高數(shù)A教學(xué)大綱

1、高 等 數(shù) 學(xué) A（ 一 ）一、函數(shù)、極限、連續(xù)、1. 理解函數(shù)的概念及函數(shù)奇偶性、單調(diào)性 、 周 期 性 、 有 界 性 。2. 理解復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)的概念。3. 熟悉基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。4. 會(huì)建立簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式。5. 理解極限的概念，掌握極限四則運(yùn)算法則及換元法則。6. 理解子數(shù)列的概念，掌握數(shù)列的極限與其子數(shù)列的極 限 之 間 的關(guān)系。7. 理解極限存在的夾逼準(zhǔn)則，了解實(shí)數(shù)域的完備性（確界 原 理 、 單界 有 界 數(shù) 列 必 有 極 限 的 原 理 ，柯 西 （Cauchy） ，審 斂 原 理 、區(qū) 間 套 定 理 、 致密性定理）。會(huì)用兩個(gè)重要極限求極限。8.

2、理解無(wú)窮小、無(wú)窮大、以及無(wú)窮小的階的概念。會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極限。9. 理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)和在一個(gè)區(qū)間上連續(xù)的概念，了解間斷點(diǎn)的概念，并會(huì)判別間斷點(diǎn)的類型。10. 了 解 初 等 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 和 閉 區(qū) 間 上 連 續(xù) 函 數(shù) 的 性 質(zhì) （介 值 定 理 ， 最 大 最 小 值 定 理 ， 一 致 連 續(xù) 性 ）。二、一元函數(shù)微分學(xué)1 .理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理 解 導(dǎo) 數(shù) 的 幾何意 義 及 函 數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量。2 .掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和 復(fù) 合 函 數(shù) 的求導(dǎo) 法 ，掌 握基本初等函 數(shù) 、雙 曲 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 公 式 。了 解

3、微 分 的 四 則 運(yùn) 算 法 則 和 一 階 微 分 形 式不變性 。3 . 了 解 高 階 導(dǎo) 數(shù) 的 概 念4 .掌握初等函數(shù)一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法5 .會(huì)求隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。會(huì)求反 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。6 .理解羅爾(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西 (Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。7 .會(huì)用洛必達(dá)(L ' Hospital)法則求不定式的極限。8 .理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值 的方法。會(huì)求解較簡(jiǎn)單的最大值和最小值的應(yīng)用問(wèn)題。9 .會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求拐點(diǎn)，會(huì)描繪函數(shù)的圖 形(

4、包括水平和鉛直漸進(jìn)線)。10 . 了解有向弧與弧微分的概念。了解曲率和曲率半徑的概念并 會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。11 . 了解求方程近似解的二分法和切線法。三、一元函數(shù)積分學(xué)1 .理解原函數(shù)與不定積分的概念及性質(zhì)，掌握不定積分的基本公 式、換元法和分步積分法。會(huì)求簡(jiǎn)單的有理函數(shù)及三角函數(shù)有理式的 積分。2 .理解定積分的概念及性質(zhì)，了解函數(shù)可積的充分必要條件。3 .理解變上限的積分作為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)，掌握牛頓 (Newton)萊布尼茲(Leibniz) 公式。4 .掌握定積分的換元法和分步積分法。5 . 了解廣義積分的概念及廣義積分的換元法和分步積分法。了解 廣義積分的比較審斂法和極限審斂

5、法，了解廣義積分的絕對(duì)收斂與條 件收斂的概念。6 . 了解r函數(shù)及其主要性質(zhì)。7 . 了解定積分的近似計(jì)算法(矩形法、梯形法、拋物線法)8 .掌 握 用定積分表達(dá) 一 些 幾 何 量 與 物 理 量 （如 面 積 、 體 積 、 弧 長(zhǎng) 、功、 引 力 等）的方法。高等數(shù)學(xué)A（ 二 ）四、向量代數(shù)與空間解析幾何1. 會(huì) 計(jì) 算 二 階 、 三 階 行 列 式 。2. 理解空間直角坐標(biāo)系。3. 理解向量的概念及其表示，掌 握 向 量 的 運(yùn) 算（線性運(yùn)算、數(shù) 量 積 、向 量 積 、 混 合 積 ）， 掌 握 兩 個(gè) 向 量 垂 直 、 平 行 的 條 件 。4. 掌握單位向量、方向余弦、向 量

6、 的 坐 標(biāo) 表 達(dá)式以及用坐標(biāo) 表 達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。5. 掌握平面的方程和直線的方程及其求法，會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系解決有關(guān)問(wèn)題。6. 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，了解以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。7. 了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。8. 了解曲面的交線在坐標(biāo)平 面 上 的 投 影 。五、多元函數(shù)微分學(xué)1. 理解多元函數(shù)的概念。2. 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。3. 理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解一階全微分形式的不變性。4. 了解方向?qū)?shù)與梯度的概念及其

