線性代數期末試題

1、kx y 2z 0 x ky 2z 0有非零解，且k21,那么k的值為。kx y kz 03.假設4X 4階矩陣A的行列式|A 3, A是A的伴隨矩陣那么A =。4.A為n n階矩陣，且A23A 2E，貝U A1。5.i,2,3和i,2,3是R3的兩組基，且131223,21223,321223,假設由基1,2,3至基1,2,3的基變換公式為(1,2,3) = (1,2,3)A,貝UA=222 .9.二次型fX1,X2,X3X13X22X3的正慣性指數為4 2 010.矩陣A 2 4、單項選擇每題2分，共12分、填空題12351.行列式(每題232034004000線性代數試題附答案,共20分

2、6.向量a( 1,0,3, 5),(4, 2,0,1),其內積為_3111117.設A 212 , B 210 ,那么AB之跡tr(AB)12311 18.假設3 3階矩陣A的特征值分別為2.假設齊次線性方程組1, 2,3,那么A1的特征值分別為A、1B、2C、3D、4X3X40的根底解系中含有解向量的個數是x2x302.齊次線性方程組X12X22x1A、1B、2C、3D、43.向量組a1(1,1,1,0),a2( )(0,k,0,1),a3(2,2,0,1),a4(0,0,2,1)線性相關， 那么A、-1B、-2C、0D、14. A、B均為n階矩陣，且ABA B A2B2，那么必有A、B=E

3、B、A=EC、A=BD、AB=BA2 1 15.a (1, k,1)T是矩陣A1 2 1的特征向量，那么k 1 1 2A、1或2B、-2 016.卜夕0矩陣中與矩陣012001或-2C、1或-2D、-1或200合同的是51003 00A、020B、0 20002100C、01 00 052 0 0D0 2 0k1.矩陣AaQa20a3bia4b1aib2a2b2aab2a4b2aibaa2b3ajb3a4baaAa2b4aab4a4b4，其中a,0,b0,i1,2,3,4,那么r(A)三、計算題每題9分， 共63會a。bib2bnGa001 .計算行列式C20a20Cn00an0,i1,2,n

4、)其中aixx22x33x412.當a取何值時，線性方程組x13x26 x3x43有解？在力程組有解時,x15x210 x3x453x15x210 x37x4a用其導出組的根底解系表示方程組的通解。3.給定向量組ai(1, 1,0,4), a2(2,1,5,6), a3(1, 1, 2,0), a4(3,0,7, k)。當k為何值時，向量組心且鬲尊線性相關？當線性組線性相關時，求出極大線性無關組，并將其們向量用極大線性無關組線性表示。3 0 0364.設矩陣A011 ,B 11，且滿足AX 2X B,求矩陣X014235.A為n階正交矩陣, 且|A|0。(1)求行列式|A|的值；(2)求行列式

5、|A+E|的值。1 0 16.實對稱矩陣A 0 2 0(1)求正交矩陣Q,使Q-1AQ為對角矩陣；(2)求A10。7.將二次型f(x1,x2,x3) x122x2x22x1x22x1x34x2x3化為標準形，并寫 出相應的可逆線性變換。四、證明題(5分)A、B均為n階矩陣，且A、B、A+B均可逆，證明:(A-1+B-1)-1=B (A+B)-1A1m1，那么(2A)14.非齊次線性方程組AmnXn1禹1有唯一解的充分必要條件是5.向量a3,1 T在基11,2T,22,1丁下的坐標為6.假設n階矩陣A、B、C有ABC=E,E為n階單位矩陣那么C17.假設n階矩陣A有一特征值為2,那么A 2E、填

6、充題 每題2000100200n 100n0001n1=001.2.分，共20分n為正整數 。、13.設A= 08.假設A、B為同階方陣，那么A B)(A B)AB2的充分必要充分條件是.9.正交矩陣A如果有實特征值,那么其特征值2x1x22x1x3是正定的，那么t的取1百范圍是_。二、單項選招f每/、題2分，共10分a22a101.假設a11a12a21a226,那么a222a210的值為021A、12B、-12C、18AB O,那么以下一定成立的是A、A=0或B=0B、A、B都不可逆10.二次型f(xi,x2,x3)D、02.設A、B都是n階矩陣且2x2223x2tx33.向量組ai, 8

7、2, a、線性相關的充分必要條 件是A、81,82,as中含有零向量B、ai,a2,as中有兩個向量的對應分量成比例C、ai,a2,as中每一個向量都可用其余s 1個向量線性表示D、ai,a2,as中至少有一個向量可由其余s 1個向量線性表示4.由R3的基81282383,282,383到基8,82,83的過渡矩陣為1 2310 0A、0 20B、2 1 00 033 0 11231 0 0C、010D、2 1 00013 0 15.假設n階矩陣A與B相似，那么B、它們具有相同的特征向量D、存在可逆矩陣C,使CTAC B三、計算題每題9分, 共63分123n 111001.計算行列式0220n

