期權(quán)和公司債務(wù)的定價(jià)

1、課程：專業(yè)英語(yǔ) 專業(yè)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 年級(jí)：2009級(jí) 姓名：董 南 成績(jī)： 期權(quán)和公司債務(wù)的定價(jià)費(fèi)希爾·布萊克（Fischer Black）邁倫.斯科爾斯（Myron Scholes）如果期權(quán)能在市場(chǎng)中正確地定價(jià)，就有可能確定由期權(quán)及其標(biāo)的股票的多頭和空頭所構(gòu)造的資產(chǎn)組合的收益。運(yùn)用這個(gè)原理，可以推導(dǎo)出一個(gè)理論上的期權(quán)定價(jià)公式。因?yàn)閹缀跛械墓矩?fù)債都可以被視為期權(quán)的組合，推導(dǎo)期權(quán)的公式和分析也可用于諸如普通股、公司債券和權(quán)證等公司負(fù)債。特別地，公式可以用于推導(dǎo)可違約公司債券的貼現(xiàn)值。介紹期權(quán)是一種受制于一定條件，在指定的期限內(nèi)，賦予買入或賣出某種資產(chǎn)權(quán)利的保證?！懊朗狡跈?quán)”是一

2、種可以在期權(quán)到期之前的任意時(shí)間行使的期權(quán)?！皻W式期權(quán)”是一種只能在一個(gè)未來(lái)指定的日期行使的期權(quán)。行使期權(quán)時(shí)資產(chǎn)支付的價(jià)格被稱為“行使價(jià)格”或“執(zhí)行價(jià)格”。期權(quán)可被行使的最后一天被稱為“截止日”或“到期日”。最簡(jiǎn)單的期權(quán)品種是賦予購(gòu)買單一普通股的權(quán)利。本文中大部分我們都是討論這種期權(quán)，這種期權(quán)常被歸為“看漲期權(quán)”。一般來(lái)說(shuō)，股票的價(jià)格越高，期權(quán)的價(jià)值就越大。當(dāng)股票價(jià)格遠(yuǎn)大于行使價(jià)格時(shí)，期權(quán)肯定會(huì)被行使。期權(quán)的現(xiàn)值因此也會(huì)近似等于股票的價(jià)格減去與期權(quán)有相同到期日、面值等于執(zhí)行價(jià)格的純貼現(xiàn)債券的價(jià)格。另一方面，如果股票的價(jià)格遠(yuǎn)小于行使價(jià)格，期權(quán)到期時(shí)不會(huì)被行使，它的價(jià)值近似為零。如果期權(quán)的截止日在非

3、常遙遠(yuǎn)的未來(lái)，那么在到期日支付行使價(jià)格的債券的價(jià)格會(huì)非常低，期權(quán)的價(jià)值就近似等于股票的價(jià)格。在另一方面，如果到期日非常近，期權(quán)的價(jià)值就近似等于股票的價(jià)格減去行使價(jià)格，如果股票價(jià)格低于行使價(jià)格，期權(quán)的價(jià)值為零。通常地，如果股票的價(jià)值不變，期權(quán)價(jià)值隨到期日的接近而下降。這些期權(quán)價(jià)值和股票價(jià)格關(guān)系的一般性質(zhì)常用圖1中的圖形說(shuō)明。直線A代表期權(quán)的最大值，因?yàn)槠跈?quán)的價(jià)值不會(huì)超過(guò)股票的價(jià)格。直線B代表期權(quán)的最小值，因?yàn)槠跈?quán)的價(jià)值不為負(fù)且不會(huì)小于股票的價(jià)格減去行使價(jià)格。直線依次代表到期日越來(lái)越短的期權(quán)的價(jià)值。一般地，代表期權(quán)價(jià)值的曲線是向上凹的。由于它也位于45度直線A的下方，我們可以看到期權(quán)的變動(dòng)比股票的

