（整理版）橢圓與雙曲線的性質(zhì)橢圓

1、橢圓與雙曲線的性質(zhì)橢 圓1. 點p處的切線pt平分pf1f2在點p處的外角.2. pt平分pf1f2在點p處的外角，那么焦點在直線pt上的射影h點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3. 以焦點弦pq為直徑的圓必與對應(yīng)準線相離.4. 以焦點半徑pf1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.5. 假設(shè)在橢圓上，那么過的橢圓的切線方程是.6. 假設(shè)在橢圓外 ，那么過po作橢圓的兩條切線切點為p1、p2，那么切點弦p1p2的直線方程是.7. 橢圓 (ab0)的左右焦點分別為f1，f 2，點p為橢圓上任意一點，那么橢圓的焦點角形的面積為.8. 橢圓ab0的焦半徑公式：,( , ).9. 設(shè)過橢圓

2、焦點f作直線與橢圓相交 p、q兩點，a為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)ap 和aq分別交相應(yīng)于焦點f的橢圓準線于m、n兩點，那么mfnf.。、121210. 過橢圓一個焦點f的直線與橢圓交于兩點p、q, a1、a2為橢圓長軸上的頂點，a1p和a2q交于點m，a2p和a1q交于點n，那么mfnf.11. ab是橢圓的不平行于對稱軸的弦，m為ab的中點，那么，颯沓即。12. 假設(shè)在橢圓內(nèi)，那么被po所平分的中點弦的方程是.13. 假設(shè)在橢圓內(nèi)，那么過po的弦中點的軌跡方程是.雙曲線1. 點p處的切線pt平分pf1f2在點p處的內(nèi)角.2. pt平分pf1f2在點p處的內(nèi)角，那么焦點在直線pt上的射影h點的

3、軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3. 以焦點弦pq為直徑的圓必與對應(yīng)準線相交.4. 以焦點半徑pf1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.內(nèi)切：p在右支；外切：p在左支5. 假設(shè)在雙曲線a0,b0上，那么過的雙曲線的切線方程是阿薩德.6. 假設(shè)在雙曲線a0,b0外 ，那么過po作雙曲線的兩條切線切點為p1、p2，那么切點弦p1p2的直線方程是.7. 雙曲線a0,bo的左右焦點分別為f1，f 2，點p為雙曲線上任意一點，那么雙曲線的焦點角形的面積為.8. 雙曲線a0,bo的焦半徑公式：( , 當(dāng)在右支上時，,.當(dāng)在左支上時，,9. 設(shè)過雙曲線焦點f作直線與雙曲線相交 p、q兩點，a為雙

4、曲線長軸上一個頂點，連結(jié)ap 和aq分別交相應(yīng)于焦點f的雙曲線準線于m、n兩點，那么mfnf.10. 過雙曲線一個焦點f的直線與雙曲線交于兩點p、q, a1、a2為雙曲線實軸上的頂點，a1p和a2q交于點m，a2p和a1q交于點n，那么mfnf.11. ab是雙曲線a0,b0的不平行于對稱軸的弦，m為ab的中點，那么，即。12. 假設(shè)在雙曲線a0,b0內(nèi)，那么被po所平分的中點弦的方程是.13. 假設(shè)在雙曲線a0,b0內(nèi)，那么過po的弦中點的軌跡方程是.橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)-會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論橢 圓1. 橢圓abo的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于p1、p2時a1p1與a2p2交點的軌跡

5、方程是.2. 過橢圓 (a0, b0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于b,c兩點，那么直線bc有定向且常數(shù).3. 假設(shè)p為橢圓ab0上異于長軸端點的任一點,f1, f 2是焦點, , ，那么.4. 設(shè)橢圓ab0的兩個焦點為f1、f2,p異于長軸端點為橢圓上任意一點，在pf1f2中，記, ,，那么有.5. 假設(shè)橢圓ab0的左、右焦點分別為f1、f2，左準線為l，那么當(dāng)0e時，可在橢圓上求一點p，使得pf1是p到對應(yīng)準線距離d與pf2的比例中項.6. p為橢圓ab0上任一點,f1,f2為二焦點，a為橢圓內(nèi)一定點，那么,當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立.7. 橢圓與直線有公共點的充要條件是.8