7、計(jì)算方法。5. 掌握復(fù)合函數(shù)一 階 偏 導(dǎo) 數(shù) 的 求 法 ， 會(huì) 求 復(fù) 合 函 數(shù) 的 二 階 偏 導(dǎo)數(shù)。6. 會(huì)求隱函數(shù)（包括 由 兩 個(gè) 方 程 組 成 的 方 程 組 確 定 的 隱 函 數(shù) ）的偏導(dǎo)數(shù)。7. 了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面與法線，并會(huì)求它們 的方程。8. 理解多元函數(shù)極值與條件極值的概念，會(huì)求多元函數(shù)的極值。 了解求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，會(huì)求解一些較簡(jiǎn)單的最大值和最 小值的應(yīng)用問(wèn)題。了解最小二乘法。9. 了解二元函數(shù)的泰勒公式。10. 了解向量函數(shù)與矢端曲線的概念，了解向量函數(shù)的導(dǎo)向量與微 分的概念。六、多元函數(shù)積分學(xué)1 .理解二重積分、三重積分的概念及性

8、質(zhì)。2 .掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)），了解三重積分 的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）。了解重積分的換元法。3 .理解兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及相互間關(guān)系，掌握兩類曲線 積分的計(jì)算方法。4 .掌握格林（Green）公式及平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件。5 .理解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及相互間的關(guān)系，會(huì)計(jì)算兩類 曲面積分。6 .掌握高斯公式，了解曲面積分與曲面形狀無(wú)關(guān)的條件。7 . 了解斯托克斯（Stokes）公式。8 . 了解數(shù)量場(chǎng)、向量場(chǎng)及向量微分算子的概念，了解散度、旋 度的概念及其計(jì)算公式，了解無(wú)源場(chǎng)、無(wú)旋場(chǎng)及調(diào)和場(chǎng)的概念。9 .會(huì)用重積分和曲線積分以及曲面積分求

9、一些幾何量與物理量 （如體積、曲面面積、弧長(zhǎng)、質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、功、通 量等）。高等數(shù)學(xué)A （三）七、無(wú)窮級(jí)數(shù)1. 理解無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及和函數(shù)的概念，熟悉無(wú)窮級(jí)數(shù)基 本性質(zhì)及收斂的必要條件2. 掌握幾何級(jí)數(shù)和p-級(jí)數(shù)的收斂性。3. 了解正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法和極限審斂法，掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比 值審斂法。4. 了解交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理，會(huì)估計(jì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的截?cái)嗾`差。5. 了解無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收斂 的關(guān)系。了解絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的一些基本性質(zhì)。6. 理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的 一直收斂性。7. 掌握比較簡(jiǎn)單的幕級(jí)數(shù)收斂域的求法。8. 了解

10、幕級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)。9. 了解函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。10. 會(huì)利用呂,，山小COS儲(chǔ)1口。+工)和。+工)"的馬克勞林(Maclaurin) 展開(kāi)式將一些簡(jiǎn)單的函數(shù)間接展開(kāi)成幕級(jí)數(shù)。11. 了解幕級(jí)數(shù)在近似計(jì)算上的簡(jiǎn)單應(yīng)用。12. 了解函數(shù)展開(kāi)為傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)的狄利克雷(Dirichlet)條 件，會(huì)將定義在卜兀 力和卜力。上的函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，并會(huì)將 定義在(0, 0上的函數(shù)展開(kāi)為正弦或余弦級(jí)數(shù)。八、常微分方程1 . 了解微分方程、解、階、通解、初始條件和特解等概念。2 .掌握變量可分離的方程及一階線性方程的解法。會(huì)解齊次方程和 伯努利(B

11、ernoulli)方程，了解用變量代換求解方程的思想。3 .會(huì)解全微分方程，能觀察出最簡(jiǎn)單的積分因子。4 .會(huì)用降階法解下列方程：/=/w, /=/（兀/）和.5 . 了解一階微分方程解的存在性與唯一性定理及求近似解的步 驟。了解奇解的概念。6 .理解線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，了解常數(shù)變易法。7 .掌握常系數(shù)齊次線性方程的解法，會(huì)求自由項(xiàng)形如匕/和舄。）口。$為+甲i）$in閨的常系數(shù)非齊次線性方程的特解。8 . 了解常系數(shù)線性方程組及尤拉（Euler）方程的解法。9 . 了解幕級(jí)數(shù)解法及勒讓彳惠（Legendre）函數(shù)。10 .會(huì)用微分方程解一些簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題和物理問(wèn)題。四、學(xué)時(shí)分配內(nèi)容學(xué)時(shí)安排小計(jì)）丁 P理論課時(shí)實(shí)驗(yàn)或習(xí)題課時(shí)1函數(shù)、極限、連續(xù)226282一元函數(shù)微分學(xué)2410343一元函數(shù)積分學(xué)2812404向量代數(shù)與空間解幾144185多元函數(shù)微分學(xué)166226多元函數(shù)積分學(xué)3510457無(wú)窮級(jí)數(shù)166228常微分方程23629總計(jì)17860238五、教材與教學(xué)參考書(shū)教 材 ： 高 等 數(shù) 學(xué) （第 五 版）上、 下 冊(cè) ，同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編，高等教育出版社參 考 書(shū) ：1. 微 積 分 上 、下 冊(cè) ， 同 濟(jì) 大 學(xué) 應(yīng) 用 數(shù) 學(xué) 系 編 ，高 等