4、更不穩(wěn)定。一個(gè)給定股票價(jià)格百分比的變動(dòng)會(huì)導(dǎo)致一個(gè)到期日恒定的期權(quán)的價(jià)值更大的變動(dòng)。然而，期權(quán)的相對(duì)變動(dòng)性不是一個(gè)常數(shù)，它依賴于股票的價(jià)格和到期日。先前大部分有關(guān)于期權(quán)定價(jià)的工作都是以權(quán)證的形式表述的。例如，Sprenkle（1961）、Ayres（1963）、Boness（1964）、Samuelson（1965）、Baumol、Malkiel和Quandt（1966）和Chen（1970）都推導(dǎo)出同樣的定價(jià)公式的一般形式。然而，他們的公式都是不完整的，因?yàn)樗麄兌紱](méi)有涉及有一個(gè)或多個(gè)任意參數(shù)的情況。例如，Sprenkle的期權(quán)定價(jià)公式如下：在這個(gè)表達(dá)式中，是股票價(jià)格，是行使價(jià)格，是到期日，是當(dāng)

5、前日期，是股票回報(bào)的方差率，是自然對(duì)數(shù)，是累計(jì)正態(tài)密度函數(shù)。但和是未知的參數(shù)。Sprenkle（1961）定義為當(dāng)權(quán)證到期時(shí)股票價(jià)格的期望值與股票當(dāng)前價(jià)格的比值，是基于股票風(fēng)險(xiǎn)的一個(gè)貼現(xiàn)因子。他嘗試以經(jīng)驗(yàn)估計(jì)和的值，但結(jié)果發(fā)現(xiàn)他還是無(wú)能為力。更典型地，Samuelson（1965）有兩個(gè)未知參數(shù)和，其中是股票的期望回報(bào)率，是權(quán)證的期望回報(bào)率或應(yīng)用于權(quán)證的貼現(xiàn)率。他假設(shè)當(dāng)權(quán)證到期時(shí)股票合理的價(jià)值分布服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布且在行使價(jià)格切斷分布并取這個(gè)分布的期望值。隨后他用貼現(xiàn)率將這個(gè)期望值貼現(xiàn)至今。不幸地是，在資本市場(chǎng)均衡的條件下似乎沒(méi)有證券的定價(jià)模型能用這個(gè)合適的程序確定權(quán)證的價(jià)值。在隨后的論文中，S

6、amuelson和Merton（1969）認(rèn)識(shí)到當(dāng)權(quán)證行使時(shí)貼現(xiàn)其可能價(jià)值分布的期望值不是合適的程序。他們進(jìn)一步發(fā)展了將期權(quán)價(jià)格看做股票價(jià)格函數(shù)的理論。他們還認(rèn)識(shí)到貼現(xiàn)率在某種程度上是由投資者愿意持有的全部股票與期權(quán)的應(yīng)收賬款這個(gè)必要條件確定的。但他們沒(méi)有利用投資者也必須持有其它資產(chǎn)的事實(shí)，因此影響其貼現(xiàn)率的期權(quán)和股票的風(fēng)險(xiǎn)僅僅是無(wú)法回避風(fēng)險(xiǎn)的一部分。他們最終的公式依賴于他們所假設(shè)的典型投資者的效用函數(shù)。Thorp和Kassouf（1967）表述了我們開(kāi)發(fā)模型的觀念之一。他們用實(shí)際權(quán)證價(jià)格的曲線模擬得到了一個(gè)權(quán)證的經(jīng)驗(yàn)定價(jià)公式。之后他們利用這個(gè)公式計(jì)算了用作對(duì)沖的一個(gè)多頭和另一個(gè)空頭的股票與權(quán)