6、. 橢圓ab0，o為坐標(biāo)原點，p、q為橢圓上兩動點，且.1;2|op|2+|oq|2的最大值為;3的最小值是.9. 過橢圓ab0的右焦點f作直線交該橢圓右支于m,n兩點，弦mn的垂直平分線交x軸于p，那么.10. 橢圓 ab0,a、b、是橢圓上的兩點，線段ab的垂直平分線與x軸相交于點, 那么.11. 設(shè)p點是橢圓 ab0上異于長軸端點的任一點,f1、f2為其焦點記，那么(1).(2) .12. 設(shè)a、b是橢圓 ab0的長軸兩端點，p是橢圓上的一點，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，那么有(1).(2) .(3) .13. 橢圓 ab0的右準線與x軸相交于點，過橢圓右焦點的直線與橢圓相交

7、于a、b兩點,點在右準線上，且軸，那么直線ac經(jīng)過線段ef 的中點.14. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，那么相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.15. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應(yīng)準線于一點，那么該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16. 橢圓焦三角形中,內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). 注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點.17. 橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比e.18. 橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項.橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)-會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)

8、論雙曲線1. 雙曲線a0,b0的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線于p1、p2時a1p1與a2p2交點的軌跡方程是.2. 過雙曲線a0,bo上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于b,c兩點，那么直線bc有定向且常數(shù).3. 假設(shè)p為雙曲線a0,b0右或左支上除頂點外的任一點,f1, f 2是焦點, , ，那么或.4. 設(shè)雙曲線a0,b0的兩個焦點為f1、f2,p異于長軸端點為雙曲線上任意一點，在pf1f2中，記, ,，那么有.5. 假設(shè)雙曲線a0,b0的左、右焦點分別為f1、f2，左準線為l，那么當(dāng)1e時，可在雙曲線上求一點p，使得pf1是p到對應(yīng)準線距離d與pf2的比例中項.6. p

9、為雙曲線a0,b0上任一點,f1,f2為二焦點，a為雙曲線內(nèi)一定點，那么,當(dāng)且僅當(dāng)三點共線且和在y軸同側(cè)時，等號成立.7. 雙曲線a0,b0與直線有公共點的充要條件是.8. 雙曲線ba 0，o為坐標(biāo)原點，p、q為雙曲線上兩動點，且.1;2|op|2+|oq|2的最小值為;3的最小值是.9. 過雙曲線a0,b0的右焦點f作直線交該雙曲線的右支于m,n兩點，弦mn的垂直平分線交x軸于p，那么.10. 雙曲線a0,b0,a、b是雙曲線上的兩點，線段ab的垂直平分線與x軸相交于點, 那么或.11. 設(shè)p點是雙曲線a0,b0上異于實軸端點的任一點,f1、f2為其焦點記，那么(1).(2) .12. 設(shè)a

10、、b是雙曲線a0,b0的長軸兩端點，p是雙曲線上的一點，, ,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，那么有(1).(2) .(3) .13. 雙曲線a0,b0的右準線與x軸相交于點，過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交于a、b兩點,點在右準線上，且軸，那么直線ac經(jīng)過線段ef 的中點.14. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，那么相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.15. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應(yīng)準線于一點，那么該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16. 雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注:在雙曲線焦三

11、角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點).17. 雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e.18. 雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到雙曲線中心的比例中項.圓錐曲線問題解題方法 圓錐曲線中的知識綜合性較強，因而解題時就需要運用多種根底知識、采用多種數(shù)學(xué)手段來處理問題。熟記各種定義、根本公式、法那么固然重要，但要做到迅速、準確解題，還須掌握一些方法和技巧。一. 緊扣定義，靈活解題靈活運用定義，方法往往直接又明了。例1. 點a3，2，f2，0，雙曲線，p為雙曲線上一點。求的最小值。 解析：如下圖， 雙曲線離心率為2，f為右焦點，由第二定律知即點p到

