現(xiàn)代信號處理方法1_2

1、 第一章第一章 信號的時(shí)頻分析信號的時(shí)頻分析1.1 引言引言1.2 Hilbert變換與解析信號變換與解析信號1.3 時(shí)頻分布及其性質(zhì)時(shí)頻分布及其性質(zhì)1.4 二次型時(shí)頻分布的交叉項(xiàng)二次型時(shí)頻分布的交叉項(xiàng)1.5 Wigner-Ville分布及其應(yīng)用分布及其應(yīng)用1.3時(shí)頻分布及其性質(zhì)時(shí)頻分布及其性質(zhì) 1.3.1單分量信號與多分量信號單分量信號與多分量信號 單分量信號單分量信號就是在任一時(shí)間只有一個(gè)頻率或一就是在任一時(shí)間只有一個(gè)頻率或一個(gè)頻率窄帶的信號個(gè)頻率窄帶的信號。 圖圖1.2.2單分量信號時(shí)頻表示及其特征單分量信號時(shí)頻表示及其特征 峰值就是峰值就是瞬時(shí)頻率瞬時(shí)頻率與瞬時(shí)頻率對偶的物理量叫做與瞬

2、時(shí)頻率對偶的物理量叫做群延遲群延遲，定義如，定義如下：下：)(arg21)(tzdtdtfi1( )arg( )2gdfZ fdf 多分量信號多分量信號是由兩個(gè)（或多個(gè)）山峰構(gòu)成是由兩個(gè)（或多個(gè)）山峰構(gòu)成, 每每一個(gè)山峰都有它自己不同的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)一個(gè)山峰都有它自己不同的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)帶寬。帶寬。 Fourier變換另一種形式變換另一種形式 1.3.2時(shí)頻分布定義時(shí)頻分布定義dtetsfSftj2)()(dfefStstfj2)()(2維維Fourier變換變換 21)(221212211),(),(dtdtettsffStftfj 21)(221212211),(),(dfdfeffStt

3、stftfjCohen類時(shí)頻分布定義類時(shí)頻分布定義 dudvdevuzuzftPvufvtj)(2*),()21()21(),(時(shí)頻分布的作用：時(shí)頻分布的作用：將時(shí)間變元將時(shí)間變元t的解析信號的解析信號 變換成時(shí)間變元變換成時(shí)間變元t和頻率變元和頻率變元f的函數(shù)的函數(shù) 。)(tz式中式中 稱為稱為核函數(shù)核函數(shù)。 ),(v),(ftp（1.3.1） 特別，當(dāng)核函數(shù)特別，當(dāng)核函數(shù) 時(shí)，注意到時(shí)，注意到 detztzftPfj2*)21()21(),(則（則（1.3.1)式式化為化為1),(v上式就是著名的上式就是著名的Wigner-Ville分布分布 .)()(2utdveutvjfjfjetzt

4、zduuteuzuz2*2*)21()21()()21()21(（1.3.2） 記記上式是一個(gè)雙線性變換（雙時(shí)間信號）。關(guān)于上式是一個(gè)雙線性變換（雙時(shí)間信號）。關(guān)于時(shí)間時(shí)間t作作Fourier反變換反變換 稱為稱為模糊函數(shù)模糊函數(shù) 。則（則（1.3.1)式可寫成式可寫成 )2()2(),(*tztztkzdtetztzvAtvjz2*)2()2(),(（1.3.3） ),(vAzdvdevvAftPfvtjz)(2),(),(),(（1.3.4） 對上式作對上式作2維維Fourier反變換有反變換有則有則有dtdfeftpvvAfvtjz)(2),(),(),( dueuzuzdtdfeftP

5、vAdtdfeftPvvujfvtjzfvtj2*)(2)(2)2()2(),( ),(),(),(（1.3.5） 如果如果時(shí)頻分布時(shí)頻分布 有特定性質(zhì)要求有特定性質(zhì)要求, 由上式可決定對由上式可決定對核函數(shù)的性質(zhì)要求核函數(shù)的性質(zhì)要求. ),(ftp互時(shí)頻分布定義互時(shí)頻分布定義 兩個(gè)連續(xù)信號兩個(gè)連續(xù)信號 ， 的的互時(shí)頻分布互時(shí)頻分布定義為：定義為：式中式中是是 和和 的互模函數(shù)。的互模函數(shù)。 )(tx)(tx)(ty dudvdevuyuxftPvufvtjxy)(2*),()21()21(),( dvdevvAftvjxy)(2),(),(（1.3.6） dueuyuxvAvujxy2*)2