8、00C、A、B中至少有一個不可逆D、A+B=OA、它們的特征矩陣相似C、它們具有相同的特征矩陣2x1X2x3x41X1X2x3x427x12x22x34x487x1X2x35x4b當a、b為何值時有解，在有解的0002n000n 12線性方程組情況下，求其全部解用其導出組的根底解系線性表示3.求向量組81(2,1,1,1),a2( 1,1,7,10),83(3,1, 1, 2),84(8,5,9,11)的一個極大線性無關組，并將其余向量用此極大線性無關組線性表示。正準交基，并求向量a 3,2,1T在所求的標準正交基之下的坐標。2227.化二次型fX1, X2, X3x15y2x34X1X22X

9、1X3為標傕形，與出相對應的非奇異線性變換。并指出二次型的秩、正慣性指數及符號差。四、證明題7分列上去，得010114.設AX B X,其中A111,B201 01531 1 000 05.矩陣A 1 1 0與B03 0,相似0 0 300 X1求X；2求可逆矩陣P,使P1APB6給定R3的基司(1,1,1)T,a2(1,0,1)T 23(1,2,3),求XT,將其化為R3的一組標準、如果A是n階矩陣n2),且r(A)n 1,試證r(A ) 1、填空題每題2分,共20分1.1602.-23.274.5.216.-9217.78.1,1213、單項選擇每題9.110.31.A2.B3.C4.D2

10、分, 共12分5.C6.B、計算題每題9分,共63分1.將第2列的號倍,第3列的電倍a21列的勺倍統(tǒng)統(tǒng)加到第1an原式biGb2C2bnCnbb2bnaa2an0a0000a20000ana。aia2an(a0)i 1Si2.先對方程組的增廣矩陣進行初等行變換i(0, 2,1,0)T( 4,1,0,1 )T，原方程組的全部解為X0ki ik2 2,ki,k2為任意常數。3.由向量組司足且回為列向量組作矩陣1121131 01023103310211031A052 705270 022460 k024k 120 04 k101 2131 2041 0020 1010 1010 1010 0110

11、 0110 0110 00k 140 00 k140 00k 14當k14時,向量組ai,a2,a3,a4線性相關。向量組的極大線性無關組是ai,a2,a3,且a42aia2a3,4.由AX=2X+B得，(A-2E) X=B110036112311 1231-136130 2422A1510150 484435107a0 242a 31 123110 0400 242201 2110 000a 500 00a 50 000000 000所以，當a印寸，方程組有解，特解(0,1,0,0),T其導出的根底解系為所以有X=(A 2E)1B=01111012231,因為，|A 0,所以A1.AAAAT

12、6.A(E AT)A|EATA E,所以,E A (2)2,所以A的4特征值為10的特征向量(1,0 1)T,標準正交化32的特征向量(1,01)T,0,2G,0,(0,1,0)T,標準正交化,對應與特征丁(0,1,0)To由此可得正交矩陣Q(a1,a2,a3)120121.2012使得Q1AQQTAQ0 0 00 2 0A為對角矩陣29A10QA10Q10290 0 20292100029a3O(X1X22X2X3)27.二次型f(XMX)2X2X3(* X2X3)2(X2X3)22X3.,2)Ta2；對應丁特征值11 T(F7,0,)，.一2、2yX1X2X3Y2X2X3y3X3所作的可逆

13、線性變換為X1yy2X2y2y3X3y3可將原二次型化為標準型222fV1 V2 y.四、證明題(5分)證明：(A1B1)B(A B)1A A1B(AB)1AB1B(AB)1A1B(AB)1AA1A(AB)1A1(BA)1(AB)1A或B(A B)1AA1(AB)B1A1AB1BB1、填空題1.(E2.試題二3.12124.r(A)r(Ab) n1 55.(-)3 3二、單項選擇題6.AB7.08.AB=BA9.1或-110.tI1. A 2.C3.D三、計算題4. B5. An(n 1)23n 1201001原式=02200002 n000n 1 1100220n(n 1)2002 n00n

14、 1 1(1廣匝旦(n1)! ( 1)nn0n0n00001(n1)!22. A1112100231331301111993a1430000a5662b140000b810008時線性方程組有解全部解為XrCI1C2 2C1,C2為任意常數。213811八413151 0153311150312八12A171 9060 1-24331 10,a2是向量組2 11a， a2,a3,acccc0 0000 9360 0004的一個極大線性無關組(123.a,1,0,0)T,(0,1,1,0)T,r (1,2,1,0,3)T且a34a1矣233133a123a24.由AX+B=X(E-A)即X=(EA)1B(EA)X (EA)1B2323131313135.由丁A與B相似，M E AE B,可得x 2所以，A的特征值為0,23,32對丁0,A對應的特征向量為a1(1, 1,0)T對丁23,A對應的特征向量為a2(0,0,1)T對丁32,A對應的特征向量為a3(1,1,0)T10 111 0 1 ,使P AP B01 06.先正交化得,令y2X22X3，即作線性變換X2y22y3y3X3222可將二次型化為標傕形fyy26y3二次型的秩是3,正慣性指數是2,符號差是1四、證明題A的每一列向量均為AX。的