專(zhuān)題提升5與垂徑定理有關(guān)的輔助線(xiàn)

1、專(zhuān)題提升 5與垂徑定理有關(guān)的輔助線(xiàn)1如圖所示為一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，若水面AB 寬為 8 cm，輸水管底部到水面的距離為2 cm，則該輸水管的半徑為( C)(第1題)A 3 cmB 4 cmC 5 cmD 6 cm【解】連結(jié) OA，過(guò)點(diǎn) O作 OC AB交 AB于點(diǎn) D.設(shè)該輸水管的半徑為 r (cm) AB寬為 8 cm， AD 4 cm. 2 cm， (r 2) cm ，r2 (r2) 2 42，DCOD r 5(cm) 2如圖，石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為 8 m，橋拱半徑OC為 5 m，則水面寬AB為 ( D)(第2題)A 4 mB 5 mC 6 mD 8 m【

2、解】連結(jié) .OACD 8， OC 5， OD 3.由已知，得 ，則2 5232，CD ABAD解得 AD4. AB 8.3已知 O的直徑 CD10 cm ，AB是 O的弦， AB CD，垂足為 M，且 AB 8 cm，則 AC的長(zhǎng)為(C)A 25 cmB 45 cmC 25 cm 或 4 5 cmD 2 3 cm 或 4 3 cm【解】連結(jié) AO. 當(dāng)點(diǎn) C的位置如解圖所示時(shí)，易得 AC2222 45(cm) ；AM CM4 8當(dāng)點(diǎn)C的位置如解圖所示時(shí)，易得 22 42 2 5(cm) AC(第 3題解)4如圖， O的直徑為10 cm ，弦 AB為 8 cm， P 是弦 AB上一點(diǎn)若OP的長(zhǎng)是

3、整數(shù)，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P 有 ( D)( 第4 題 )A2 個(gè)B3 個(gè)C4 個(gè)D5 個(gè)【解】過(guò)點(diǎn)O作OC AB于點(diǎn)C，連結(jié)OA.1OA 5， AC 2AB 4， OC 3.3 OP 5， OP的長(zhǎng)為3或4或5.當(dāng)3 時(shí)，點(diǎn)P只能與點(diǎn)C重合；當(dāng)4 時(shí)，點(diǎn)P可以在上，也可以在上，有OPOPACBC2 個(gè)點(diǎn) P；當(dāng) OP5 時(shí)，點(diǎn) P與點(diǎn) A或點(diǎn) B重合綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P有5個(gè)5如圖，在以點(diǎn)O為圓心的同心圓中，大圓的弦AB 交小圓于點(diǎn) C， D，AB 2CD，弦 AB的1r10弦心距 OP 2CD，小圓和大圓的半徑分別為r ，R，則 R 5 (第5題)【解】連結(jié) OC， OA.1AB 2CD，

4、OP 2CD， OP AB，1OP CP 2AP.22222222R OP AP5OP， r OP CP 2OP，r 10R 5OP， r 2OP， R 5 .6如圖， O的半徑 OP 10 cm，弦 AB過(guò) OP的中點(diǎn) Q，且 OQB45°，則弦AB的弦心距5 2為 2 cm，弦 AB的長(zhǎng)為 5 14cm.( 第6 題 )【解】過(guò)點(diǎn)O作 OC AB于點(diǎn) C，連結(jié)OA. O的半徑 OP 10 cm，弦 AB過(guò) OP的中點(diǎn) Q，OQ 5 cm. OCQ 90°， OQB 45°， OCQ為等腰直角三角形，52OC 2cm.在 Rt AOC中，根據(jù)勾股定理，得AC22

5、514OA OCcm ，2 2 5 14 cm.AB AC7已知 O的半徑為2，弦 BC23 ，A 是 O上一點(diǎn)， 且AB AC，直線(xiàn) AO與 BC交于點(diǎn) D，則 AD的長(zhǎng)為 1 或 3【解】 O的半徑為 2，弦 BC 23， A 是 O上一點(diǎn)，且 AB AC， AD BC，1BD 2BC3.分兩種情況討論：如解圖所示，連結(jié)OB.222在 Rt OBD中， BD OD OB，即(222OD 1.3) OD2，解得AD OAOD 2 1 1.(第 7題解)如解圖所示，連結(jié)OB. 同理于，得AD OA OD 2 1 3.8如圖，在Rt AOB中， O 90°， OA6，OB8. 以點(diǎn) O