6、()2(),(（1.3.7） )(ty兩個(gè)信號之和兩個(gè)信號之和 的時(shí)頻分布的時(shí)頻分布為：為： 上式右端前兩項(xiàng)為信號項(xiàng)上式右端前兩項(xiàng)為信號項(xiàng),后兩項(xiàng)為交叉項(xiàng)后兩項(xiàng)為交叉項(xiàng). 可以由可以由(自自)時(shí)頻分布與互時(shí)頻分布的時(shí)頻分布與互時(shí)頻分布的定義推導(dǎo)出上式定義推導(dǎo)出上式,請學(xué)生自己完成上式的推導(dǎo)請學(xué)生自己完成上式的推導(dǎo).)()()(2211tzctzctz), (), (), (|), (|), (122121,*12,*212221ftPccftPccftPcftPcftPzzzzzzz（1.3.8） 1.3.3時(shí)頻分布的基本性質(zhì)要求時(shí)頻分布的基本性質(zhì)要求對于任何一種實(shí)際和有用的非平穩(wěn)信號分析，對

7、于任何一種實(shí)際和有用的非平穩(wěn)信號分析，通常要求時(shí)頻分布具有表示信號能量分布的通常要求時(shí)頻分布具有表示信號能量分布的特性。因此希望時(shí)頻分布能夠滿足下面的性特性。因此希望時(shí)頻分布能夠滿足下面的性質(zhì)：質(zhì)： 1.時(shí)頻分布必須是實(shí)的（且希望是非負(fù)的）。時(shí)頻分布必須是實(shí)的（且希望是非負(fù)的）。2.時(shí)頻分布關(guān)于時(shí)間時(shí)頻分布關(guān)于時(shí)間t和頻率和頻率f的積分應(yīng)給出的積分應(yīng)給出信信號的總能量號的總能量E，即，即 dtdfftPE),(3.滿足邊緣特性。如果把某一特定時(shí)間的所有滿足邊緣特性。如果把某一特定時(shí)間的所有頻率的能量分布累加起來，就應(yīng)該得到瞬時(shí)頻率的能量分布累加起來，就應(yīng)該得到瞬時(shí)功率；如果把某一特定頻率的能量

8、分布在全功率；如果把某一特定頻率的能量分布在全部時(shí)間內(nèi)累加，就應(yīng)該得到能量譜密度。因部時(shí)間內(nèi)累加，就應(yīng)該得到能量譜密度。因此，在理想情況下，時(shí)間和頻率的聯(lián)合密度此，在理想情況下，時(shí)間和頻率的聯(lián)合密度應(yīng)該滿足：應(yīng)該滿足： 2| )(|),(fZdtftP2| )(|),(tzdfftP4.時(shí)頻分布的一階矩給出信號的瞬時(shí)頻率和時(shí)頻分布的一階矩給出信號的瞬時(shí)頻率和群延遲，即群延遲，即dfftPdfftfPtfi),(),()(dtftPdtfttPfg),(),()(5.有限支撐特性有限支撐特性 從能量角度對時(shí)頻分布提出的一個(gè)基本性從能量角度對時(shí)頻分布提出的一個(gè)基本性質(zhì)。在信號處理中，往往要求信號具

