廣義積分的收斂判別法-廣義積分收斂判別法(共16頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第二節(jié)廣義積分的收斂判別法上一節(jié)我們討論了廣義積分的計(jì)算, 在實(shí)際應(yīng)用中，我們將發(fā)現(xiàn)大量的積分是不能直接計(jì)算的，有的積分雖然可以直接計(jì)算，但因?yàn)檫^(guò)程太復(fù)雜，也不為計(jì)算工作者采用，對(duì)這類問(wèn)題計(jì)算工作者常采用數(shù)值計(jì)算方法或Monte-Carlo方法求其近似值. 對(duì)廣義積分而言，求其近似值有一個(gè)先決條件 積分收斂，否則其結(jié)果毫無(wú)意義。 因此，判斷一個(gè)廣義積分收斂與發(fā)散是非常重要的定理9.1（Cauchy收斂原理）f(x)在a, + ）上的廣義積分收斂的充分必要條件是：, 存在A>0, 使得b, >A時(shí)，恒有證明：對(duì)使用柯西收斂原理立即得此結(jié)論同樣對(duì)瑕積分(為瑕點(diǎn)

2、), 我們有定理9.2（瑕積分的Cauchy收斂原理）設(shè)函數(shù)f(x)在a,b)上有定義，在其任何閉子區(qū)間a, b上常義可積，則瑕積分收斂的充要條件是: , , 只要0<，就有定義9.5如果廣義積分收斂，我們稱廣義積分絕對(duì)收斂（也稱f(x)在a,+上絕對(duì)可積; 如收斂而非絕對(duì)收斂，則稱條件收斂，也稱f(x)在a,+上條件可積由于，均有 因此，由Cauchy收斂原理，我們得到下列定理定理9.3如果廣義積分絕對(duì)收斂，則廣義積分必收斂它的逆命題不一定成立，后面我們將會(huì)看到這樣的例子。對(duì)其它形式的廣義積分，類似地有絕對(duì)收斂及條件收斂的定義及性質(zhì)下面我們先介紹當(dāng)被積函數(shù)非負(fù)時(shí)，廣義積分收斂的一些判別

3、法比較判別法：定理9.4（無(wú)限區(qū)間上的廣義積分）設(shè)在a,+)上恒有（k為正常數(shù)）則當(dāng)收斂時(shí), 也收斂;當(dāng)發(fā)散時(shí), 也發(fā)散證明：由Cauchy收斂原理馬上得結(jié)論成立對(duì)瑕積分有類似的結(jié)論判別法定理9.5 設(shè)f(x), g(x) 均為a,b)上的非負(fù)函數(shù)，b為兩個(gè)函數(shù)的奇點(diǎn)，如存在一個(gè)正常數(shù)k, 使a, b), 則1） 如收斂，則也收斂。2）如發(fā)散，則也發(fā)散比較判別法在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，我們常常用下列極限形式定理9.6 如果f(x), g(x)是a,+上的非負(fù)函數(shù), 且 則(1) 如果, 且收斂, 則積分也收斂(2) 如果, 且發(fā)散，則積分也發(fā)散證明：如果 則對(duì)于, 存在A,當(dāng)時(shí), 即成立. 顯然與同時(shí)收

4、斂或同時(shí)發(fā)散，在l=0或 l=時(shí)，可類似地討論.使用同樣的方法，我們有定理9.7 對(duì)以b為唯一瑕點(diǎn)的兩個(gè)瑕積分與 如果f(x), g (x) 是非負(fù)函數(shù)，且 則（1） 當(dāng), 且收斂時(shí)，則也收斂（2） 當(dāng)，且發(fā)散時(shí)，則也發(fā)散對(duì)無(wú)限區(qū)間上的廣義積分中，取作比較標(biāo)準(zhǔn)，則得到下列Cauchy判別法：設(shè)f(x)是a,+的函數(shù)，在其任意閉區(qū)間上可積,那么:定理9.8若0f(x)， p>1,那么積分收斂，如f(x)，p1,則積分發(fā)散其極限形式為定理9.9 如 (, p>1), 則積分收斂如, 而, 1, 則發(fā)散.例9.8 判斷下列廣義積分的收斂性。(1) (2) (m>0, n>0)

5、解：（1）因?yàn)?由收斂推出收斂（2）因?yàn)?所以當(dāng)nm>1時(shí)，積分收斂. 當(dāng)nm1時(shí)，積分發(fā)散對(duì)于瑕積分，使用作為比較標(biāo)準(zhǔn)，我們有下列柯西判別法定理9.10設(shè)x=a是f(x)在a,b上的唯一奇點(diǎn)，在其任意閉區(qū)間上可積,那么（1） 如0f(x) (c>0), p<1, 則收斂（2） 如f(x) (c>0), p1, 則發(fā)散瑕積分的Cauchy判斷法的極限形式為定理9.11 設(shè)如0k<, p<1, 則收斂如0<k, p1, 那么發(fā)散例9.9 判別下列瑕積分的斂散性。(1) (k2<1)(2) (p,q>0)解：（1）1是被積函數(shù)的唯一瑕點(diǎn)因?yàn)?=

6、由知瑕積分收斂（2）0與都是被積函數(shù)的瑕點(diǎn)先討論 由知: 當(dāng)p<1時(shí), 瑕積分收斂; 當(dāng)p1時(shí),瑕積分發(fā)散再討論 因所以當(dāng) q<1時(shí), 瑕積分收斂，當(dāng)q1時(shí)，瑕積分發(fā)散綜上所述，當(dāng)p<1且q<1時(shí), 瑕積分收斂; 其他情況發(fā)散例9.10 求證: 若瑕積分收斂，且當(dāng)時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)趨向于+，則x f(x)=0.證明：不妨設(shè), f(x)0, 且f(x)在(0, 1)上單調(diào)減少。已知收斂，由柯西收斂準(zhǔn)則，有, (<1), 有從而0<或0<x f(x)即x f(x)=0.例9.11 求證瑕積分(>0), 當(dāng)<時(shí)收斂當(dāng)時(shí)發(fā)散.證明:=所以當(dāng)3<

