3.2平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義ppt課件

1、2.4.1 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義已知兩個非零向量已知兩個非零向量a和和b，作，作OA=a， OB=b，那么，那么AOB= （0 180）叫做向量）叫做向量a與與b的夾角。的夾角。OBA當0時，a與b同向；OAB當180時，a與b反向；OABB當90時，稱a與b垂直， 記為ab.OAab 我們學過功的概念，即一個物體在力我們學過功的概念，即一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移的作用下產(chǎn)生位移s如圖）如圖）FS力力F所做的功所做的功W可用下式計算可用下式計算 W=|F| |S|cos 其中其中是是F與與S的夾角的夾角 從力所做的功出發(fā)，我們引入向量從力所做的功出發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積的概念

2、。數(shù)量積的概念。 已知兩個非零向量已知兩個非零向量a與與b，它們的，它們的夾角為夾角為，我們把數(shù)量，我們把數(shù)量|a| |b|cos叫做叫做a與與b的數(shù)量積或內(nèi)積），記作的數(shù)量積或內(nèi)積），記作ab ab=|a| |b| cos規(guī)定規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為零向量與任一向量的數(shù)量積為0。 |a| cos（|b| cos叫做向量a在b方向上向量b在a方向上的投影。注意：向量注意：向量的數(shù)量積是的數(shù)量積是一個數(shù)量。一個數(shù)量。 向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候為正，什么時候為負？什么時候為正，什么時候為負？ab=|a| |b| cos當當0 90時時ab為正；為

3、正；當當90 180時時ab為負。為負。當當 =90時時ab為零。為零。設設ba、是非零向量，是非零向量，be是與方向相同的方向相同的單位向量，單位向量，ea與是的夾角，那么的夾角，那么cos|) 1 (aeaae0)2(baba|;|) 3(bababa同向時，與當|;|bababa反向時，與當特別地特別地2|aaaaaa |或2a|cos)4(baba| )5(babaOAB abB1| | | | | c co os sa ab ba ab b 解：解：ab = |a| |b|cos= 54cos120 =54（-1/2）= 10例例1 1 知知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4

4、，a a與與b b的夾角的夾角=120=120，求，求abab。例例2 已知已知a=(1,1),b=(2,0),求求ab。解：解： |a| =2, |b|=2, =45 ab=|a| |b|cos= 22cos45 = 2OAB|b|cos abB1ba等于等于a的長度的長度|a方向上的投影在ab與與cos|b的乘積。的乘積。練習：練習：1 1若若a =0a =0，則對任一向量，則對任一向量b b ，有，有a b=0a b=02若若a 0，則對任一非零向量，則對任一非零向量b ,有有a b03 3若若a 0a 0，a b =0a b =0，則，則b=0b=04 4若若a b=0a b=0，則，

5、則a ba b中至少有一個為中至少有一個為0 05 5若若a0a0，a b= b ca b= b c，則，則a=ca=c6 6若若a b = a c ,a b = a c ,則則bc,bc,當且僅當且僅當當a=0 a=0 時成立時成立7對任意向量對任意向量 a 有有22|aa 二、平面向量的數(shù)量積的運算律：二、平面向量的數(shù)量積的運算律：數(shù)量積的運算律：數(shù)量積的運算律：cbcacbabababaabba)(3()()()(2() 1 (其中，其中，cba、是任意三個向量，是任意三個向量，R注：注：)()(cbacbaONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的投影的數(shù)量分別是OM、MN、

6、ON, 證明運算律證明運算律(3)例例 3：求證：求證：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.證明：（證明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.例例 3：求證：求證：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.證明：（證明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.例例4、2 2 ) ) ( (3 3 ) )a ab ba ab b 求求（。|6,|4,|6,|4,abababab已已知知與與60 ,60 ,o o 的夾角為的夾角為解解:5.| 3,| 4,abkakbakb例 已知當且僅當 為何值時，向量與互相垂直？)(,2432, 1|1cbacabacbakbakbababa求證：是非零向量，且、設的值?；ハ啻怪保笠才c且、若3、用向量方法證明：直徑所對的圓周、用向量方法證明：直徑所對的圓周角為直角。角為直角。ABCO分析：要證分析：要證ACB=90，只須證向，只須證向量量 ，即，即 。A AC CC CB B 0 0A AC CC CB B , ,A AO Oa a O OC Cb b , ,A AC Ca ab b C CB Ba ab b A A