9、有有限質(zhì)。在信號處理中，往往要求信號具有有限的時(shí)寬和有限的帶寬。如果信號只在某個(gè)時(shí)的時(shí)寬和有限的帶寬。如果信號只在某個(gè)時(shí)間區(qū)間取非零值，并且信號的頻譜也只在某間區(qū)間取非零值，并且信號的頻譜也只在某個(gè)頻率區(qū)間取非零值，則稱信號及其頻譜是個(gè)頻率區(qū)間取非零值，則稱信號及其頻譜是有限支撐的，同樣，如果在信號和其頻譜的有限支撐的，同樣，如果在信號和其頻譜的總支撐區(qū)以外，信號的時(shí)頻分布等于零，總支撐區(qū)以外，信號的時(shí)頻分布等于零，就稱時(shí)頻分布是有限支撐的就稱時(shí)頻分布是有限支撐的.),(21ttt0)(ts0),(tP),(210)(S0),(tP弱有限支撐弱有限支撐 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),若若 ,則有則有當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),

10、若若 ,則有則有強(qiáng)有限支撐強(qiáng)有限支撐 若若 ,則有則有若若 ,則有則有0),(tP0),(tP0)(ts0)(S 在上面的特性中，邊緣特性和非負(fù)特性保在上面的特性中，邊緣特性和非負(fù)特性保證了時(shí)頻分布準(zhǔn)確反映信號的譜能量、瞬證了時(shí)頻分布準(zhǔn)確反映信號的譜能量、瞬時(shí)功率和總能量。邊緣特性可以保證信號的時(shí)功率和總能量。邊緣特性可以保證信號的總體量（平均時(shí)間、平均頻率、時(shí)寬和帶寬總體量（平均時(shí)間、平均頻率、時(shí)寬和帶寬等）正確給定。非負(fù)性則可以進(jìn)一步保證分等）正確給定。非負(fù)性則可以進(jìn)一步保證分布的條件期望是切合實(shí)際的和物理解釋。非布的條件期望是切合實(shí)際的和物理解釋。非負(fù)性和邊緣特性一起可以保證時(shí)頻分布的負(fù)

11、性和邊緣特性一起可以保證時(shí)頻分布的強(qiáng)有限支撐。強(qiáng)有限支撐。 但應(yīng)當(dāng)指出，并不是所有的時(shí)頻分布都但應(yīng)當(dāng)指出，并不是所有的時(shí)頻分布都滿足表中的所有性質(zhì)，實(shí)際中適用的時(shí)頻滿足表中的所有性質(zhì)，實(shí)際中適用的時(shí)頻分布并非一定要滿足所有的性質(zhì)，應(yīng)該根據(jù)分布并非一定要滿足所有的性質(zhì)，應(yīng)該根據(jù)具體情況進(jìn)行合理取舍具體情況進(jìn)行合理取舍。 1.3.4核函數(shù)的基本性質(zhì)要求核函數(shù)的基本性質(zhì)要求 dueuzuzdtdfeftPvAdtdfeftPvvujfvtjzfvtj2*)(2)(2)2()2(),( ),(),(),(由（由（1.3.5）式）式 由時(shí)頻分布要求的性質(zhì)由時(shí)頻分布要求的性質(zhì),可得到核函數(shù)要求的可得到核函

12、數(shù)要求的性質(zhì)性質(zhì).1、邊緣特性：邊緣特性：為使信號時(shí)頻分布滿足時(shí)間、為使信號時(shí)頻分布滿足時(shí)間、頻率邊緣特性，核函數(shù)必須滿足頻率邊緣特性，核函數(shù)必須滿足 時(shí)間邊緣時(shí)間邊緣: :頻率邊緣頻率邊緣: : 1), 0(v1)0 ,(t2、能量歸一化：能量歸一化：為使時(shí)頻分布在不一定滿為使時(shí)頻分布在不一定滿足邊緣特性情況下總能量歸一，核函數(shù)必須足邊緣特性情況下總能量歸一，核函數(shù)必須滿足滿足1)0 , 0(3、實(shí)值性：實(shí)值性：為了使時(shí)頻分布是實(shí)的，核函為了使時(shí)頻分布是實(shí)的，核函數(shù)必須滿足數(shù)必須滿足 5 5、尺度不變性：尺度不變性：為使時(shí)頻分布具有尺度不為使時(shí)頻分布具有尺度不變性，核必須是一個(gè)乘積核，即變性

