平方差公式與完全平方公式試題含答案

1、海量資源,歡送共閱乘法公式的復(fù)習(xí) 一、復(fù)習(xí)：(a+b)(a-b)=a 2-b2(a+b) 2=a2+2ab+6(a-b) 2=a2-2ab+b2歸納小結(jié)公式的變式,準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式：位置變化,(x+y x_y+x嚴(yán)2_y2符號(hào)變化,(+yh_x f_y2=x2_y2指數(shù)變化,(x% x2-y盧4-y4系數(shù)變化,(2a+b)(2ab尸4a2_b2 換式變化, 刈飛 z +m)!xy _( zxy $_( z +m=x2y2( z2zm+ni 尸x2y2z22zmm 增項(xiàng)變化,(X-y+z 0_y_z xy z：x2-2xy+y2-z2 連用公式變化, x y x_y x2.y2=x2y2 x2

2、yS=xy4 逆用公式變化,(xy+z .(x+y-z $=(x-y+z 尸(x+y-z 此 x-y+z 卜(x+y-z)=2x -2y 2z =-4xy 4xz例1 a b 2, ab =1,求a2 b2的值.解(a b)2 = a2 2ab b2 二 a2 b2 = (a b)2 -2abI a b =2, ab =1 a2 b2 =22 -2 1=2例 2 a b =8, ab = 2,求(a - b)2 的值.解： (a b)2 二a2 2ab b2 (a -b)2 二 a2 -2ab b22 2 2 2 (a b) - (a -b) = 4ab (a b) - 4ab = (a -

3、b)/ a b=8,ab=2 (a-b)2 = 82 -4 2 =56例 3 :計(jì)算 19992-2000 X 1998解析此題中2000=1999+1, 1998=1999-1,正好符合平方差公式.解：19992-2000 X 1998=1999- (1999+1)X( 1999-1 )=19992- (19992-1 2) =199&-19992+1=1例 4： a+b=2, ab=1,求 a2+b2和(a-b) 2的值.解析此題可用完全平方公式的變形得解.解：a2+b2=(a+b) 2-2ab=4-2=2(a-b) 2=(a+b) 2-4ab=4-4=0例 5: x-y=2,y-

4、z=2,x+z=14.求 x -z 的值.解析此題假設(shè)想根據(jù)現(xiàn)有條件求出 x、y、z的值,比擬麻煩,考慮到x2-z 2是由x+z和x-z的積得來(lái) 的,所以只要求出x-z的值即可.解：由于 x-y=2,y-z=2,將兩式相加得 x-z=4,所以 x2-z2= (x+z) (x-z)=14 X 4=56.例6:判斷(2+1) (22+1) (24+1)(22048+1) +1的個(gè)位數(shù)字是幾？解析此題直接計(jì)算是不可能計(jì)算出一個(gè)數(shù)字的答案,故有一定的規(guī)律可循.觀察到1= (2-1 )和上式可構(gòu)成循環(huán)平方差.解：(2+1) (22+1) (24+1)(22048+1 ) +1=(2-1 ) (22+1)

5、 (24+1)(22048+1) +14096=2,-1024=16由于當(dāng)一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是 6的時(shí)候,這個(gè)數(shù)的任意正整數(shù)幕的個(gè)位數(shù)字都是6,所以上式的個(gè)位數(shù)字必為6.例7運(yùn)用公式簡(jiǎn)便計(jì)算(1) 1032 (2) 1982解：(1) 103 弋 100+3 )=100 +2F00x3+3P0000托00+9=10609(2) 1982- 200-2 2=2002-2 200 2 22 =40000-800 4=39204例8 計(jì)算(1) a 4b-3c a-4b-3c (2) 3x y-2 3x-y 2解：(1)原式豈 a-3c 4ba-3c -4bb a-3c 2- 4b 2=a2-6ac