6、為圓心， OA長(zhǎng)為半徑作圓交AB于點(diǎn) ，求的長(zhǎng)CBC【解】過(guò)點(diǎn) O作 AB的垂線(xiàn)，垂足為E，連結(jié) OC.2222 10，AB OA OB6 8(第8題)OA· OB 6× 8OEAB 10 4.8 ，AE222 4.82，AO OE63.6AC 2AE 7.2 ，BC ABAC 107.2 2.8.(第9題)9如圖， AB為 O的直徑，弦CD AB，弦 DEAB. 求證： AC BE.【解】過(guò)圓心 O作 OG CD交 O于點(diǎn) G，交 CD于點(diǎn) H.OG CD， CG DG.又 CD AB， OGAB.AG BG. AC BD.DE AB，且 AB是 O的直徑，BD BE.

7、AC BE.k10如圖，半徑為 5 的 P 與 y 軸交于點(diǎn) M(0 ， 4) ， N(0 ， 10) ，函數(shù) y x( x<0) 的圖象過(guò)點(diǎn) P，求 k 的值(第10題)【解】過(guò)點(diǎn) P 作 PA MN于點(diǎn)A，連結(jié)PM， PN.點(diǎn) M(0 ， 4) ， N(0 ， 10) ， MN6.PA MN，1MA 2MN 3.OA| 4| 3 7.在 Rt MPA中，2222PA PMMA534，點(diǎn) P( 4， 7) k將點(diǎn) P( 4， 7) 的坐標(biāo)代入y x，得 k 28.11已知內(nèi)接于，且，的半徑等于6 cm，點(diǎn)O到的距離為2 cm ，ABCOABACOBC求 AB的長(zhǎng)【解】當(dāng) ABC是銳角三

8、角形時(shí)，如解圖所示，連結(jié)OB， OA，延長(zhǎng) AO交 BC于點(diǎn) D，易知 AD BC.在 Rt OBD中， 6 cm， 2 cm，OBODBD22222(cm) OB OD6 2 4在 Rt ABD中， AD OA OD6 2 8(cm) ， BD 42 cm，AB22224 6(cm) AD BD8 （42）(第11題解)當(dāng) ABC是鈍角三角形時(shí)， 如解圖所示， 連結(jié) OB，OA，OA與 BC交于點(diǎn) D，易知 OA BC.在 Rt OBD中，OB 6 cm， OD 2 cm，2222 4 2(cm)BD OB OD6 2在 Rt ABD中，AD OAOD 6 2 4(cm) ， BD 42 c

9、m，22（ 4224 3(cm) AB BD AD2）4綜上所述， AB的長(zhǎng)為 46 cm 或43 cm.12如圖所示為一座橋，橋拱是弧形( 水面上的部分 ) ，測(cè)量時(shí)，只測(cè)得橋拱下水面寬AB為16 m，橋拱最高處C離水面 4 m.(1) 求橋拱所在圓的半徑(2) 若大雨過(guò)后，橋下水面寬為12 m，問(wèn)：水面上漲了多少？(第 12 題)【解】(1)如解圖，設(shè)點(diǎn)O為，交于點(diǎn) .的圓心，連結(jié)ABOA OC OCABD根據(jù)題意，可得C是AB的中點(diǎn)， OC AB， 11× 16 8(m) AD 2AB2設(shè) O的半徑為 x(m) ，則在 Rt OAD中，2 22，即x2 82 (x4) 2，OA

10、ADOD解得 x 10.橋拱所在圓的半徑為10 m.(第12題解)(2) 設(shè)河水上漲到EF的位置，如解圖，這時(shí)EF 12 m，EF AB，則 OC EF( 垂足為 M) ，1EM 2EF 6 m.連結(jié) OE，則有 OE 10 m.OM2222OE EM10 6 8(m) 104 6(m) ，OD OC CDDM OMOD 8 6 2(m) ，即水面上漲了 2 m.13工人師傅為檢測(cè)該廠(chǎng)生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計(jì)了一個(gè)尺寸 ( 單位： cm)如圖所示的工件槽，其中工件槽的兩個(gè)底角均為90° . 將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時(shí)，若同時(shí)具有如圖所示的， ，三個(gè)接觸點(diǎn)，則該球的大小就符合要求如圖是過(guò)球心OA B E及 A， B， E 三點(diǎn)的截面示意圖，已知O的直徑就是鐵球的直徑， AB是 O的弦， CD與 O交于點(diǎn) E，AC CD，BD CD. 請(qǐng)你結(jié)合圖中的數(shù)據(jù)，計(jì)算這種符合要求的鐵球的直徑(