12、準線距離。 二. 引入?yún)?shù)，簡捷明快參數(shù)的引入，尤如化學(xué)中的催化劑，能簡化和加快問題的解決。例2. 求共焦點f、共準線的橢圓短軸端點的軌跡方程。 解：取如下圖的坐標(biāo)系，設(shè)點f到準線的距離為p定值，橢圓中心坐標(biāo)為mt，0t為參數(shù) ，而 再設(shè)橢圓短軸端點坐標(biāo)為px，y，那么 消去t，得軌跡方程三. 數(shù)形結(jié)合，直觀顯示將“數(shù)與“形兩者結(jié)合起來，充分發(fā)揮“數(shù)的嚴密性和“形的直觀性，以數(shù)促形，用形助數(shù)，結(jié)合使用，能使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題形象化。熟練的使用它，常能巧妙地解決許多貌似困難和麻煩的問題。例3. ，且滿足方程，又，求m范圍。 解析：的幾何意義為，曲線上的點與點3，3連線的斜率，如下圖 四.

13、應(yīng)用平幾，一目了然用代數(shù)研究幾何問題是解析幾何的本質(zhì)特征，因此，很多“解幾題中的一些圖形性質(zhì)就和“平幾知識相關(guān)聯(lián)，要抓住關(guān)鍵，適時引用，問題就會迎刃而解。例4. 圓和直線的交點為p、q，那么的值為_。 解： 五. 應(yīng)用平面向量，簡化解題向量的坐標(biāo)形式與解析幾何有機融為一體，因此，平面向量成為解決解析幾何知識的有力工具。例5. 橢圓：，直線：，p是上一點，射線op交橢圓于一點r，點q在op上且滿足，當(dāng)點p在上移動時，求點q的軌跡方程。 分析：考生見到此題根本上用的都是解析幾何法，給解題帶來了很大的難度，而如果用向量共線的條件便可簡便地解出。 解：如圖，共線，設(shè)，那么， 點r在橢圓上，p點在直線上

14、 ， 即 化簡整理得點q的軌跡方程為： 直線上方局部六. 應(yīng)用曲線系，事半功倍利用曲線系解題，往往簡捷明快，收到事半功倍之效。所以靈活運用曲線系是解析幾何中重要的解題方法和技巧之一。例6. 求經(jīng)過兩圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程。 解：設(shè)所求圓的方程為： 那么圓心為，在直線上 解得 故所求的方程為七. 巧用點差，簡捷易行在圓錐曲線中求線段中點軌跡方程，往往采用點差法，此法比其它方法更簡捷一些。例7. 過點a2，1的直線與雙曲線相交于兩點p1、p2，求線段p1p2中點的軌跡方程。 解：設(shè)，那么 <2><1>得 即 設(shè)p1p2的中點為，那么 又，而p1、a、m、p2共

15、線 ，即 中點m的軌跡方程是解析幾何題怎么解高考解析幾何試題一般共有4題(2個選擇題, 1個填空題, 1個解答題), 共計30分左右, 考查的知識點約為20 例1 點t是半圓o的直徑ab上一點，ab=2、ot=t (0<t<1)，以ab為直腰作直角梯形，使垂直且等于at，使垂直且等于bt，交半圓于p、q兩點，建立如下圖的直角坐標(biāo)系.(1)寫出直線的方程； 2計算出點p、q的坐標(biāo)； 3證明：由點p發(fā)出的光線，經(jīng)ab反射后，反射光線通過點q. 講解: 通過讀圖, 看出點的坐標(biāo).(1 ) 顯然, 于是 直線的方程為；2由方程組解出、； 3, . 由直線pt的斜率和直線qt的斜率互為相反數(shù)

