【山西醫(yī)科大學大一高數(shù)課件】第三章不定積分

1、2021/8/61第三章第三章一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學2021/8/623.1 不定積分不定積分2021/8/63例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù). )0(1ln xxxxln是是x1在區(qū)間在區(qū)間), 0(內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù).如果在區(qū)間如果在區(qū)間I內(nèi)，內(nèi)，定義：定義：可可導導函函數(shù)數(shù))(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函數(shù)數(shù))(xF就就稱稱為為)(xf導函數(shù)為導函數(shù)為)(xf，一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念2021/8/64原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理：如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)

2、區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，簡言之：簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問題：問題：(1) 原函數(shù)是否唯一？原函數(shù)是否唯一？例例 xxcossin xCxcossin （ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C那么在區(qū)間那么在區(qū)間I內(nèi)存在可導函數(shù)內(nèi)存在可導函數(shù))(xF，使使Ix ，都都有有)()(xfxF . .(2) 若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？2021/8/65關于原函數(shù)的說明：關于原函數(shù)的說明：（1）若）若 ，則對于任意常數(shù)，則對于任意常數(shù) ，)()(xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原原函函數(shù)數(shù).（2）若）若 和和 都是都是 的原函數(shù)，的原函數(shù)，)(x

3、F)(xG)(xf則則CxGxF )()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C證證 )()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxfCxGxF )()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C2021/8/66任意常數(shù)任意常數(shù)積分號積分號被積函數(shù)被積函數(shù)不定積分的定義：不定積分的定義：在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)，CxFdxxf )()(被積表達式被積表達式積分變量積分變量函函數(shù)數(shù))(xf的的帶帶有有任任意意常常數(shù)數(shù)項項的的原原函函數(shù)數(shù)稱為稱為)(xf在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)的內(nèi)的不不定定積積分分，記記為為 dxxf)(. .2021/8/67例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例2

4、2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx2021/8/68例例3 3 設曲線通過點（設曲線通過點（1 1，2 2），且其上任一點處的），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程. .解解設曲線方程為設曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的的一一個個原原函函數(shù)數(shù).,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲線通過點（由曲線通過點（1，2）, 1 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy2021/8/69函函數(shù)數(shù))(xf的的原原函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形稱稱

5、為為)(xf的的積積分分曲曲線線.顯然，求不定積分得到一積分曲線族顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知由不定積分的定義，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF結(jié)論：結(jié)論： 微分運算與求不定積分的運算是微分運算與求不定積分的運算是的的.2021/8/610實例實例 xx 11.11Cxdxx 啟示啟示能否根據(jù)求導公式得出積分公式？能否根據(jù)求導公式得出積分公式？結(jié)論結(jié)論既然積分運算和微分運算是互逆的，既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導公式得出積分公式因此可以根據(jù)求導公式得出積分公式.)1

6、( 二、二、 基本積分表基本積分表2021/8/611基基本本積積分分表表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 Cxdxx;|ln)(Cxxdx3說明：說明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx2021/8/612 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx 2021/8/613 xdxxtansec)1

7、0(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax 2021/8/614例例4 4 求積分求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根據(jù)積分公式（根據(jù)積分公式（2）Cxdxx 11 2021/8/615 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf證證 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）三、三、 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)2021/8/616 d

8、xxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k例例5 5 求積分求積分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 2021/8/617例例6 6 求積分求積分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx 2021/8/618例例7 7 求積分求積分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 20

9、21/8/619例例8 8 求積分求積分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 說明：說明： 以上幾例中的被積函數(shù)都需要進行以上幾例中的被積函數(shù)都需要進行恒等變形，才能使用基本積分表恒等變形，才能使用基本積分表.2021/8/620例例 9 9 已知一曲線已知一曲線)(xfy 在點在點)(,(xfx處的處的切線斜率為切線斜率為xxsinsec2 ，且此曲線與，且此曲線與y軸的交軸的交點為點為)5 , 0(，求此曲線的方程，求此曲線的方程.解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx , 5

