高中數(shù)學(xué) 等差數(shù)列教案 蘇教版必修5

1、等差數(shù)列教學(xué)目標(biāo)：明確等差數(shù)列的定義，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，會(huì)解決知道an,a1,d,n中的三個(gè)，求另外一個(gè)的問題；培養(yǎng)學(xué)生觀察能力，進(jìn)一步提高學(xué)生推理、歸納能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).教學(xué)重點(diǎn)：1.等差數(shù)列的概念的理解與掌握.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列“等差”特點(diǎn)的理解、把握和應(yīng)用.教學(xué)過程：.復(fù)習(xí)回顧上兩節(jié)課我們共同學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義及給出數(shù)列的兩種方法通項(xiàng)公式和遞推公式.這兩個(gè)公式從不同的角度反映數(shù)列的特點(diǎn)，下面我們看這樣一些例子.講授新課1，2，3，4，5，6；10，8，6，4，2，；21，21，22，22，23，23，24，24，252，2，2，2，2，首先

2、，請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察這些數(shù)列有什么共同的特點(diǎn)?是否可以寫出這些數(shù)列的通項(xiàng)公式？（引導(dǎo)學(xué)生積極思考，努力尋求各數(shù)列通項(xiàng)公式，并找出其共同特點(diǎn)）數(shù)列是一遞增數(shù)列，后一項(xiàng)總比前一項(xiàng)多1，其通項(xiàng)公式為：ann(1n6).數(shù)列是由一些偶數(shù)組成的數(shù)列，是一遞減數(shù)列，后一項(xiàng)總比前一項(xiàng)少2，其通項(xiàng)公式為：an122n(n1).數(shù)列是一遞增數(shù)列，后一項(xiàng)總比前一項(xiàng)多，其通項(xiàng)公式為：an20n（1n9)數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an2(n1)是一常數(shù)數(shù)列.綜合上述所說，它們的共同特點(diǎn)是什么呢？它們的共同特點(diǎn)是：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的“差”都等于同一個(gè)常數(shù).也就是說，這些數(shù)列均具有相鄰兩項(xiàng)之差“相等”的特點(diǎn).具有這種

3、特點(diǎn)的數(shù)列，我們把它叫做等差數(shù)列.1.定義等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.如：上述4個(gè)數(shù)列都是等差數(shù)列，它們的公差依次是1，2，0.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間關(guān)系而得.若一等差數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公差是d，則據(jù)其定義可得：(n1)個(gè)等式若將這n1個(gè)等式左右兩邊分別相加，則可得：ana1(n1)d 即：ana1(n1)d當(dāng)n1時(shí)，等式兩邊均為a1，即上述等式均成立，則對(duì)于一切nN*時(shí)上述公式都成立，所以它可作為數(shù)列an的通項(xiàng)公式.或者由定義可得

4、：a2a1d即：a2a1d；a3a2d即：a3a2da12d；a4a3d即：a4a3da13d；anan1d，即：anan1da1(n1)d看來，若已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項(xiàng)a1和公差d,便可求得其通項(xiàng).如數(shù)列：an1(n1)×1n(1n6),數(shù)列：an10(n1)×(2)122n(n1),數(shù)列：an22(n1) 21n (n1),數(shù)列：an2(n1)×02(n1)由通項(xiàng)公式可類推得：ama1(m1)d，即：a1am(m1)d，則：ana1(n1)dam(m1)d(n1)dam(nm)d.如：a5a4da32da23da14d3.例題講解例1(1)求等差

5、數(shù)列8，5，2的第20項(xiàng).分析：由給出的三項(xiàng)先找到首項(xiàng)a1,求出公差d，寫出通項(xiàng)公式，然后求出所要項(xiàng).解：由題意可知：a18，d58253該數(shù)列通項(xiàng)公式為：an8(n1)×(3)，即：an113n(n1)，當(dāng)n20時(shí)，則a20113×2049.答案：這個(gè)數(shù)列的第20項(xiàng)為49.(2)401是不是等差數(shù)列5，9，13的項(xiàng)?如果是，是第幾項(xiàng)?分析：要想判斷401是否為這數(shù)列的一項(xiàng)，關(guān)鍵要求出通項(xiàng)公式，看是否存在正整數(shù)n，可使得an401.解：由題意可知：a15，d9(5)4,數(shù)列通項(xiàng)公式為：an54(n1)4n1.令4014n1，解之得n100.401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng).例2

6、在等差數(shù)列an中，已知a510，a1231，求首項(xiàng)a1與公差d.解：由題意可知，這是一個(gè)以a1和d為未知數(shù)的二元一次方程組，解這個(gè)方程組，得a12，d3.即這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是2，公差是3.例3在等差數(shù)列an中，已知a510，a1525，求a25.思路一：根據(jù)等差數(shù)列的已知兩項(xiàng)，可求出a1和d，然后可得出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，便可求出a25.解法一：設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,則根據(jù)題意可得：這是一個(gè)以a1和d為未知數(shù)的二元一次方程組，解這個(gè)方程組，得a14，d.這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an4×(n1)，即：ann.a25×2540.思路二：若注意到已知項(xiàng)為a5與a15，所