6、9c2T6b2(2) 原式 f3x y-2 H3x- y-2 Tx?- -4y 4 =9-4y-4例9 解以下各式(1)(2)(3) a2 b13, ab=6,求 a b2, a_b 2的值QQ*ryQ(a+b)夕,(a-b)=4,求 a+b , ab 的值.2 2a a_1 - a2_b =2,求冷匕-ab的值.4x_】=3,求x4 丄的值.xx分析：在公式a+b2=a2+b2+2ab中,如果把a(bǔ)+b, a2+b2和ab分別看作是一個(gè)整體,那么公式中有三個(gè)未 知數(shù),知道了兩個(gè)就可以求出第三個(gè).解：1v a2 b2=13, ab=62 2 2 2 2 2a b a b 2ab=13 2 6=2

7、5 a_b a b-2ab=13-2 6=12v a b 2=7, a-b 2=42222.a 2ab b =7 a -2ab b -4®得2 a2 b2 =11,即a2 b2弓邈得4ab=3,即ab =3423 由 a a -1 丁 a b =2 得 a - b - - 24由 x 一1 =3,得.x 一丄 f=9 即 x2 +2 2 =9 二 x2 +A =11xI X丿xxx2 1 =121 即 x4 2 =121 X4 14 =119V x Jxx例10.四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積加上 1, 一定是平方數(shù)嗎？為什么？分析：由于 1 2 3 4,1=25=522 3 4 5 1 =1

8、2仁11223 4 5 6 1 =361=19得猜測(cè)：任意四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1,都是平方數(shù).解：設(shè)n, n 1, n 2, n,3是四個(gè)連續(xù)自然數(shù)貝U nn+1 p+2 jn +3+1=nn +3貝n+1 n*2+1pn2+3n j+2n2+3n+12 2 2 2n +3nn +3n +2 +1 弋 n +3n+1 n是整數(shù),二n2, 3n都是整數(shù)二n2+3n+1 定是整數(shù)-n2 3n訂是一個(gè)平方數(shù).四個(gè)連續(xù)整數(shù)的積與1的和必是一個(gè)完全平方數(shù).二、乘法公式的用法一、套用：這是最初的公式運(yùn)用階段,在這個(gè)環(huán)節(jié)中,應(yīng)弄清乘法公式的來(lái)龍去脈,準(zhǔn)確地掌握其特 征,為識(shí)別和運(yùn)用公式打下根底,同時(shí)能提

9、升學(xué)生的觀察水平.例 1.計(jì)算：5x2 3y2 5x2 -3y22 2解：原式=5x2 -3y2 =25x4 -9y4二、連用:連續(xù)使用同一公式或連用兩個(gè)以上公式解題例 2.計(jì)算：a a 1 a21 a41解：原式=11 -a2 1 a2 1 a4例 3.計(jì)算：3x 2y-5z 1 -3x 2y-5z-1解：原式二2y -5z 3x 2y -5z；I3x T 1、逆用:學(xué)習(xí)公式不能只會(huì)正向運(yùn)用,有時(shí)還需要將公式左、右兩邊交換位置,得出公式的逆向形式,海量資源,歡送共閱并運(yùn)用其解決問(wèn)題.2 2例 4.計(jì)算：5a 7b8c 5a -7b 8c解：原式-I 5a 7b -8c 5a - 7b 8c

10、II 5a 7b - 8c - 5a - 7b 8c 四、變用：題目變形后運(yùn)用公式解題.例 5.計(jì)算：x 2 x y 6z解：原式-I x y 2z -41 x y 2z 4z五、活用:把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題.這里以完全平方公式為例,經(jīng)過(guò)變形或重新組合,可得 如下幾個(gè)比擬有用的派生公式：靈活運(yùn)用這些公式,往往可以處理一些特殊的計(jì)算問(wèn)題,培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的水平.例6.ab=4,ab =5,求a2 b2的值.解: a2 + b2 = (a b)2 +2ab =42 +25 = 262 2例 7.計(jì)算：(a+b+c-d ) +(b+c+d-a)I解：原式 二b c亠a - d 丨 I b a

