（整理版）珠海市金海岸中學(xué)高三考前專題講座求圓錐曲線VIP

1、高考要求 求指定的圓錐曲線的方程是高考命 重難點(diǎn)歸納 一般求曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量的步驟 定形指的是二次曲線的焦點(diǎn)位置與對稱軸的位置 定式根據(jù)“形設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定在哪個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，可設(shè)方程為mx2+ny2=1(m0,n0) 定量由題設(shè)中的條件找到“式中特定系數(shù)的等量關(guān)系，通過解方程得到量的大小 典型題例示范講解 例1某電廠冷卻塔的外形是如下圖的雙曲線的一局部，繞其中軸(即雙曲線的虛軸)旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中a、a是雙曲線的頂點(diǎn)，c、c是冷卻塔上口直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，b、b是下底直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，aa=14 m，cc=18 m,bb

2、=22 m,塔高20 m 建立坐標(biāo)系并寫出該雙曲線方程 此題考查選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系建立曲線方程和解方程組的根底知識，考查應(yīng)用所學(xué)積分知識、思想和方法解決實(shí)際問題的能力 知識依托 待定系數(shù)法求曲線方程；點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程；積分法求體積 錯(cuò)解分析 建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解決此題的關(guān)鍵 技巧與方法 此題是待定系數(shù)法求曲線方程 解 如圖，建立直角坐標(biāo)系xoy,使aa在x軸上，aa的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)o，cc與bb平行于x軸 設(shè)雙曲線方程為=1(a0,b0),那么a=aa=7又設(shè)b(11,y1),c(9,x2)因?yàn)辄c(diǎn)b、c在雙曲線上，所以有由題意，知y2y1=20,由以上三式得 y1=12,y2=8,b

3、=7故雙曲線方程為=1 例2過點(diǎn)(1，0)的直線l與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且離心率為的橢圓c相交于a、b兩點(diǎn)，直線y=x過線段ab的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓c上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線l對稱，試求直線l與橢圓c的方程 此題利用對稱問題來考查用待定系數(shù)法求曲線方程的方法，設(shè)計(jì)新穎，根底性強(qiáng) 知識依托 待定系數(shù)法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，對稱問題 錯(cuò)解分析 不能恰當(dāng)?shù)乩秒x心率設(shè)出方程是學(xué)生容易犯的錯(cuò)誤 恰當(dāng)?shù)乩煤脤ΨQ問題是解決好此題的關(guān)鍵 技巧與方法 此題是典型的求圓錐曲線方程的問題，解法一，將a、b兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式相減得關(guān)于直線ab斜率的等式 解法二，用韋達(dá)定理 解法一

4、由e=,得,從而a2=2b2,c=b 設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2,a(x1,y1),b(x2,y2)在橢圓上 那么x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12x22)+2(y12y22)=0,設(shè)ab中點(diǎn)為(x0,y0),那么kab=,又(x0,y0)在直線y=x上，y0=x0,于是=1,kab=1,設(shè)l的方程為y=x+1 右焦點(diǎn)(b,0)關(guān)于l的對稱點(diǎn)設(shè)為(x,y),由點(diǎn)(1,1b)在橢圓上，得1+2(1b)2=2b2,b2= 所求橢圓c的方程為 =1,l的方程為y=x+1 解法二 由e=,從而a2=2b2,c=b 設(shè)橢圓c的方程為x2+2y2=2b2,l的方

5、程為y=k(x1),將l的方程代入c的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,那么x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k= 直線l y=x過ab的中點(diǎn)(),那么,解得k=0，或k=1 假設(shè)k=0,那么l的方程為y=0,焦點(diǎn)f(c,0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)就是f點(diǎn)本身，不能在橢圓c上，所以k=0舍去，從而k=1，直線l的方程為y=(x1),即y=x+1,以下同解法一 例3如圖，p1op2的面積為，p為線段p1p2的一個(gè)三等分點(diǎn)，求以直線op1、op2為漸近線且過點(diǎn)p的離心率為的雙曲線方程 此題考查待定系數(shù)法求雙曲線的方程以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析問題

6、、解決問題的能力 知識依托 定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式；三角形的面積公式；以及點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程 錯(cuò)解分析 利用離心率恰當(dāng)?shù)卣页鲭p曲線的漸近線方程是此題的關(guān)鍵，正確地表示出p1op2的面積是學(xué)生感到困難的 技巧與方法 利用點(diǎn)p在曲線上和p1op2的面積建立關(guān)于參數(shù)a、b的兩個(gè)方程，從而求出a、b的值 解 以o為原點(diǎn)，p1op2的角平分線為x軸建立如圖的直角坐標(biāo)系 設(shè)雙曲線方程為=1(a0,b0)由e2=，得 兩漸近線op1、op2方程分別為y=x和y=x設(shè)點(diǎn)p1(x1, x1),p2(x2,x2)(x10,x20),那么由點(diǎn)p分所成的比=2,得p點(diǎn)坐標(biāo)為(),又點(diǎn)p在雙曲線=1上，所以=1,即