16、知，由點p發(fā)出的光線經(jīng)點t反射，反射光線通過點q.需要注意的是, q點的坐標(biāo)本質(zhì)上是三角中的萬能公式, 有趣嗎?例2 直線l與橢圓有且僅有一個交點q，且與x軸、y軸分別交于r、s，求以線段sr為對角線的矩形orps的一個頂點p的軌跡方程 講解：從直線所處的位置, 設(shè)出直線的方程, 由，直線l不過橢圓的四個頂點，所以設(shè)直線l的方程為代入橢圓方程 得 化簡后，得關(guān)于的一元二次方程 于是其判別式由，得=0即 在直線方程中，分別令y=0，x=0，求得 令頂點p的坐標(biāo)為x，y， 由，得 代入式并整理，得 , 即為所求頂點p的軌跡方程方程形似橢圓的標(biāo)準方程, 你能畫出它的圖形嗎? 例3雙曲線的離心率，過的

17、直線到原點的距離是 1求雙曲線的方程； 2直線交雙曲線于不同的點c，d且c，d都在以b為圓心的圓上，求k的值. 講解：1原點到直線ab：的距離. 故所求雙曲線方程為 2把中消去y，整理得 . 設(shè)的中點是，那么 即故所求k=±.為了求出的值, 需要通過消元, 想法設(shè)法建構(gòu)的方程. 例4 橢圓c的中心在原點，焦點f1、f2在x軸上，點p為橢圓上的一個動點，且f1pf2的最大值為90°，直線l過左焦點f1與橢圓交于a、b兩點，abf2的面積最大值為12 1求橢圓c的離心率； 2求橢圓c的方程 講解：1設(shè), 對 由余弦定理, 得，解出 2考慮直線的斜率的存在性，可分兩種情況： i)

18、 當(dāng)k存在時，設(shè)l的方程為 橢圓方程為 由 得 .于是橢圓方程可轉(zhuǎn)化為 將代入，消去得 ,整理為的一元二次方程，得 .那么x1、x2是上述方程的兩根且，也可這樣求解： ，ab邊上的高 ii) 當(dāng)k不存在時，把直線代入橢圓方程得 由知s的最大值為 由題意得=12 所以 故當(dāng)abf2面積最大時橢圓的方程為： 下面給出此題的另一解法,請讀者比擬二者的優(yōu)劣：設(shè)過左焦點的直線方程為：這樣設(shè)直線方程的好處是什么？還請讀者進一步反思反思.橢圓的方程為：由得：于是橢圓方程可化為：把代入并整理得：于是是上述方程的兩根.,ab邊上的高,從而當(dāng)且僅當(dāng)m=0取等號，即由題意知, 于是 .故當(dāng)abf2面積最大時橢圓的方

19、程為： 例5 直線與橢圓相交于a、b兩點，且線段ab的中點在直線上.求此橢圓的離心率；2 假設(shè)橢圓的右焦點關(guān)于直線的對稱點的在圓上，求此橢圓的方程.講解:1設(shè)a、b兩點的坐標(biāo)分別為 得, 根據(jù)韋達定理，得 線段ab的中點坐標(biāo)為. 由得，故橢圓的離心率為 . 2由1知從而橢圓的右焦點坐標(biāo)為 設(shè)關(guān)于直線的對稱點為解得 由得 ，故所求的橢圓方程為 .例6 m：軸上的動點，qa，qb分別切m于a，b兩點，1如果，求直線mq的方程；2求動弦ab的中點p的軌跡方程.講解:1由，可得由射影定理，得 在rtmoq中， ，故，所以直線ab方程是2連接mb，mq，設(shè)由點m，p，q在一直線上，得由射影定理得即 把*及*消去a，并注意到，可得適時應(yīng)用平面幾何知識，這是快速解答此題的要害所在，還請讀者反思其中的微妙. 例7 如圖，在rtabc中，cba=90°，ab=2，ac=。doab于o點，oa=ob，do=2，曲線e過c點，動點p在e上運動，且保持| pa |+| pb |的值不變.1建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線e的方程；a o b c2過d點的直線l與曲線e相交于不同的兩點m、n且m在d、n之間，設(shè)，試確定實數(shù)的取值范圍講解: 1建立平面直角坐標(biāo)系, 如下圖| pa |+| pb |=| ca |+| cb | y=動點p的軌跡是橢圓曲線e