11、 - d 丨三、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問(wèn)題(一) 、注意掌握公式的特征,認(rèn)清公式中的“兩數(shù).例 1 計(jì)算(-2 x2-5)(2 x2-5)分析：此題兩個(gè)因式中“ -5 相同,“ 2x2符號(hào)相反,因而“ -5 是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的 a,而“ 2x2那么是公式中的b.解：原式=(-5-2 x2)(-5+2 x2)=(-5) 2-(2 x2) 2=25-4 x4.例 2 計(jì)算(-a2+4b)2分析：運(yùn)用公式(a+b)2=a2+2ab+b2時(shí),“ -a2就是公式中的a, “4b就是公式中的b；假設(shè)將題目 變形為(4 b-a2)2時(shí),那么“ 4b是公式中的a,而“ a2就是公式中的b

12、.(解略)(二) 、注意為使用公式創(chuàng)造條件例 3 計(jì)算(2x+y-z+5)(2 x- y+z+5).分析：粗看不能運(yùn)用公式計(jì)算,但注意觀察,兩個(gè)因式中的“2x 、“ 5兩項(xiàng)同號(hào),“ y、“ z 兩項(xiàng)異號(hào),因而,可運(yùn)用添括號(hào)的技巧使原式變形為符合平方差公式的形式.解：原式=(2x+5)+(y-z) (2x+5)-( y-z)=(2x+5)2-( y- z) 2=4x2+20x+25-y+2yz-z2.例 5 計(jì)算(2+1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1).分析：此題乍看無(wú)公式可用,“硬乘太繁,但假設(shè)添上一項(xiàng)(2-1 ),那么可運(yùn)用公式,使問(wèn)題化繁 為簡(jiǎn).2482248448解：原式=(

13、2-1)(2+1)(2+1)(2 +1)(2 +1)=(2 -1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)=(2 -1)(2 +1)(2 +1)=(28-1 )( 28+1) =216-1(三) 、注意公式的推廣計(jì)算多項(xiàng)式的平方,由(a+b)2=a2+2ab+b2,可推廣得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.可表達(dá)為：多項(xiàng)式的平方,等于各項(xiàng)的平方和,加上每?jī)身?xiàng)乘積的2倍.例 6 計(jì)算(2 x+y-3) 2解：原式=(2x)2+y2+(-3) 2+2 2x y+2 2x(-3)+2 y(-3)=4 x2+y2+9+4xy-12x-6y.(四) 、注意公式的變換,靈活運(yùn)用變

14、形公式例 7(2)：x+2y=7,xy=6,求(x-2y)2的值.分析：粗看似乎無(wú)從下手,但注意到乘法公式的以下變形：x2+y2=(x+y) 2-2xy,33322x +y =(x+y) -3xy(x+y),(x+y) -( x-y) =4xy,問(wèn)題那么十分簡(jiǎn)單. 解：(2)( x-2y) 2=(x+2y) 2-8xy=72-8 x 6=1.例 8 計(jì)算(a+b+c) 2+( a+b- c) 2+( a- b+c)+( b- a+c)2.海量資源,歡送共閱分析：直接展開(kāi),運(yùn)算較繁,但注意到由和及差的完全平方公式可變換出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2),因而問(wèn)題容易解決.解：原式=(

15、a+b)+ c 2+( a+b)- c2+c+(a- b) 2+c-( a- b) 2=2( a+b) 2+c2+2 c2+(a- b)2=2( a+b)2+(a-b)2+4c2=4a2+4b2+4c2(五) 、注意乘法公式的逆運(yùn)用例 9 計(jì)算(a-2 b+3c) 2-( a+2b-3 c)2.分析：假設(shè)按完全平方公式展開(kāi),再相減,運(yùn)算繁雜,但逆用平方差公式,那么能使運(yùn)算簡(jiǎn)便得多.解：原式=(a-2b+3c)+( a+2b-3c)( a-2 b+3c)-( a+2b-3 c)=2 a(-4 b+6c)=-8 ab+12ac.例 10 計(jì)算(2 a+3b) 2-2(2 a+3b)(5 b-4a)