7、證的比例。他們沒(méi)有從事均衡的研究，即對(duì)沖的回報(bào)應(yīng)該等于一項(xiàng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的回報(bào)。我們下面所展示的是用均衡條件來(lái)推導(dǎo)理論上的定價(jià)公式。定價(jià)公式為了能根據(jù)股票價(jià)格推導(dǎo)出期權(quán)價(jià)值的公式，我們假設(shè)一些市場(chǎng)對(duì)于股票和期權(quán)的“理想條件”。a) 短期利率是已知的且在整個(gè)時(shí)間段內(nèi)是常數(shù)。b) 股票價(jià)格在連續(xù)的時(shí)間內(nèi)隨機(jī)游動(dòng)且其方差率與股票價(jià)格的平方成比例。因此在任意有限時(shí)間間距的末端合理的股票價(jià)格分布是對(duì)數(shù)正態(tài)的。股票回報(bào)的方差是常數(shù)。c) 股票不支付紅利和其它的股利派發(fā)。d) 期權(quán)是“歐式的”，也就是說(shuō)它只能在到期日行使。e) 買賣股票和期權(quán)是沒(méi)有交易費(fèi)用。f) 可用短期利率借到任意價(jià)格單位的證券買進(jìn)或持有。g

8、) 短期賣出沒(méi)有處罰金。沒(méi)有證券的賣家直接接受買家提供的證券價(jià)格，且同意將來(lái)與買家進(jìn)行清算并支付他與那天證券價(jià)格相當(dāng)?shù)囊欢〝?shù)量的證券。在這些假設(shè)下，期權(quán)的價(jià)值只依賴于股票的價(jià)格、時(shí)間和已知為常數(shù)的變量。因此，可以設(shè)計(jì)一個(gè)由股票多頭和期權(quán)空頭組成的對(duì)沖策略，它的價(jià)值不依賴于股票價(jià)格，但依賴于時(shí)間和一直常數(shù)的值。記為期權(quán)的價(jià)值，它是股票價(jià)格和時(shí)間的函數(shù)，相對(duì)于一股股票的多頭期權(quán)被賣空的數(shù)量為： （1）在表達(dá)式（1）中，下標(biāo)表示的對(duì)第一個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)。為了理解這個(gè)不依賴于股票價(jià)格的對(duì)沖策略，注意到當(dāng)股票價(jià)格變化很小時(shí)期權(quán)價(jià)值的變化與股票價(jià)格的變化的比例為。對(duì)于第一種近似法，如果股票價(jià)格的變化量為，

9、期權(quán)價(jià)格的變化量為，由表達(dá)式（1）給出的期權(quán)數(shù)量的變動(dòng)為。因此，股票多頭的變動(dòng)值將會(huì)近似地抵消期權(quán)空頭的變動(dòng)值。當(dāng)變量和的變動(dòng)時(shí)，期權(quán)被賣空的數(shù)量隨股票對(duì)沖策略改變。如果對(duì)沖是持續(xù)持有的，那么上文中提到的近似法是準(zhǔn)確的，且對(duì)沖策略的回報(bào)與股票的變動(dòng)值是完全獨(dú)立的。事實(shí)上，做對(duì)沖的回報(bào)是確定的。為了說(shuō)明對(duì)沖策略的構(gòu)造，我們考慮圖1中的實(shí)心線（）并且假設(shè)股票價(jià)格以$15.00為起點(diǎn)，因此期權(quán)的價(jià)值就以$5.00為起點(diǎn)。同時(shí)假設(shè)直線在那點(diǎn)的斜率為。這意味著對(duì)沖策略是買入一股股票同時(shí)賣出兩單位期權(quán)。一股股票花費(fèi)$15.00，銷售兩單位期權(quán)的收入為$10.00，因此這個(gè)策略的收益為$5.00。如果對(duì)沖策

10、略不隨股票價(jià)格的改變而改變，那么在有限時(shí)間間距的末端的權(quán)益值包含了一定的不確定性。假設(shè)兩單位期權(quán)從$10.00漲到$15.75同時(shí)股票從$15.00漲到$20.00，或它們從$10.00跌到$5.75同時(shí)股票從$15.00跌到$10.00。因此，當(dāng)股票價(jià)格在正負(fù)兩個(gè)方向變動(dòng)$5.00時(shí)收益從$5.00變?yōu)?4.25。即當(dāng)股票價(jià)格在正負(fù)兩個(gè)方向變動(dòng)$5.00時(shí)收益下降了$0.75。另外，曲線隨期權(quán)到期日的改變而轉(zhuǎn)換（如圖1中由到）。結(jié)果期權(quán)價(jià)值的下降意味著股票價(jià)格的大變動(dòng)導(dǎo)致對(duì)沖的收益增加和可能損失的抵消。注意到隨著股票價(jià)格的大變動(dòng)收益的下降的幅度很小。股票價(jià)格變動(dòng)值越小，收益的下降值與股票價(jià)格