7、;1時(shí)，即<時(shí)，瑕積分收斂當(dāng)31，即時(shí)，瑕積分發(fā)散前面討論的是非負(fù)函數(shù)的反常積分的收斂性，為了能對(duì)一般函數(shù)的反常積分的斂散性進(jìn)行討論，我們先給出下面的重要結(jié)果定理9.12（積分第二中值定理）設(shè)g(x)在a,b上可積，f(x)在a,b上單調(diào)，則存在a,b使=為了證明定理9.12，我們先討論下列特殊情況引理9.1設(shè)f(x)在a, b上單調(diào)下降并且非負(fù)，函數(shù)g(x)在a,b上可積，則存在ca,b，使 =f(a)證明：作輔助函數(shù)= f(a) 對(duì)a,b的任一分法P: a=x0<x1<x2<<xn=b我們有=由此得到|=|xi這里L(fēng)是|g(x)|在a,b的上界, 是在上的振幅

8、，從這個(gè)估計(jì)式可知, 當(dāng)時(shí),應(yīng)當(dāng)有 我們來(lái)證明 為此，引入記號(hào) G(x)= 并作如下變換=（）=因?yàn)? , 所以 = =同樣可證 我們證明了不等式 即現(xiàn)令|p|, 取極限，就得到 因此，存在ca,b，使得 =（因?yàn)樵谏鲜沁B續(xù)函數(shù)）也就是= 證畢下面我們證明定理9.12證明：如f(x)是單調(diào)下降的，則f(x)f(b)單調(diào)下降且非負(fù)，由引理12.2.1知，存在ca,b, 使 =即 =對(duì)f(x)單調(diào)上升的情形，可作類似討論.使用積分第二中值定理，我們得到下列一般函數(shù)的廣義積分?jǐn)可⑿缘呐袆e法定理9.13若下列兩個(gè)條件之一滿足，則收斂（1）（Abel判別法）收斂，g(x)在a,上單調(diào)有界;（2）（Dir

9、ichlet判別法）設(shè)F(A)=在a,上有界，g(x)在a,上單調(diào), 且g(x)=0.證明：（1）, 設(shè)|g(x)|M，a,), 因收斂，由Cauchy收斂原理，, 使時(shí), 有由積分第二中值定理，我們得到 +=再由Cauchy收斂原理知收斂(2) 設(shè)M為F(A)在a,+上的一個(gè)上界，則, 顯然有同時(shí), 因?yàn)間(x)=0，所以存在, 當(dāng)x>A0時(shí), 有 g(x)|<于是，對(duì)有 +=由Cauchy收斂原理知收斂例9.12 討論廣義積分的斂散性，解：令f(x)=, g(x)=cosx則當(dāng)x時(shí)，f(x)單調(diào)下降且趨于零，F(xiàn)(A)= =在a,上有界由Dirichlet判別法知收斂，另一方面因

10、發(fā)散，收斂從而非負(fù)函數(shù)的廣義積分發(fā)散由比較判別法知發(fā)散，所以條件收斂例9.13 討論廣義積分的斂散性解：由上一題知，廣義積分收斂, 而arctanx在a, +上單調(diào)有界，所以由Abel判別法知收斂。另一方面, 當(dāng)時(shí), 有前面已證發(fā)散由比較判別法知發(fā)散, 所以條件收斂.對(duì)瑕積分也有下列形式的Abel判別法和Dirichlet判別法定理9.14若下列兩個(gè)條件之一滿足，則收斂：（b為唯一瑕點(diǎn)）（1）（Abel判別法）收斂, g(x)在a,上單調(diào)有界(2) (Dirichlet判別法) =在a, 上有界, g(x) 在(上單調(diào), 且.證明: (1) 只須用第二中值定理估計(jì) 讀者可以仿照定理11.2.8

11、(1) 的作法完成(1)的證明.(2) 讀者可以仿照定理11.2.8(2) 的作法完成(2)的證明.例9.14 討論積分 (0<p2) 的斂散性解: 對(duì)于0<p<1 , 因?yàn)?由收斂知 絕對(duì)收斂斂對(duì)于0p<2, 因?yàn)楹瘮?shù)f(x) =, 當(dāng)時(shí)單調(diào)趨于0, 而函數(shù) g(x)= 滿足所以積分收斂.但在這種情況下, 是發(fā)散的, 事實(shí)上由因發(fā)散, 收斂, 知 發(fā)散從而當(dāng)0p<2時(shí), 積分條件收斂. 最后我們討論p=2的情形, 因?yàn)?當(dāng)時(shí), 上式無(wú)極限, 所以積分發(fā)散.值得注意的是, 兩種廣義積分之間存在著密切的聯(lián)系, 設(shè)中x=a為f(x)的瑕點(diǎn), 作變換y=, 則有 = 而后者是無(wú)限區(qū)間上的廣義積分. 習(xí)題 9.21、 論下列積分的斂散性（包括絕對(duì)收斂， 條件收斂， 發(fā)散）(1)；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) ；(10) ；(11) ；(12) 2證明：若瑕積分收斂， 且當(dāng)時(shí)， 函數(shù)f(x)單調(diào)趨于+， 則x f(x)=03. 若函數(shù)f(x)在有連續(xù)導(dǎo)數(shù)f /(x)， 且無(wú)窮積分與都收斂， 則 f(x)=04. 設(shè)f(x