成的函數(shù)，簡稱復(fù)合函數(shù)，記作，其中u叫做中間變量。注：并不是任意兩個函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。例題：函數(shù)與函數(shù)是不能復(fù)合成一個函數(shù)的。因為對于的定義域(-,+)中的任何x值所對應(yīng)的u值都大于或等于2

3、，使都沒有定義。初等函數(shù)、根本初等函數(shù)：我們最常用的有五種根本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來把它們總結(jié)一下：函數(shù)名稱函數(shù)的記號函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)指數(shù)函數(shù) a):不管x為何值,y總為正數(shù); b):當(dāng)x=0時,y=1.對數(shù)函數(shù) a):其圖形總位于y軸右側(cè),并過(1,0)點 b):當(dāng)a1時,在區(qū)間(0,1)的值為負(fù)；在區(qū)間(-,+)的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增.冪函數(shù)a為任意實數(shù)這里只畫出局部函數(shù)圖形的一局部。 令a=m/n a):當(dāng)m為偶數(shù)n為奇數(shù)時,y是偶函數(shù); b):當(dāng)m

4、,n都是奇數(shù)時,y是奇函數(shù); c):當(dāng)m奇n偶時,y在(-,0)無意義.三角函數(shù)(正弦函數(shù)) 這里只寫出了正弦函數(shù) a):正弦函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù) b):正弦函數(shù)是奇函數(shù)且反三角函數(shù)(反正弦函數(shù))這里只寫出了反正弦函數(shù) a):由于此函數(shù)為多值函數(shù),因此我們此函數(shù)值限制在-/2,/2上,并稱其為反正弦函數(shù)的主值.、初等函數(shù)：由根本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運(yùn)算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一個解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù).例題：是初等函數(shù)。雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)、雙曲函數(shù)：在應(yīng)用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是：(用表格來描述)函數(shù)的名稱函數(shù)

5、的表達(dá)式函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)雙曲正弦a)：其定義域為:(-,+)；b)：是奇函數(shù)；c)：在定義域內(nèi)是單調(diào)增雙曲余弦a)：其定義域為:(-,+)；b)：是偶函數(shù)；c)：其圖像過點(0,1)；雙曲正切a)：其定義域為:(-,+)；b)：是奇函數(shù)；c)：其圖形夾在水平直線y=1及y=-1之間；在定域內(nèi)單調(diào)增；我們再來看一下雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的區(qū)別：雙曲函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)shx與thx是奇函數(shù)，chx是偶函數(shù)sinx與tanx是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù)它們都不是周期函數(shù)都是周期函數(shù)雙曲函數(shù)也有和差公式：、反雙曲函數(shù)：雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù).a)：反雙曲正弦函數(shù)   其定義域為：(-,+)