計(jì)算水力學(xué)--第三章(4)

1、 Leila for 水文09 版權(quán)所有回 顧Lax等價定理穩(wěn)定性證明l 誤差傳播方程l 級數(shù)展開l l 放大因子l 保證誤差不放大的條件0iikxkkC eLeila for 水文09 版權(quán)所有課 程 內(nèi) 容 基本概念 偏導(dǎo)數(shù)的差商近似 差分方程 截?cái)嗾`差和相容性 收斂性 Lax等價定理穩(wěn)定性不同格式的穩(wěn)定性分析不同格式的穩(wěn)定性分析 差分方程數(shù)值效應(yīng)Leila for 水文09 版權(quán)所有馬斯京根法的穩(wěn)定性4 4FTFS格式的穩(wěn)定性2 2蛙跳格式的穩(wěn)定性3 3 3FTCS格式的穩(wěn)定性3 1 1 7. 7. 穩(wěn)定性不同格式的穩(wěn)定性分析Leila for 水文09 版權(quán)所有 FTCS格式11102

2、jjjjiiiiuuuuCtx誤差傳遞方程： FTCS格式的穩(wěn)定性3 1 1ijj+1i+1i-1Leila for 水文09 版權(quán)所有放大因子G FTCS格式的穩(wěn)定性3 1 1Leila for 水文09 版權(quán)所有 FTFS格式110jjjjiiiiuuuuCtx誤差傳遞方程： FTFS格式的穩(wěn)定性2 2ijj+1i+1Leila for 水文09 版權(quán)所有放大因子G FTFS格式的穩(wěn)定性2 2Leila for 水文09 版權(quán)所有 蛙跳格式1111022jjjjiiiiuuuuCtx誤差傳遞方程： 蛙跳格式的穩(wěn)定性3 3 3i-1j-1j+1i+1ijLeila for 水文09 版權(quán)所有

3、110jjjik xjik xkkkkCCC eC e 蛙跳格式的穩(wěn)定性3 3 3放大因子|G|11jjkkjjkkCCCC210ik xik xGGee 22sin1sinGik xk x Leila for 水文09 版權(quán)所有所以此格式穩(wěn)定性條件為： 蛙跳格式的穩(wěn)定性3 3 3(G(G1,21,2) )2 2|G|G1,21,2| |Leila for 水文09 版權(quán)所有 馬斯京根法11111111102jjjjjjjjiiiiiiiiQQQQQQQQutx 馬斯京根法的穩(wěn)定性4 411jiQ1jiQjiQ1jiQx2t誤差傳遞方程：11111111102jjjjiiiijjjjiiiit

4、ux Leila for 水文09 版權(quán)所有 馬斯京根法的穩(wěn)定性4 411111102jjjik xjik xjik xjik xjjkkkkkkkkCCCeC eCeC eCC22222()()()()abcbdabcbd放大因子|G|2111cossin22abck xdk x 其中：；格式穩(wěn)定性條件為：Leila for 水文09 版權(quán)所有穩(wěn) 定 性 FTBS格式 FTCS格式： 無法收斂，不穩(wěn)定格式 FTFS格式： -1 0 蛙跳格式： -1 -1 馬斯京根法格式： 0 時：0.5 FTBS格式： 0 11 1 階偏導(dǎo)數(shù)階偏導(dǎo)數(shù)偶次方偶次方奇次方奇次方2424uuxx，.3535uux

5、x，.有耗散有耗散有彌散有彌散 8. 8. 差分方程數(shù)值效應(yīng)數(shù)值耗散與彌散Leila for 水文09 版權(quán)所有 8. 8. 差分方程數(shù)值效應(yīng)數(shù)值耗散與彌散0uuCtx 例 對流方程描述的是既無耗散又無彌散的流體運(yùn)動 A物理效應(yīng)B數(shù)值效應(yīng)偽物理效應(yīng)| 物理耗散| 物理彌散| 數(shù)值耗散| 數(shù)值彌散Leila for 水文09 版權(quán)所有 8. 8. 差分方程數(shù)值效應(yīng)數(shù)值耗散與彌散 FTBSFTBS格式的等價方程格式的等價方程 FTFSFTFS格式格式的等價方程 FTCSFTCS格式格式的等價方程 耗散為主耗散為主不穩(wěn)定Leila for 水文09 版權(quán)所有 8. 8. 差分方程數(shù)值效應(yīng)數(shù)值耗散與彌

6、散 蛙跳格式的等價方程 彌散為主馬斯京根法的等價方程 222212,2MxQQQOtxtxx 0.50.50.5時時時耗散為主不穩(wěn)定彌散為主Leila for 水文09 版權(quán)所有 8. 8. 差分方程數(shù)值效應(yīng)混淆誤差fj-1jj+1xLeila for 水文09 版權(quán)所有l(wèi) 考慮可辨認(rèn)的短波。如考慮可辨認(rèn)的短波。如 4x，則，則 kx x2x/ =/2，衰減比為，衰減比為 r=2/，這時，這時差商帶來了很大的誤差。差商帶來了很大的誤差。l 對于和空間步長對于和空間步長x接近的短波，差商無法近接近的短波，差商無法近似導(dǎo)數(shù)。似導(dǎo)數(shù)。 8. 8. 差分方程數(shù)值效應(yīng)混淆誤差Leila for 水文09

7、 版權(quán)所有| 物質(zhì)的對流輸運(yùn)出現(xiàn)了與波速相反方向傳播的不合理現(xiàn)物質(zhì)的對流輸運(yùn)出現(xiàn)了與波速相反方向傳播的不合理現(xiàn)象，稱為象，稱為“逆風(fēng)逆風(fēng)”效應(yīng)，是一偽物理現(xiàn)象的數(shù)值效應(yīng)。效應(yīng)，是一偽物理現(xiàn)象的數(shù)值效應(yīng)。 8. 8. 差分方程數(shù)值效應(yīng)“逆風(fēng)”效應(yīng)“逆風(fēng)”效應(yīng)0uuCtxFTCS格式 對流方程11102jjjjiiiiuuuuCtxLeila for 水文09 版權(quán)所有 假定在某瞬時j在某一斷面k處引入某一物理量u1，1 8. 8. 差分方程數(shù)值效應(yīng)“逆風(fēng)”效應(yīng)FTCS格式 Leila for 水文09 版權(quán)所有 物理量向上、向下游兩個方向傳播，出現(xiàn)了與波速相反方向傳播的不合理現(xiàn)象，稱之為“逆風(fēng)”效應(yīng)。 8. 8. 差分方程數(shù)值效應(yīng)“逆風(fēng)”效應(yīng)采用何種格式還與波速的方向有關(guān)，例如潮水河道，則可以采用“逆風(fēng)”格式“逆風(fēng)”格式1111102jjjjjjjiiii