16、+(4 a-5 b)2分析：此題可以利用乘法公式和多項(xiàng)式的乘法展開(kāi)后計(jì)算,但逆用完全平方公式,那么運(yùn)算更為簡(jiǎn) 便.解：原式=(2 a+3b) 2+2(2 a+3b)(4 a-5 b)+(4 a-5 b) 2=(2 a+3b)+(4 a-5 b) 2=(6 a-2 b) 2=36a2-24 ab+4b2.四、怎樣熟練運(yùn)用公式：(一)、明確公式的結(jié)構(gòu)特征 這是正確運(yùn)用公式的前提,如平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：符號(hào)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘,且在這四項(xiàng)中 有兩項(xiàng)完全相同,另兩項(xiàng)是互為相反數(shù)；等號(hào)右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差,且是相同項(xiàng)的平方減去相 反項(xiàng)的平方.明確了公式的結(jié)構(gòu)特征就能在各種情況下正確運(yùn)用公式.(二

17、八 理解字母的廣泛含義乘法公式中的字母a、b可以是具體的數(shù),也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.理解了字母含義的廣泛性,就能 在更廣泛的范圍內(nèi)正確運(yùn)用公式.如計(jì)算(x+2y 3z) 2,假設(shè)視x+2y為公式中的a,3z為b,那么就可用 (a b) 2=a2 2ab+b2來(lái)解了.(三) 、熟悉常見(jiàn)的幾種變化 有些題目往往與公式的標(biāo)準(zhǔn)形式不相一致或不能直接用公式計(jì)算,此時(shí)要根據(jù)公式特征,合理調(diào)整變 化,使其滿足公式特點(diǎn).常見(jiàn)的幾種變化是：1、位置變化如(3x+5y) (5y 3x)交換3x和5y的位置后即可用平方差公式計(jì)算了.2、符號(hào)變化如(2m 7n) (2m 7n)變?yōu)?2m+7n) (2m 7n)后就可

18、用平方差公式求解了(思考： 不變或不這樣變,可以嗎？3、數(shù)字變化如98X102,9纟,912等分別變?yōu)?1002)(100+2),(100-1)2,(90+1)2后就能夠用乘法公式加以解答了.4、系數(shù)變化如(4m+n) (2m n)變?yōu)? (2m+n) (2m n)后即可用平方差公式進(jìn)行計(jì)算了.24445、項(xiàng)數(shù)變化如(x+3y+2z) (x 3y+6z)變?yōu)?x+3y+4z 2z) (x 3y+4z+2z)后再適當(dāng)分組就可以用 乘法公式來(lái)解了(四八 注意公式的靈活運(yùn)用有些題目往往可用不同的公式來(lái)解,此時(shí)要選擇最恰當(dāng)?shù)墓揭允褂?jì)算更簡(jiǎn)便.如計(jì)算(a2+1) 2 (a21) 2,假設(shè)分別展開(kāi)后再相

19、乘,那么比擬繁瑣,假設(shè)逆用積的乘方法那么后再進(jìn)一步計(jì)算,那么非常簡(jiǎn)便.即 原式=(a2+1) (a2 1) 2= (a4 1) 2=a8 2a4+1.對(duì)數(shù)學(xué)公式只會(huì)順向(從左到右)運(yùn)用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,還要注意逆向(從右到左)運(yùn)用.如計(jì)算(1丄)(1 7 ) ( 1 1 )( 1 7 ) ( 1),假設(shè)分別算出各因式的值后再行相乘,不僅計(jì)算繁難,234910而且容易出錯(cuò).假設(shè)注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公式,那么可巧解此題. 即原式=(1 2 )( 1+ 2 )( 1 3 )( 1+ J ) X.X ( 1 三)(1+)=丄 X 3 X - X - X X X =丄 X 11=11 .