7、(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 即x1x2= 由、得a2=4,b2=9故雙曲線方程為=1 例4 雙曲線=1(bn)的兩個(gè)焦點(diǎn)f1、f2，p為雙曲線上一點(diǎn)，|op|5,|pf1|,|f1f2|,|pf2|成等比數(shù)列，那么b2=_ 解析 設(shè)f1(c,0、f2(c,0)、p(x,y),那么|pf1|2+|pf2|2=2(|po|2+|f1o|2)2(52+c2),即|pf1|2+|pf2|250+2c2,又|pf1|2+|pf2|2=(|pf1|pf2|)2+2|pf1|·|pf2|,依雙曲線定義，有|pf1|pf2|=4,依條件有|pf1|·

8、;|pf2|=|f1f2|2=4c216+8c250+2c2,c2,又c2=4+b2,b2,b2=1 答案 1學(xué)生穩(wěn)固練習(xí) 1 直線x+2y3=0與圓x2+y2+x6y+m=0相交于p、q兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)opoq，那么m等于( )a 3b 3c 1d 12 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)為(0，±5)的橢圓被直線3xy2=0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，那么橢圓方程為( )3 直線l的方程為y=x+3,在l上任取一點(diǎn)p，假設(shè)過點(diǎn)p且以雙曲線12x24y2=3的焦點(diǎn)作橢圓的焦點(diǎn)，那么具有最短長軸的橢圓方程為_ 4 圓過點(diǎn)p(4，2)、q(1，3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長為4，那么該圓的

9、方程為_ 5 橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)焦點(diǎn)為f，m是橢圓上的任意點(diǎn)，|mf|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2，橢圓上存在著以y=x為軸的對稱點(diǎn)m1和m2，且|m1m2|=，試求橢圓的方程 6 某拋物線形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時(shí)每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長的支柱的長 7 圓c1的方程為(x2)2+(y1)2=,橢圓c2的方程為=1(ab0)，c2的離心率為，如果c1與c2相交于a、b兩點(diǎn)，且線段ab恰為圓c1的直徑，求直線ab的方程和橢圓c2的方程 參考答案:1 解析 將直線方程變?yōu)閤=32y,代入圓的方程x2+y2+x6y+m=0,得(32y)2+y2+(

10、32y)+m=0 整理得5y220y+12+m=0,設(shè)p(x1,y1)、q(x2,y2)那么y1y2=,y1+y2=4 又p、q在直線x=32y上，x1x2=(32y1)(32y2)=4y1y26(y1+y2)+9故y1y2+x1x2=5y1y26(y1+y2)+9=m3=0，故m=3 答案 a2 解析 由題意，可設(shè)橢圓方程為 =1,且a2=50+b2,即方程為=1 將直線3xy2=0代入，整理成關(guān)于x的二次方程 由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75 答案 c3 解析 所求橢圓的焦點(diǎn)為f1(1,0),f2(1,0),2a=|pf1|+|pf2| 欲使2a最小，只需在直線l上找一點(diǎn)p 使

11、|pf1|+|pf2|最小，利用對稱性可解 答案 =14 解析 設(shè)所求圓的方程為(xa)2+(yb)2=r2那么有 由此可寫所求圓的方程 答案 x2+y22x12=0或x2+y210x8y+4=05 解 |mf|max=a+c,|mf|min=ac,那么(a+c)(ac)=a2c2=b2,b2=4,設(shè)橢圓方程為設(shè)過m1和m2的直線方程為y=x+m將代入得 (4+a2)x22a2mx+a2m24a2=0設(shè)m1(x1,y1)、m2(x2,y2),m1m2的中點(diǎn)為(x0,y0),那么x0= (x1+x2)=,y0=x0+m= 代入y=x,得,由于a24,m=0,由知x1+x2=0,x1x2=,又|m1m2|=,代入x1+x2,x1x2可解a2=5,故所求橢圓方程為 =1 6 解 以拱頂為原點(diǎn)，水平線為x軸，建立坐標(biāo)系，如圖，由題意知，|ab|=20，|om|=4，a、b坐標(biāo)分別為(10，4、(10，4設(shè)拋物線方程為x2=2py,將a點(diǎn)坐標(biāo)代入，得100=2p×(4),解得p=12 5,于是拋物線方程為x2=25y 由題意知e點(diǎn)坐標(biāo)為(2，4)，e點(diǎn)橫坐標(biāo)也為2，將2代入得y=0 16,從而|ee|=(0 16)(4)=3 84 故最長支柱長應(yīng)為3 84米 7