10、)0( y, 6 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 6costan xxy2021/8/621基本積分表基本積分表(1)不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念：原函數(shù)的概念：)()(xfxF 不定積分的概念：不定積分的概念： CxFdxxf)()(求微分與求積分的互逆關系求微分與求積分的互逆關系四、 小結(jié)2021/8/622一、一、 填空題：填空題：1 1、 一個已知的函數(shù)，有一個已知的函數(shù)，有_個原函數(shù)，其中任意個原函數(shù)，其中任意兩個的差是一個兩個的差是一個_；2 2、 )(xf的的_稱為稱為)(xf的不定積分；的不定積分；3 3、 把把)(xf的一個原函數(shù)的一個原函數(shù))(xF的圖形叫做

11、函數(shù)的圖形叫做函數(shù))(xf的的_，它的方程是，它的方程是)(xFy ，這樣不定積，這樣不定積 dxxf)(在幾何上就表示在幾何上就表示_，它的方程是，它的方程是 CxFy )(；4 4、 由由)()(xfxF 可 知 ， 在 積 分 曲 線 族可 知 ， 在 積 分 曲 線 族CxFy )( )( 是任意常數(shù)是任意常數(shù)C上橫坐標相同的點上橫坐標相同的點處作切線，這些切線彼此是處作切線，這些切線彼此是_的；的；5 5、 若若)(xf在某區(qū)間上在某區(qū)間上_，則在該區(qū)間上，則在該區(qū)間上)(xf的的 原函數(shù)一定存在；原函數(shù)一定存在；練習題練習題2021/8/6236 6、 dxxx_ _；7 7、 x

12、xdx2_；8 8、 dxxx)23(2_；9 9、 dxxx)1)(1(3_；1010、 dxxx2)1(=_=_ ._ .2021/8/6243 3、 dxx2cos2 4 4、 dxxxx22sincos2cos5 5、 dxxxx)11(26 6、 xdxxxx2222sec1sin 2021/8/625一、一、1 1、無窮多、無窮多, ,常數(shù)；常數(shù)； 2 2、全體原函數(shù)；、全體原函數(shù)； 3 3、積分曲線、積分曲線, ,積分曲線族；積分曲線族； 4 4、平行；、平行； 5 5、連續(xù)；、連續(xù)； 6 6、Cx 2552； 7 7、 Cx 2332； 8 8、Cxxx 223323； 9 9

13、、Cxxxx 2325332523、 1010、Cxxx 252352342. .練習題答案練習題答案2021/8/6262021/8/6273.23.2不定積分的計算不定積分的計算一、第一類換元法一、第一類換元法二、第二類換元法二、第二類換元法三、三、 分部積分法分部積分法2021/8/628問題問題 xdx2cos,2sinCx 解決方法解決方法利用復合函數(shù)，設置中間變量利用復合函數(shù)，設置中間變量.過程過程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 一、第一類換元法一、第一類換元法2021/8/629在一般情況下：在一般情況下：設設),(

14、)(ufuF 則則.)()( CuFduuf如果如果)(xu （可微）（可微）dxxxfxdF)()()( CxFdxxxf)()()( )()(xuduuf 由此可得換元法定理由此可得換元法定理2021/8/630設設)(uf具具有有原原函函數(shù)數(shù)， dxxxf)()( )()(xuduuf 實際計算時直接寫做：實際計算時直接寫做：)(xu 可可導導，則有換元公式則有換元公式定理定理1 1 CxFCuF CxFxdxfdxxxf)()(2021/8/631例例1 1 求求.2sin xdx解解（一）（一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解解（二）（二） xdx2s

15、in xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解解（三）（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 2021/8/632例例2 2 求求.231dxx 解解dxx 231.|lnCx 2321)(xdx23231212021/8/633例例3 3 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx .)ln21ln(21Cx 2021/8/634例例4 4 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx

16、 221)1(2111CxCx .)1(21112Cxx 2021/8/635例例5 5 求求.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa 2021/8/636例例6 6 求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx 2021/8/637例例7 7 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 2021/8/638例例8 8 求求.

