ARMA模型的特性(精)

1、第三章ARMA模型的特性本章為本書(shū)重點(diǎn)之一，主要掌握三類(lèi)模型的格林函數(shù)形式、平穩(wěn)性和可逆性條件、 和 PAFPAFC C的形式和特點(diǎn)。第一節(jié)線(xiàn)性差分方程一、后移(Backshift)算子:1.1.定義：后移算子 B B 定義為BXt=X=Xt，從而B(niǎo)mX Xt。2.2.后移算子的性質(zhì)：(1)(1)常數(shù)的后移算子為常數(shù)：Be二c分配律：(BmBn)Xt二BmXt- BnXt=XtXt(3)(3) 結(jié)合律：BmBnXt=Bm(BnXJ =BmXt二Xt1(4)(4) 后移算子 B B 的逆為前移算子B Xt = Xt 1(5)(5) 對(duì)于| 1，則Gj隨著 j j 的增大而緩慢減小，表明系統(tǒng)的記憶

2、較強(qiáng)；相反，若10,則Gj隨著 j j 的增大而急劇減小，表明系統(tǒng)的記憶較弱. .例：下面是參數(shù)分別為0.90.9、0.10.1 和-0.9-0.9 的 ARAR( 1 1)系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng):t的記憶情況(三個(gè)序列由同一正態(tài)白噪聲序列模擬生成)：Xt- 0.9Xtat比較前后三個(gè)不同參數(shù)的圖，可以看出：(1);：1 取正值時(shí)，響應(yīng)波動(dòng)較平坦。(2)打取負(fù)值時(shí)，響應(yīng)波動(dòng)較大。(3)；：1越大，系統(tǒng)響應(yīng)回到均衡位置的速度越慢，時(shí)間越長(zhǎng)。由于Xt二 估心二a：詁冷*at m則(B)G(B)= 8(B)化為(旳.* :送jBjf O0、O0IZ GkBk=送q Bjlk=0yl=0比較等式兩邊 B B 的同

3、次幕的系數(shù)，可得l1jm j0, j m例：ARMAARMA (2 2, 1 1 )系統(tǒng)的格林函數(shù)ARMA(2 2, i i)模型Xt iXt-2Xi=a-aA可以看作是一個(gè)二階差分方程,設(shè)該方程的解是0COXt = Gj a=(二GjB )atj蘭j=0將上式代入模型中：(1-1B-；B2)L GjBj)d =(1 jB)qj=0(1- B -2B2)(G0G1B G2B2.)at二(1-齊B)at(G。GB G2B2一iGB 1GB2-一GoB2-總二(1一齊B)at利用比較系數(shù)法，B B 的同次幕必相等，于是:B B 的指數(shù):O:Go =11：G1 - 1GO= -弓2: G2- iG

4、- GO二03: G3- G -= 0- -GjGj d d上式可以寫(xiě)成：2Gj才0即：1 - IB -；B2Gj=0, j - 2上式為一關(guān)于Gj齊次差分方程的形式，其通解為其中：1和 2是特征方程2-：j-2=0的根；g和g2是任意常數(shù)，其值由初始條 件確定。這里的初始條件是：GO=1G =1- 齊Gj其中Go, GG2, Gn-Gn,由下列式子導(dǎo)出則 ARMAARMA (2 2, 1 1)系統(tǒng)的格林函數(shù)為:Gj =i-RARMAARMA (2 2, 1 1)模型的格林函數(shù)也可以通過(guò)下面的過(guò)程求得。根據(jù) WoldWold 分解，平穩(wěn) ARMAARMA ( 2 2，1 1)模型(1-】B-2

5、B2)Xt=(1-tB)a可以寫(xiě)成Xt1-B1一B 1一2Bat17 彳、11- 1 !冷-弓=I.一.一.一.一.為一/-21 為B/_2 1 2B2一 二1. . .乜亠1歸+1劇Bjat j=0州一/-2人2扎1j/扎2畑一州 _at即：GjARAR(2(2)為ARMAARMA例：ARMAARMA (n n, n-1n-1 )系統(tǒng)的格林函數(shù)與上面方法相同，ARMAARMA (n n，n-1n-1)系統(tǒng)的格林函數(shù)的隱式的遞推式為:(1-B-；B2- -；Bn)Gj =0, j一n設(shè)Xt是零均值平穩(wěn)序列，如果白噪聲序列at能夠表示為Go= 1Gi -G0-1G:：i:G:G幣2Gnj -：G