7、求項(xiàng)為a25，則可直接利用關(guān)系式anam(nm)d.這樣可簡(jiǎn)化運(yùn)算.解法二：由題意可知：a15a510d，即251010d,10d15.又a25a1510d，a25251540.思路三：若注意到在等差數(shù)列an中，a5，a15，a25也成等差數(shù)列，則利用等差中項(xiàng)關(guān)系式，便可直接求出a25的值.解法三：在等差數(shù)列an中，a5，a15，a25成等差數(shù)列2a15a5a25，即a252a15a5,a252×251040.例4已知等差數(shù)列an中，a1533，a45153，試問217是否為此數(shù)列的項(xiàng)？若是說明是第幾項(xiàng)；若不是，說明理由.分析：這是一個(gè)探索性問題，但由于在條件中已知道兩項(xiàng)的值，所以，

8、在求解方法上，可以考慮運(yùn)用方程思想求解基本量a1和d，也可以利用性質(zhì)求d，再就是考慮運(yùn)用等差數(shù)列的幾何意義.解法一：由通項(xiàng)公式，知 得：由217234(n1)，得n61.解法二：由等差數(shù)列性質(zhì)，得a45a1530d15333，即d4又ana15(n15)d，217334(n15)，解得n61.解法三：由等差數(shù)列的幾何意義可知，等差數(shù)列的圖象是一些共線的點(diǎn)由于P（15，33），Q（45，153），R（n，217）在同一條直線上.故有，解得n61.評(píng)述：運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，知三求一.如果已知兩個(gè)條件，就可以列出方程組解之.如果利用等差數(shù)列的性質(zhì)，幾何意義去考慮也可以，因此要根據(jù)具體問題具體分析

9、.例5已知數(shù)列an為等差數(shù)列，a3，a7，求a15的值.解法一：利用通項(xiàng)公式，設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d則 解之得a15a114d14×()解法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)a7a34d把已知條件代入,得：da15a7(157)d.解法三：an為等差數(shù)列，a3,a7,a11,a15也成等差數(shù)列由a3，a7知上述數(shù)列首項(xiàng)為，公差為2a15(31)·（2）例6兩個(gè)等差數(shù)列5，8，11，和3，7，11，都有100項(xiàng)，那么它們共有多少相同的項(xiàng)？分析：顯然，已知的兩數(shù)列的所有相同的項(xiàng)將構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列an，這樣問題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)研究數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)問題了.解法一：設(shè)已知的兩數(shù)列的所有相同的

10、項(xiàng)將構(gòu)成的新數(shù)列為cn，c1=11,又?jǐn)?shù)列5，8，11，的通項(xiàng)公式為an3n2，數(shù)列3，7，11，的通項(xiàng)公式為bn4n1.數(shù)列cn為等差數(shù)列，且12n1又a100302，b100399，cn12n1302得n25，可見已知兩數(shù)列共有25個(gè)相同的項(xiàng).解法二：an3n2，bn4n1，設(shè)anbm則有3n24m1(n，mN*)，即nm1(n，mN*)要使n為正整數(shù)，m必須是3的倍數(shù).設(shè)m3k(kN*)，代入前式得n4k1又13k100，且14k1100，解得1k25共有25個(gè)相同的項(xiàng).例7一個(gè)首項(xiàng)為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，如果前六項(xiàng)均為正數(shù)，第七項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，則它的公差是多少？解：由 得

11、4.6d 答案：4.課堂練習(xí)課本P34練習(xí)1，2，31.（1）求等差數(shù)列3，7，11，的第4項(xiàng)與第10項(xiàng).分析：根據(jù)所給數(shù)列的前3項(xiàng)求得首項(xiàng)和公差，寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求出所求項(xiàng).解：根據(jù)題意可知：a13，d734.該數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an3(n1)×4，即an4n1(n1，nN*)a44×4115，a104×10139.評(píng)述：關(guān)鍵是求出通項(xiàng)公式.（2）求等差數(shù)列10，8，6，的第20項(xiàng).解：根據(jù)題意可知：a110，d8102.該數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an10(n1)×(2)，即：an2n12，a202×201228.評(píng)述：要注意解題步驟的規(guī)

12、范性與準(zhǔn)確性.（3）100是不是等差數(shù)列2，9，16，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說明理由.分析：要想判斷一數(shù)是否為某一數(shù)列的其中一項(xiàng)，則關(guān)鍵是要看是否存在一正整數(shù)n值，使得an等于這一數(shù).解：根據(jù)題意可得：a12，d927.此數(shù)列通項(xiàng)公式為：an2(n1)×77n5.令7n5100，解得：n15,100是這個(gè)數(shù)列的第15項(xiàng).（4）20是不是等差數(shù)列0，3，7，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說明理由.解：由題意可知：a10，d3此數(shù)列的通項(xiàng)公式為：ann令n20，解得n因?yàn)閚20沒有正整數(shù)解，所以20不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).2.在等差數(shù)列an中，（1）已知a410，a719，求a1與d；(2)已知a39，a93，求a12.解：（1）由題意得： 解之得：(2)解法一：由題意可得： 解之得：該數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an11(n1)×