17、)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 2021/8/639例例9 9 求求.12321dxxx 原式原式 dxxxxxxx 123212321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133Cxx 2021/8/640例例1010 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 2021/8/641例例111

18、1 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 說明說明 當被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇當被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇次項去湊微分次項去湊微分.2021/8/642例例1212 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin2

19、1Cxx 2021/8/643例例1313 求求解解（一）（一） dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx|tan|ln2.|cotcsc|lnCxx（使用了三角函數(shù)恒等變形）（使用了三角函數(shù)恒等變形）2021/8/644解解（二）（二） dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 類似地可推出類似地可推出.)tanln(secsec Cxxxdx.|cotcsc

20、|lnCxx2021/8/645解解例例1414 設設 求求 .,cos)(sin22xxf )(xf令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf 2021/8/646例例1515 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx .|arcsin|lnCx22021/8/647Cxxxddxxxxdx|cos|lncoscoscossintan例例16:求求xdxtan同理可得同理可得:|sin|lncotxxdx 2021/8/64

21、8問題問題?125 dxxx解決方法解決方法改變中間變量的設置方法改變中間變量的設置方法.過程過程令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （應用（應用“湊微分湊微分”即可求出結(jié)果）即可求出結(jié)果）二、第二類換元法二、第二類換元法2021/8/649其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函數(shù)數(shù). .證證設設 為為 的原函數(shù)的原函數(shù),)(t )()(ttf 令令)()(xxF 則則dxdtdtdxF )()()(ttf ,)(1t 設設)(tx 是單調(diào)的、可導的函數(shù)，是單調(diào)的、可導的函數(shù)， )()()()(xtdtttfd

22、xxf 則有換元公式則有換元公式并且并且0)( t ，又又設設)()(ttf 具具有有原原函函數(shù)數(shù)，定理定理2 22021/8/650第二類積分換元公式第二類積分換元公式 CxFdxxf)()(,)(Cx )()()()(xtdtttfdxxf )(tf ).(xf 說說明明)(xF為為)(xf的的原原函函數(shù)數(shù),2021/8/651例例1616 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 2,2t2021/8/652例例1717 求求解解.4

23、23dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 2021/8/653例例1818 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 2021/8/654說明說明

24、(1)(1) 以上幾例所使用的均為以上幾例所使用的均為三角代換三角代換.三角代換的三角代換的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般規(guī)律如下：當被積函數(shù)中含有一般規(guī)律如下：當被積函數(shù)中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 2021/8/655 積分中為了化掉根式是否一定采用積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的三角代換并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定情況來定.說明說明(3)(3)例例1919 求求dxxx 251（三角代換很繁瑣）（三角代換很繁瑣）21xt 令令, 122 tx,

25、tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解2021/8/656例例2020 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx2021/8/657說明說明(4)(4) 當分母的階較高時當分母的階較高時, 可采用可采用倒代換倒代換.1tx 例例2121 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|l

26、n1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解2021/8/658例例2222 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 ,12dttdx dxttt 22411111（分母的階較高）（分母的階較高）dttt 231222121dttt 2tu 2021/8/659 duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu 11313.1131232Cxxxx 2021/8/660說明說明(5)(5) 當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式根式 時，可采用令時，可采用令 （其中（其中 為各根指數(shù)的為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù)） l

27、kxx,ntx n例例2323 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt22162021/8/661 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 2021/8/662基基本本積積分分表表;coslntan)16( Cxxdx;sinlncot)17( Cxxdx;)tanln(secsec)18( Cxxxdx;)cotln(csccsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa 2021/8/663;ln211)22(22Cxaxaadxxa

28、;arcsin1)23(22Caxdxxa .)ln(1)24(2222Caxxdxax ;ln211)21(22Caxaxadxax 2021/8/664三、小結(jié)三、小結(jié)兩類積分換元法：兩類積分換元法： （一）（一）湊微分湊微分（二）（二）三角代換、倒代換、根式代換三角代換、倒代換、根式代換基本積分表基本積分表(2)2021/8/665思考題思考題求積分求積分.)1(ln)ln(dxxxxp 2021/8/666思考題解答思考題解答dxxxxd)ln1()ln( dxxxxp)1(ln)ln( )ln()ln(xxdxxp 1,)lnln(1,1)ln(1pCxxpCpxxp2021/8/6

