(均值不等式)總結(jié)整理及典例

1、均值不等式歸納總結(jié)1. (1)若，則(2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）2. (1)若，則(2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）(3)若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）3.若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）4.若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）5.若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）(1) 當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定 值時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問

2、題方面有廣泛的應(yīng)用應(yīng)用一：求最值例1：求下列函數(shù)的值域（1）y3x 2 （2）yx解：(1)y3x 22 值域?yàn)椋?）(2)當(dāng)x0時(shí)，yx22；當(dāng)x0時(shí)， yx= （ x）2=2值域?yàn)椋ǎ?2，+）解題技巧技巧一：湊項(xiàng)例 已知，求函數(shù)的最大值。 解：因，所以首先要“調(diào)整”符號，又不是常數(shù)，所以對要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號成立，故當(dāng)時(shí)，。評注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例1. 當(dāng)時(shí)，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個(gè)系數(shù)即可。當(dāng)，即x2

3、時(shí)取等號 當(dāng)x2時(shí)，的最大值為8。評注：本題無法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設(shè)，求函數(shù)的最大值。解：當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立。技巧三： 分離例3. 求的值域。解析一：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x1）的項(xiàng)，再將其分離。當(dāng),即時(shí),（當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”號）。技巧四：換元解析二：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在分離求最值。當(dāng),即t=時(shí),（當(dāng)t=2即x1時(shí)取“”號）。評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，

4、然后運(yùn)用均值不等式來求最值。技巧五：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號取不到的情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。例：求函數(shù)的值域。解：令，則因，但解得不在區(qū)間，故等號不成立，考慮單調(diào)性。因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故。所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?。練?xí)求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)，x 的值.（1） （2） (3)2已知，求函數(shù)的最大值.；3，求函數(shù)的最大值.條件求最值1.若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是 .分析：“和”到“積”是一個(gè)縮小的過程，而且定值，因此考慮利用均值定理求最小值，解： 都是正數(shù)，當(dāng)時(shí)等號成立，由及得即當(dāng)時(shí)，的最小值是6變式：若，求的最小值.并求x,y的值技巧六：整體代換

5、多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯(cuò)。2：已知，且，求的最小值。錯(cuò)解：，且， 故 。錯(cuò)因：解法中兩次連用均值不等式，在等號成立條件是，在等號成立條件是即,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用均值不等式處理問題時(shí)，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號成立，又，可得時(shí)， 。變式： （1）若且，求的最小值(2)已知且，求的最小值技巧七已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x 21，求x的最大值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab。同時(shí)還應(yīng)化簡中y2前面的系數(shù)為 ， xx x·下面將x，分別看成

6、兩個(gè)因式：x· 即x·x 技巧八：已知a，b為正實(shí)數(shù)，2baba30，求函數(shù)y的最小值.分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)行。法一：a， ab·b由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2（t）34t28 ab18 y 當(dāng)且僅當(dāng)t4，即b3，a6時(shí)，等號成立。法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab2令u

7、則u22u300， 5u33，ab18，y點(diǎn)評：本題考查不等式的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；如何由已知不等式出發(fā)求得的范圍，關(guān)鍵是尋找到之間的關(guān)系，由此想到不等式，這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含的不等式，進(jìn)而解得的范圍.變式：1.已知a>0，b>0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x2y10，求函數(shù)W的最值.解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，本題很簡單 2解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W0，W23x2y2

8、3;102·10()2·()2 10(3x2y)20 W2變式: 求函數(shù)的最大值。解析：注意到與的和為定值。又，所以當(dāng)且僅當(dāng)=，即時(shí)取等號。 故。評注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件?？傊覀兝镁挡坏仁角笞钪禃r(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式1已知為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：1）正數(shù)a，b，c滿足abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc例6：已知a、b、c，且。求證：分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“2”連乘，又，可由此變形入手。解：a、b、c，。同