6、n_2：廠(chǎng)Gn- 3 n _G i=。一二n _ 1Gn - iGn_iGn_才nG方0即（i_B ：2B2-川一nBn）Gj=0, j _ n其最終解為：Gj=gi- g2 2j. gn J（儼_吋嚴(yán)_九）（省一加X(jué)人一2）（人一人Mi -人書(shū)）（丸i一幾）其中：gig2gn t例：ARMAARMA （2 2, i i）系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件ARMAARMA （2 2, i i）的平穩(wěn)性條件要求：j jr r心時(shí),Gj j 0。由Gj = g/J +g2得:丸iw i,丸2y i，即 （丸）=丸2 2 %丸申2=o的根 在單位圓內(nèi)。由于 ARMAARMA （ 2 2，i i）的特征方程：（）=，2

7、一 ： J J 仝爲(wèi)=0和 ARAR（ 2 2）和形式一樣 （或者說(shuō)和其移動(dòng)平均項(xiàng)系數(shù)無(wú)關(guān)），因此其平穩(wěn)域與 ARAR（2 2）系統(tǒng)的平穩(wěn)域相同，都是：z2iI! : :- ii2 扌ii2思考：MAMA 模型的平穩(wěn)性條件。第三節(jié)逆函數(shù)和可逆性（Invertibility）所謂可逆性（InvertibilityInvertibility）是指移動(dòng)平均模型可以用ARAR 模型表示。一、逆函數(shù)的定義oOaTjXj 4則稱(chēng)上式為平穩(wěn)序列Xt的逆轉(zhuǎn)形式，式中的加權(quán)系數(shù)Ijj =1,2,.稱(chēng)為逆函數(shù)。二、ARMA模型的逆函數(shù)1 1、ARMAARMA (n,mn,m)模型逆函數(shù)通用解法對(duì)于 ARMAARM

8、A ( n,mn,m)模型的逆函數(shù)求解模型格林函數(shù)求解方法相同。QO令1(B) =1-、ljXlo= -1，j呂cd則平穩(wěn)序列Xt的逆轉(zhuǎn)形式IjXy可表示為j二at=I(B)Xt由 ARMA(nARMA(n ,m),m)模型(B)Xt(B)a可得(B) - *B)I (B)仍由先前定義的 片和q*，則上式可化為比較上式兩邊 B B 的同次幕的系數(shù)，得到j(luò).* _ *k=QIj=j二kj _k, j =1,2,k由此Ij可從j =1開(kāi)始推算出。2 2、ARAR 模型的逆函數(shù)對(duì)于 ARAR( 1 1)模型 X Xt- -；iXiXt= = a at有XL兀at”4*E jBj一JB1kBk則其逆函

9、數(shù)h = , I j = 0 , j - 2類(lèi)似對(duì)于 ARAR (n n)模型Xt -iXt-2X2 -nXt二at有Xt =1XtJ：2Xt 2丨nXt其逆函數(shù)為:InIj3 3、MAMA 模型的逆函數(shù)(B)=1， 訊B) =1JB，1-活I(lǐng) B=1,21 -活1 -hB -l2B -比較上式兩邊 B B 的同次幕的系數(shù)得Io= -1, I1 - -1,Ij-冃丨j,j一2從而有Ij- -彳，j =1,2,.也可以用以下方法求MAMA( 1 1)模型的逆函數(shù)由Xt=(1一弓B)at得Xt=1 B弓2B2. XtQQ即Xt二at 、(-KjXt_j)j二對(duì)于 MAMA( 1 1)模型Xt二(1

10、 - 1B) at，則at(1JB)與 ARAR( 1 1)討論相類(lèi)似，上面推導(dǎo)所隱含的可逆性條件為巧 V V1 1對(duì)于 MAMA (m m)模型的可逆性討論與 ARAR (n n)模型平穩(wěn)性的討論是類(lèi)似的，即:只有同時(shí)滿(mǎn)足平穩(wěn)性可可逆性條件，ARMAARMA 模型才是有意義的。MAMA （m m）模型的可逆性條件為其特征方程vm+6Vm丄+日2Vm*十+気=0陸|1的特征根Vk滿(mǎn)足|V1下面所講的逆函數(shù)與格林函數(shù)的關(guān)系也作為求逆函數(shù)的一種選擇。三、Gj和lj之間的關(guān)系對(duì)于 ARAR（ 1 1）模型和 MAMA（ 1 1）模型， 注意到格林函數(shù)ARAR（ 1 1）：Gj=駕Go=1MAMA （