13、，核必須是一個(gè)乘積核，即 ),(),(*vv4 4、時(shí)、頻移不變性：時(shí)、頻移不變性：為使時(shí)頻分布具有時(shí)、為使時(shí)頻分布具有時(shí)、頻移不變性，則核函數(shù)必須是與時(shí)間和頻率頻移不變性，則核函數(shù)必須是與時(shí)間和頻率不相關(guān)的。不相關(guān)的。 )(),(vv6、有限支撐性：有限支撐性：為使時(shí)頻分布滿足有限支為使時(shí)頻分布滿足有限支撐性，核函數(shù)必須滿足撐性，核函數(shù)必須滿足弱有限支撐：弱有限支撐：強(qiáng)有限支撐強(qiáng)有限支撐 : 時(shí)，當(dāng)|20),(tdvevjvt時(shí)，當(dāng)|20),(vdevj時(shí)，當(dāng)|20),(tdvevjvt時(shí)，當(dāng)|20),(vdevj1.3.5局部相關(guān)函數(shù)與特征函數(shù)局部相關(guān)函數(shù)與特征函數(shù) 信號信號 的瞬時(shí)功率實(shí)

14、質(zhì)是一種二次型（雙線性）的瞬時(shí)功率實(shí)質(zhì)是一種二次型（雙線性）變換變換 在平穩(wěn)信號中就用二次型來定義相關(guān)函數(shù)和功率在平穩(wěn)信號中就用二次型來定義相關(guān)函數(shù)和功率譜，即譜，即)(tz)()(*tztzdttztzR)()()(*deRfSfj2)()(考慮到非平穩(wěn)信號與平穩(wěn)信號具有不同的特性，考慮到非平穩(wěn)信號與平穩(wěn)信號具有不同的特性，把上面的自相關(guān)函數(shù)把上面的自相關(guān)函數(shù) 定義成如下對稱形式定義成如下對稱形式)(RdttztzR)2()2()(*對稱的雙線性變換對稱的雙線性變換 更能表現(xiàn)出更能表現(xiàn)出非平穩(wěn)信號的某些重要特性。非平穩(wěn)信號的某些重要特性。)2()2(*tztz非平穩(wěn)信號的非平穩(wěn)信號的局部相關(guān)

15、函數(shù)局部相關(guān)函數(shù)定義如下：定義如下： （1.3.9） duuzuztutR)2()2(),(),(*式中式中 是起平滑作用的窗函數(shù)，它與核函數(shù)是起平滑作用的窗函數(shù)，它與核函數(shù)存在如下存在如下FourierFourier變換關(guān)系：變換關(guān)系： ),(tdtetvtvj2),(),(dvevttvj2),(),(對局部相關(guān)函數(shù)作對局部相關(guān)函數(shù)作Fourier變換，得到變換，得到時(shí)變時(shí)變功率譜功率譜，也就是信號能量的時(shí)頻分布，也就是信號能量的時(shí)頻分布，即即（1.3.10） 這表明，時(shí)頻分布可以局部相關(guān)函數(shù)定義，只這表明，時(shí)頻分布可以局部相關(guān)函數(shù)定義，只要取不同的局部相關(guān)函數(shù)形式，就能得到不同的要取不同

16、的局部相關(guān)函數(shù)形式，就能得到不同的時(shí)頻分布。時(shí)頻分布。 detRftPfj2),(),(若取窗函數(shù)若取窗函數(shù) ，則得到則得到瞬時(shí)相關(guān)函數(shù)瞬時(shí)相關(guān)函數(shù) （1.3.10） 它的它的FourierFourier變換就是著名的變換就是著名的WignerWigner-Ville-Ville分布分布 )(),(tutu)2()2()2()2()(), (), (*tztzduuzuztutktRzdetztzftWfjz 2*)2()2(),(（1.3.11） 若信號若信號 的時(shí)頻分布為的時(shí)頻分布為 ，隨機(jī)信號的，隨機(jī)信號的特征函數(shù)特征函數(shù)定義為定義為 的二維的二維FourierFourier逆變換逆變換 （1.3.12） 于是時(shí)頻分布可以通過特征函數(shù)的二維于是時(shí)頻分布可以通過特征函數(shù)的二維FourierFourier變換得到，即變換得到，即 )(tz),(ftp),(ftp dtdfeftPvMftvj)(2)