20、22331010 210 20有時(shí)有些問(wèn)題不能直接用乘法公式解決,而要用到乘法公式的變式,乘法公式的變式主要有：a2+b2=(a+b) 2 2ab, a2+b2= (a b) 2+2ab 等.用這些變式解有關(guān)問(wèn)題常能收到事半功倍之效. 2 2 2 2如 n+n=7, mn= 18,求 m+n, m mr+n 的值.面對(duì)這樣的問(wèn)題就可用上述變式來(lái)解,海量資源,歡送共閱即 m2+n2= (n+n) 2 2mn=72 2X( 18) =49+36=85, vm mr+n2= (n+n) 2 3mn=72 3X( 18) =103.以下各題,難不倒你吧？！1、假設(shè) a+l=5,求(1)a2+-,(2)

21、( a丄)2 的值.aaa2、求(2+1) (22+1) (24+1) ( 28+1) (216+1) (232+1) ( 264+1) +1 的末位數(shù)字.(答案：1. (1) 23; (2) 21. 2.6 )五、乘法公式應(yīng)用的五個(gè)層次乘法公式：(a + b)(a b)=a2 b2, (a ± b)=a2± 2ab+ b2,(a ± b)(a 2± ab+ b2)=a3± b3.第一層次一一正用即根據(jù)所求式的特征,模仿公式進(jìn)行直接、簡(jiǎn)單的套用.例1計(jì)算'(2)( 2xy)(2x y).22(2)原式=(y) 2x( y) + 2x=y

22、 4x .第二層次逆用,即將這些公式反過(guò)來(lái)進(jìn)行逆向使用.例2計(jì)算2 2(1)1998 1998 - 3994+ 1997 ;卜卻卜日卜?卜卜卜汩解(1)原式=19982 2 1998 1997+ 1997(1998 1997) 2=1第三層次活用：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征,探尋規(guī)律,連續(xù)反復(fù)使用乘法公式；有時(shí)根據(jù)需要?jiǎng)?chuàng)造 條件,靈活應(yīng)用公式.例 3 化簡(jiǎn)：(2 + 1)(2 2 + 1)(2 4+ 1)(2 8+ 1) + 1.f" !j/ Jf :分析直接計(jì)算繁瑣易錯(cuò),注意到這四個(gè)因式很有規(guī)律,如果再增添一個(gè)因式“2-1便可連續(xù)應(yīng)用平方差公式,從而問(wèn)題迎刃而解.解原式=(2 1)(2

23、+ 1)(2 2+ 1)(2 4+ 1)(2 8+ 1) + 1224 ,816=(2 1)(2 + 1)(2 + 1)(2 + 1) + 仁2 .例 4 計(jì)算：(2x 3y 1)( 2x 3y+ 5)分析仔細(xì)觀察,易見(jiàn)兩個(gè)因式的字母局部與平方差公式相近,但常數(shù)不符.于是可創(chuàng)造條件一“拆 數(shù)：1=2 3,5=2+ 3,使用公式巧解.解原式=(2x 3y 3 + 2)( 2x 3y + 3 + 2)=(2 3y) + (2x 3)(2 3y) (2x 3)=(2 3y)2 (2x 3) 2=9y2 4x2 + 12x 12y 5.第四層次變用：解某些問(wèn)題時(shí),假設(shè)能熟練地掌握乘法公式的一些恒等變形

24、式,如a2 + b2=(a + b)22ab, a3 + b3=(a + b)3 3ab(a + b)等,那么求解十分簡(jiǎn)單、明快.例 5 a + b=9, ab=14,求 2a2 + 2b2和 a3 + b3 的值.2 2 2 2解： a+ b=9, ab=14,A 2a + 2b=2(a + b) 2ab=2(9 2 14)=106,a + b=(a + b) 3ab(a + b)=9 3 14 9=351海量資源,歡送共閱第五層次綜合后用：將(a + b)2=a2+ 2ab+ b2和(a b)2=a2 2ab+ b2綜合,可得(a + b)2+ (a b) 2=2(a2+ b2) ; (a