11、的變動(dòng)值之間的比例股票價(jià)格變動(dòng)值就越小。同時(shí)也注意到收益變動(dòng)的方向與股票價(jià)格變動(dòng)的方向獨(dú)立的，這意味著在股票價(jià)格遵循連續(xù)一個(gè)隨機(jī)游動(dòng)且方差率為常數(shù)的假設(shè)下，收益回報(bào)和股票回報(bào)之間的協(xié)方差為零。如果股票價(jià)格和“市場(chǎng)投資組合”的價(jià)值遵循一個(gè)協(xié)方差為常數(shù)的聯(lián)合的連續(xù)隨機(jī)游動(dòng)，它意味著收益回報(bào)與市場(chǎng)回報(bào)之間的協(xié)方差為零。因此，如果能不斷調(diào)整期權(quán)的空頭策略可以使對(duì)沖的風(fēng)險(xiǎn)為零。如果這個(gè)策略不能不斷地調(diào)整，風(fēng)險(xiǎn)也較小，且利用對(duì)沖策略的投資組合也能分散全部的風(fēng)險(xiǎn)。一般而言，由于對(duì)沖策略包含一股股票多頭和單位期權(quán)的空頭，此策略的收益值為： （2）在短間隔上收益的變動(dòng)值為： （3）假設(shè)空頭策略不斷地變動(dòng)，我們可

12、以利用隨機(jī)微積分的知識(shí)去展開(kāi)，即如下： （4）在（4）式中，的下標(biāo)指的是偏導(dǎo)數(shù)，是股票回報(bào)的方差率。將表達(dá)式（3）代入（4）式，我們得到對(duì)沖策略的收益變動(dòng)值為： （5）由于對(duì)沖策略的收益回報(bào)是確定的，回報(bào)必須等于。即使對(duì)沖策略不是不斷變動(dòng)的，風(fēng)險(xiǎn)也很小且全部都可以分散，因此對(duì)沖策略的期望回報(bào)就是短期利率。否則，套利者就會(huì)通過(guò)借入大量資金實(shí)施對(duì)沖策略并從中獲利，這個(gè)過(guò)程就會(huì)迫使回報(bào)下降至短期利率。因此（5）式中收益的變動(dòng)必須等于（2）式中的收益值乘上。 （6）消去兩邊的，重新整理，我們得到一個(gè)期權(quán)價(jià)值的微分方程。 （7）記為期權(quán)的到期日，c為行使價(jià)格，我們知道； （8） 這是受制于邊界條件（8）

13、滿足微分方程（7）的唯一公式。這個(gè)公式就是期權(quán)定價(jià)公式。為了解出這個(gè)微分方程，我們作以下的置換： （9）有了這個(gè)置換，微分方程變?yōu)椋?（10）并且邊界條件變?yōu)椋?（11） 微分方程（10）是物理學(xué)中的熱傳導(dǎo)方程，它的解由Churchill(1963,p155)給出。換成我們的記號(hào)，方程的解為; (12)將（12）式代入（9）式，簡(jiǎn)化后，我們得到： （13） 在（13）式中，是累計(jì)正態(tài)密度函數(shù)。注意到股票的期望回報(bào)沒(méi)有在（13）式中出現(xiàn)。期權(quán)價(jià)值作為股票價(jià)格的函數(shù)與股票回報(bào)是獨(dú)立的。然而，期權(quán)的期望回報(bào)將依賴于股票的期望回報(bào)。股票價(jià)格上漲地越快，期權(quán)價(jià)格基于函數(shù)關(guān)系式（13）也就上漲地越快。注意到出現(xiàn)在公式中的到期期限只與利率或方差率相乘。因此，到期期限的增加作用于期權(quán)價(jià)值相