11、 1 1） 1此對(duì)偶性對(duì)其它模型仍然存在，如：ARMAARMA （ 2 2，1 1）的格林函數(shù)為Go =1G2 =G1、Gj=Gj1+Gj/八3ARMAARMA （ 1 1，2 2）的逆函數(shù)為h =%-日1I2= IQ -日2lj =lj1+,j A3綜上可知，在格林函數(shù)的表達(dá)式中，用一|j代替Gj，代替d,二代替，即可得到相對(duì) 應(yīng)的逆函數(shù)。四、關(guān)于ARMA模型平穩(wěn)性與可逆性的說(shuō)明通過(guò)上面的討論可知，ARAR 模型不存在可逆性性條件， MAMA 模型不存在平穩(wěn)性條件。因此，對(duì)于 ARMAARMA 模型的平穩(wěn)性條件是針對(duì)其 ARAR 系數(shù)而言，可逆性條件是針對(duì)其 MAMA 系數(shù) 而言。逆函數(shù)占1

12、I0, j 1可以看出,ARAR（ 1 1）的Gj和 MAMA（1 1）的 l lj形式一致，只是符號(hào)相反，參數(shù)互換。假設(shè)Xt為零均值序列。將上式兩端乘以xt斗，并取期望，得在通常的情況下，我們常采用第一種的計(jì)算方法。三、AR模型的自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)（1 1） ARAR（ 1 1）模型的自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)ARAR（ 1 1 ）模型為:Xt二1Xt4at第四節(jié)自協(xié)方差函數(shù)、理論自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)對(duì)于 ARMAARMA 系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，設(shè)序列的均值為零，則自協(xié)方差函數(shù)自相關(guān)函數(shù)二、樣本自相關(guān)函數(shù)的計(jì)算在擬合模型之前，我們所有的只是序列的一個(gè)有限樣本數(shù)據(jù),無(wú)法求得理論自相關(guān)函數(shù),只能求樣

13、本的自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。樣本自協(xié)方差有兩種形式:1 .kXtXt_k, k =0,1,2,., N -1k二1NXtXtA, k =0,1,2,., N -1則相應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)為?k1?k Ntli 也t -k -11N禮Xt2?k1N?k*N -kt1XtXz-0N禮Xi2N Xt我們注意到，上式類(lèi)似于過(guò)程Xt自身所滿(mǎn)足的差分方程。EXtXtj =1E XtjXt_kE atXt_k當(dāng) k=0k=0 時(shí)，有：E XtXt = 1E XtjXtE atXt即：01 1 V當(dāng) k=1k=1 時(shí)，有E人X1E X_1X_1Eta X即：10當(dāng) k=2k=2 時(shí)，有E XtXt_2=1E Xt

14、Xt_2E atXt_22=鴿1依此類(lèi)推，便有一般式：-kJk 0將陷代入，有，2CT2?0山1伴丫0嚴(yán)芻丫。=肯=%kA,k0.相應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)為，即!卩0= 了0/?0= 1、ARAR (n n)模型的自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)Xt二梯2 2X2川pX- at兩邊同乘以xt*得到取期望，得：11+ * V + III + *k 1 k -12 k -2n k -n上式兩邊除以0，可得差分方程：P = * P + * P + III + * PXt*Xt二XtXt42X7X2川nXXzXt*(k 0)(k 0)我們注意到，上式類(lèi)似于過(guò)程Xt自身所滿(mǎn)足的差分方程。k 1k2k2nkn這