25、 + b)2 (a b) 2=4ab;等,合理地利用這些公式處理某些問(wèn)題顯得新奇、簡(jiǎn)捷.例 6 計(jì)算：(2x + y z + 5)(2x y + z+ 5).1 2 1解：原式=(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)- - (2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)4 42 2 2 2 2=(2x + 5) (y z) =4x + 20x + 25 y + 2yz z六、正確熟悉和使用乘法公式1、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想熟悉乘法公式：對(duì)于學(xué)習(xí)的兩種(三個(gè))乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b2、完全平方公式：(a+b) 2=a2+2ab+b2； (a-b) 2=a2-2ab+b

26、2,可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)區(qū)分它們.假設(shè)a、b都是正數(shù),那么可以用以以下圖形所示意的面積來(lái)熟悉乘法公式.如圖1,兩個(gè)矩形的面積之和(即陰影局部的面積)為 (a+b)(a-b),通過(guò)左右兩圖的對(duì)照,即可得到 平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-b2；圖2中的兩個(gè)圖陰影局部面積分別為(a+b) 2與(a-b) 2,通過(guò)面積的計(jì)算 方法,即可得到兩個(gè)完全平方公式：(a+b) 2=a2+2ab+b2與(a-b) 2=a2-2ab+b2.2、乘法公式的使用技巧： 提出負(fù)號(hào)：對(duì)于含負(fù)號(hào)較多的因式,通常先提出負(fù)號(hào),以防止負(fù)號(hào)多帶來(lái)的麻煩.例1、運(yùn)用乘法公式計(jì)算：2 2 2-(3x) =1-9x

27、 .(1) (-1+3x)(-1-3x); (2) (-2m-1) 2解：(1) (-1+3x)(-1-3x)=-(1-3x)-(1+3x)=(1-3x)(1+3x)=1(2) (-2m-1) 2=-(2m+1) 2=(2m+1)2=4nn+4m+1. 改變順序：運(yùn)用交換律、結(jié)合律,調(diào)整因式或因式中各項(xiàng)的排列順序,可以使公式的特征更加 明顯.例2、運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1) ()()；(2) (x-1/2)(x 2+1/4)(x+1/2)解：(1)()()=()()2+1/4)=()()= (2)(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)=(x-1/2)(x+1/2)(x2 2 2=(x -1

28、/4)(x+1/4)=x -1/16. 逆用公式將幕的公式或者乘法公式加以逆用,比方逆用平方差公式,得a2-b2=(a+b)(a-b),逆用積的乘方公式,得anbn=(ab) n,等等,在解題時(shí)常會(huì)收到事半功倍的效果.例3、 計(jì)算：(1) (x/2+5) 2-(x/2-5) 2; (2) (a-1/2) 2(a2+1/4) 2(a+1/2) 2 解: (1) (x/2+5) 2-(x/2-5) 2=(x/2+5)+(x/2-5)(x/2+5)-(x/2-5) =(x/2+5+x/2-5)(x/2+5-x/2+5)=x T0=10x.2 2 2 2(2) (a-1/2) (a +1/4) (a+

29、1/2) =(a-1/2)(a 2+1/4)(a+1/2) 2=(a-1/2)(a+1/2)(a2+1/4) 2=(a 2-1/4)(a 2+1/4) 2=(a4-1/16) 2=a8-a4/8+1/256. 合理分組：對(duì)于只有符號(hào)不同的兩個(gè)三項(xiàng)式相乘,一般先將完全相同的項(xiàng)調(diào)到各因式的前面,視為 一組；符號(hào)相反的項(xiàng)放在后面,視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進(jìn)行計(jì)算.2 2-(x+y)計(jì)算：(1) (x+y+1)(1-x-y);(2) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5).解：(1) (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)=1+(x+y)1-(x+y)=1 =

30、1-(x 2+2xy+y2)=1-x 2-2xy-y :(2) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)=(2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z)海量資源,歡送共閱=(2x+5) 2-(y-z) 2=(4x2+20x+25)-(y 2-2yz+z2)2 2 2 2 2 2=4x +20x+25-y +2yz-z =4x -y -z +2yz+20x+25.七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,是今后學(xué)習(xí)的根底,應(yīng)用極為廣泛.尤其多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式,運(yùn)算過(guò) 程復(fù)雜,在解答中,要仔細(xì)觀察,認(rèn)真分析題目中各多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特征,將其適當(dāng)變化,找