29、67一、一、 填空題：填空題：1 1、 若若CxFdxxf )()(而而)(xu 則則 duuf)(_；2 2、 求求 )0(22adxax時，可作變量代換時，可作變量代換_ _，然后再求積分；，然后再求積分；3 3、 求求 dxxx211時可先令時可先令 x_；4 4、 dxx_)1(2xd ；5 5、 dxex2_ _ _ _)1(2xed ；6 6、 xdx_ _ _ _ _)ln53(xd ；練練 習習 題題2021/8/6687 7、 291xdx = =_ _ _ _ _)3arctan(xd；8 8、 21xxdx_ _ _ _ _)1(2xd ；9 9、 dtttsin_ _

30、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；1 10 0、 222xadxx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二、 求求下下列列不不定定積積分分： （第第一一類類換換元元法法）1 1、 dxxaxa； 2 2、 )ln(lnlnxxxdx；2021/8/6693 3、 221.1tanxxdxx； 4 4、 xxeedx；5 5、 dxxx321； 6 6、 dxxxx4sin1cossin；7 7、 dxxxxx3cossincossin； 8 8、 dxxx2491；9 9、 dxxx239； 10 10、 )4(6xxdx；111

31、1、 dxxxx)1(arctan ； 12 12、 dxxexxx)1(1；1313、 dxxx2arccos2110； 14 14、 dxxxxsincostanln. .2021/8/6702021/8/671練習題答案練習題答案一、一、1 1、CuF )(; ;； 2 2、taxsec 或或taxcsc ； 3 3、t1； 4 4、21； 5 5、-2-2； 6 6、51； 7 7、31； 8 8、 ； 9 9、Ct cos2； 10 10、Cxaaxaxa )(arcsin22222. .二二、1 1、Cxaaxa 22arcsin； 2 2、Cx lnlnln； 3 3、Cx )1

32、ln(cos2； 4 4、Cex arctan； 5 5、Cx 233)1(92； 6 6、Cx )arctan(sin212；2021/8/6727 7、Cxx 32)cos(sin23；8 8、Cxx 44932arcsin212；9 9、Cxx )9ln(29222；1 10 0、Cxx 4ln24166；1 11 1、Cx 2)(arctan；1 12 2、Cxexexx )1ln()ln(；1 13 3、Cx 10ln210arccos2； 1 14 4、Cx 2)tan(ln21. .2021/8/6732021/8/6743.2.23.2.2分部積分法分部積分法2021/8/67

33、5問題問題 ?dxxex解決思路解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導法則利用兩個函數(shù)乘積的求導法則.設設函函數(shù)數(shù))(xuu 和和)(xvv 具具有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù), ,vuvuuv , vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部積分公式分部積分公式一、基本內(nèi)容一、基本內(nèi)容2021/8/676例例1 1 求積分求積分.cos xdxx解（一）解（一） 令令,cosxu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222顯然，顯然， 選擇不當選擇不當，積分更難進行，積分更難進行.vu ,解（二）解（二） 令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos

34、 xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx 2021/8/677例例2 2 求積分求積分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部積分法）（再次使用分部積分法）,xu dvdxex 總結(jié)總結(jié) 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余余)弦函數(shù)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積, 就考慮設冪函就考慮設冪函數(shù)為數(shù)為 , 使其降冪一次使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù)假定冪指數(shù)是正整數(shù))u2021/8/678例例3 3 求積分求積分.arctan xdxx解解令令,ar

35、ctanxu dvxdxdx 22 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 2021/8/679例例4 4 求積分求積分.ln3 xdxx解解 xdxx ln3xdxxxlnln444141.161ln4144Cxxx 總結(jié)總結(jié) 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設對數(shù)函函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為數(shù)或反三角函數(shù)為 .u441xdxlndxxxxx1

36、414144ln2021/8/680例例5 5 求積分求積分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 2021/8/681例例6 6 求積分求積分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循環(huán)形式注意循環(huán)形式2021/8/682例例7 7 求積分求積分 .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arc