15、里，(B) =1一 框一川一nBn記n(B)訶(1-GjB)j 1則差分方程通解：r = AG：AzG；III AG；這里，,G2, ，G：是特征方程：(B)“B -| -nBn=0的根。為了保證平穩(wěn)性，則要求G1o在實(shí)際應(yīng)用中，如果假定根是互異的，會(huì)出現(xiàn)兩種情況：1.1.G Gi是實(shí)根，這時(shí)在通解 pk中 A AiG Gik隨 k k 增大等比例地衰減到零，我們常稱(chēng)之為指數(shù)衰減。2.2.G Gi和 G Gj是一對(duì)共軛復(fù)根，導(dǎo)致在通解出現(xiàn)：Dksin(2二fk F)使得自相關(guān)函數(shù)呈衰減的正弦振蕩，衰減系數(shù)D= G= Gj，頻率 f f 滿(mǎn)足:2二f -cos4 Re(Gi) /D方差：當(dāng) k=

16、0k=0 時(shí)，0 = 1 V上式兩邊除以0=；X，并有k= _k，故方差-X可以寫(xiě)成四、MA模型的自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)(1 1) MAMA (1 1 )模型的自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)：將 MAMA (1 1)模型Xt-齊 兩端同乘以Xt*取期望，得假定將上式記為(B)=0-HI-；o 二E XtXt2二EQQELE ag E和2 .a2 2=J + 0, Ja 1 aE XtXt2二E atat -E atat -E atJatJ- E atJat-21 a=E XtXt2二E ata-E色可公-片EE色山=0可見(jiàn)，對(duì)于 MAMA (1 1)模型來(lái)說(shuō)(2) MAMA ( m m)模型的自協(xié)

17、方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)E XtXt k二E atXt_k - 1E at JXt _k =EatGjat_k-日1Ea（oO為Gjat上丨丿oooO=2GjE（atat_k）一日1匡GjE（atat_k_j）j，蘭-GoEQat_kG1E at上at-11|GoEat_1at_kG1E at jakJJj =0k=0k=0時(shí)，有k=1k=1時(shí)，有k=2k=2時(shí)，有丫o=（1 +q2尸;1-平2=k=o, k一20 -1q宀=1詢(xún)fk=o,心自相關(guān)函數(shù)k rEg-響4 mmat_m）（at斗佝斗二-111 -益4*卡）因此該過(guò)程的方差是丫0=(1+q2+IH+8；)仃a叩!(-k+0105+024

18、42 +川+%/m)nkn 應(yīng)該有kk=0o(1)偏自相關(guān)性是條件相關(guān)，是在給定的條件下，Xj和Xj*的條件相關(guān)。換名話(huà)說(shuō)，偏自相關(guān)函數(shù)是對(duì)Xj和XjA之間未被XjXj，Xj* 所解釋的相關(guān)的度量。(2)由最小二乘原理易得，歸1,歸2,浮kk是作為Xj關(guān)于Xj_!,Xj.,Xj線(xiàn)性回歸的回歸系數(shù)。(3)由(2 2)可得，對(duì)于 ARAR (n n)模型，當(dāng) knkn 時(shí)，;：kk=0=0。(此性質(zhì)用來(lái)在 B-JB-J 建模過(guò)程中，識(shí)別 ARAR 特征)(4)對(duì)于任何平穩(wěn)過(guò)程，都可以由Yule-WalkerYule-Walker 方程定義偏自相關(guān)函數(shù)，當(dāng)然也都是作為自相關(guān)函數(shù)的函數(shù)。六、 自回歸和

19、滑動(dòng)平均過(guò)程之間的對(duì)偶性自回歸和有限滑動(dòng)平均過(guò)程之間存在對(duì)偶關(guān)系的特征：k1P2III玖_2P11P1IIIPkP2+hI-+hI-+p1kAPkdPkIIIP1Pk112III111III+1-i+I-AIII11.1.在一個(gè) n n 階平穩(wěn)自回歸模型中，a at可表示為既往 X X 的有限加權(quán)和，換言之，X Xt可表為既往 a a 的無(wú)限加權(quán)和：Xt二(B)a同樣，在一個(gè) m m 階滑動(dòng)平均模型中，X Xt可表示為既往 a a 的有限加權(quán)和，換言之，a at可表為既往 X X 的無(wú)限加權(quán)和：J(B)Xat2.2.有限的 MAMA 過(guò)程具有在某點(diǎn)之外全為零的自相關(guān)函數(shù)， 但由于它等價(jià)于一個(gè)無(wú)限 階的 ARAR 過(guò)程，因此其偏自相關(guān)函數(shù)無(wú)限伸延，且被衰減指數(shù)和(或)衰減正弦波所控制。與此相反，AR