31、出規(guī)律, 用乘法公式將其展開(kāi),運(yùn)算就顯得簡(jiǎn)便易行.一. 先分組,再用公式例 1.計(jì)算：(a -b c -d)( -a 一 b -c -d)簡(jiǎn)析：此題假設(shè)以多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的方法展開(kāi),那么顯得非常繁雜.通過(guò)觀察,將整式 (ab c d)運(yùn)用 加法交換律和結(jié)合律變形為(-b d) (a c);將另一個(gè)整式(_a b c d)變形為(_b d) (a c), 那么從其中找出了特點(diǎn),從而利用平方差公式即可將其展開(kāi).解：原式二(-b - d) (a c) 11 -b - d a c 二. 先提公因式,再用公式例 2.計(jì)算：8x+y)(4x-丄1<2八4丿簡(jiǎn)析：通過(guò)觀察、比擬,不難發(fā)現(xiàn),兩個(gè)多項(xiàng)式中的

32、x的系數(shù)成倍數(shù),y的系數(shù)也成倍數(shù),而且存在相同的倍數(shù)關(guān)系,假設(shè)將第一個(gè)多項(xiàng)式中各項(xiàng)提公因數(shù)2出來(lái),變?yōu)?；4x+f),貝冋利用乘法公式.rv Vv 解：原式=2 4-(4-1<4八4丿三. 先分項(xiàng),再用公式例 3.計(jì)算：2x 3y 2 2x - 3y 6簡(jiǎn)析：兩個(gè)多項(xiàng)中似乎沒(méi)多大聯(lián)系,但先從相同未知數(shù)的系數(shù)著手觀察,不難發(fā)現(xiàn),x的系數(shù)相同,y的系數(shù)互為相反數(shù),符合乘法公式.進(jìn)而分析如何將常數(shù)進(jìn)行變化.假設(shè)將2分解成4與-2的和,將6分解成4與2的和,再分組,那么可應(yīng)用公式展開(kāi).解：原式=1(2x 4) -(2 -3y) Il2x 4 2 - 3y 丨四. 先整體展開(kāi),再用公式例 4.計(jì)算

33、：(a 2b)(a -2b 1)簡(jiǎn)析：乍看兩個(gè)多項(xiàng)式無(wú)聯(lián)系,但把第二個(gè)整式分成兩局部,即l(a-2b) T,再將第一個(gè)整式與之相乘,利用平方差公式即可展開(kāi).解：原式 -(a 2b) !(a -2b)1 1五. 先補(bǔ)項(xiàng),再用公式例 5.計(jì)算：3 ( 381)(341)(321)(3 1)簡(jiǎn)析：由觀察整式(3 1),不難發(fā)現(xiàn),假設(shè)先補(bǔ)上一項(xiàng)(3-1),那么可滿足平方差公式.屢次利用平方差公式逐步展開(kāi),使運(yùn)算變得簡(jiǎn)便易行.解：原式=3 (38 1)(34 1)(32 1)(3 心1)六.先用公式,再展開(kāi)f 1V丿I例6.計(jì)算:簡(jiǎn)析：第一個(gè)整式f 1 22丿(1一 41可表示為1- 1r 10丿m212,由簡(jiǎn)單的變化,可看出整式符合平方差公式,其它因式類似變化,進(jìn)-f 1 )解：原式=1十丄< 2丿變換成分?jǐn)?shù)的積,化簡(jiǎn)即可1十盯、3丿01J蔦丿I1十亠、2)七.乘法公式交替用例 7.計(jì)算：(x z)(x2 -2xz z2)(x -z)(x2 2xz z2)海量資源,歡送共閱簡(jiǎn)析：利用乘法交換律,把第一個(gè)整式和第四個(gè)整式結(jié)合在一起,把第二個(gè)整式