電磁場與電磁波3ppt課件

1、第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 本章內(nèi)容本章內(nèi)容 3.1 靜電場分析靜電場分析 3.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析 3.3 恒定磁場分析恒定磁場分析 3.4 靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理理 3.5 鏡像法鏡像法 3.6 分離變量法分離變量法 靜態(tài)電磁場：場量不隨時間變化，包括：靜態(tài)電磁場：場量不隨時間變化，包括： 靜電場、恒定電場和恒定磁場靜電場、恒定電場和恒定磁場 時變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場時變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場 靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激

2、發(fā)，且相互獨立靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨立 第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波3.1 靜電場分析靜電場分析 學(xué)習(xí)內(nèi)容學(xué)習(xí)內(nèi)容 3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件靜電場的基本方程和邊界條件 3.1.2 電位函數(shù)電位函數(shù) 3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容 3.1.4 靜電場的能量靜電場的能量 3.1.5 靜電力靜電力第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波2. 邊界條件邊界條件0ED微分形式：微分形式：ED本構(gòu)關(guān)系：本構(gòu)關(guān)系：1. 基本方程基本方程0)()(2121EEeDDenSn0ddlEqSDCS積分形式：積分形式：0)(0)(2121EEe

3、DDenn02121ttSnnEEDD或或若分界面上不存在面電荷，即若分界面上不存在面電荷，即SS0 0，那么，那么ttnnEEDD2121或或3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件靜電場的基本方程和邊界條件第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波介質(zhì)介質(zhì)2 2介質(zhì)介質(zhì)1 121212E1Ene212211221121/tantannnntntDDEEEE 在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場為在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場為0 0，則導(dǎo)體表面的，則導(dǎo)體表面的邊界條件為邊界條件為 0EeDenSn0tSnED或或 場矢量的折射關(guān)系場矢量的折射關(guān)系 導(dǎo)體表面的邊界條件導(dǎo)體表面的邊界條件 介質(zhì)介質(zhì)1

4、 1111Ene導(dǎo)體第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波0E由由即靜電場可以用一個標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示，標(biāo)量函數(shù)即靜電場可以用一個標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示，標(biāo)量函數(shù) 稱為靜稱為靜電場的標(biāo)量電位或簡稱電位。電場的標(biāo)量電位或簡稱電位。1. 電位函數(shù)的定義電位函數(shù)的定義E3.1.2 電位函數(shù)電位函數(shù)第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波2. 電位的表達(dá)式電位的表達(dá)式對于連續(xù)的體分布電荷，由對于連續(xù)的體分布電荷，由面電荷的電位：面電荷的電位： 1()( )d4VrrVCR故得故得點電荷的電位：點電荷的電位：( )4qrCR()1( )d4SSrrSCR()1( )d4lCrrlCRd)1)(41d)1()(

5、41d)(41)(3VRrVRrVRRrrEVVV3)1(RRR線電荷的電位：線電荷的電位：rrR第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波3. 電位差電位差兩端點乘兩端點乘 ，則有，則有l(wèi)dE將將d)ddd(ddyyyyxxllE上式兩邊從點上式兩邊從點P到點到點Q沿任意路徑進(jìn)行積分，得沿任意路徑進(jìn)行積分，得關(guān)于電位差的說明關(guān)于電位差的說明 P、Q 兩點間的電位差等于電場力將單位正電荷從兩點間的電位差等于電場力將單位正電荷從P點移至點移至Q 點點 所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處；所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處； 電位差也稱為電壓，可用電位差也稱為電壓，可用U

6、 表示；表示； 電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。)()(ddQPlEQPQPP、Q 兩點間的電位差兩點間的電位差電場力做電場力做的功的功第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 靜電位不惟一，可以相差一個常數(shù)，即靜電位不惟一，可以相差一個常數(shù)，即)(CC選參考點選參考點令參考點電位為零令參考點電位為零電位確定值電位確定值( (電位差電位差) )兩點間電位差有定值兩點間電位差有定值 選擇電位參考點的原則選擇電位參考點的原則 應(yīng)使電位表達(dá)式有意義；應(yīng)使電位表達(dá)式有意義； 應(yīng)使電位表達(dá)式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無應(yīng)使

7、電位表達(dá)式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無 限遠(yuǎn)作電位參考點；限遠(yuǎn)作電位參考點； 同一個問題只能有一個參考點。同一個問題只能有一個參考點。4. 電位參考點電位參考點 為使空間各點電位具有確定值，可以選定空間某一點作為參考為使空間各點電位具有確定值，可以選定空間某一點作為參考點，且令參考點的電位為零，由于空間各點與參考點的電位差為確點，且令參考點的電位為零，由于空間各點與參考點的電位差為確定值，所以該點的電位也就具有確定值，即定值，所以該點的電位也就具有確定值，即第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波在均勻介質(zhì)中，有在均勻介質(zhì)中，有5. 電位的微分方程電位的微分方程2在無源區(qū)域，在無源區(qū)域，

8、0EED02標(biāo)量泊松方程標(biāo)量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波6. 靜電位的邊界條件靜電位的邊界條件 設(shè)設(shè)P1和和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點，其電位分是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點，其電位分別為別為1和和2。當(dāng)兩點間距離。當(dāng)兩點間距離l0時時 若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即 導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：0dlim21021PPllESnDDe)(21D由由 和和12媒質(zhì)媒質(zhì)2媒質(zhì)媒質(zhì)121l2P1P0Snn1122常數(shù)，常數(shù)，Sn21Snn1122第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 例例 3.

9、1.1 求電偶極子的電位求電偶極子的電位. 解解 在球坐標(biāo)系中在球坐標(biāo)系中211202104)11(4)(rrrrqrrqrcos)2/(cos)2/(222221rddrrrddrrcos22drr用二項式展開，由于，得用二項式展開，由于，得dr ,cos21drr302020444cos)(rrpreprqdrr代入上式，得代入上式，得 表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。dqp+q電偶極子電偶極子zodq2r1rr),(rP第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波ErErrdd21sinCr 將將 和和 代入上式，解得代入上式，解得E E線方程為線方程

10、為ErE 由球坐標(biāo)系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場強(qiáng)度由球坐標(biāo)系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場強(qiáng)度)sincos2(430eerqr)sin11()(rerererErcos2Cr Crp204cos等位線等位線電場線電場線電偶極子的場圖電偶極子的場圖電場線微分方程：電場線微分方程：等位線方程：等位線方程：第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 解解 選定均勻電場空間中的一點選定均勻電場空間中的一點o o為坐標(biāo)原點，而任意點為坐標(biāo)原點，而任意點P P 的位置矢量為的位置矢量為r r，那么，那么000( )( )ddPPooPoElErE r rrrrrrggg若選擇點若選擇點o為

11、電位參考點，即為電位參考點，即 ，那么，那么( )0o0( )PE r rrg000( )coszPE re r EE r rrr rgg 在球坐標(biāo)系中，取極軸與在球坐標(biāo)系中，取極軸與 的方向一的方向一致，即致，即 ，則有，則有00zEe E0Ezree z000( )()cosxzPE re E ee zErrrrgg 在圓柱面坐標(biāo)系中，取在圓柱面坐標(biāo)系中，取 與與x軸方向一致，即軸方向一致，即 ，而，而 ，故，故 00 xEe E0E0ExzoPr 例例3.1.2 3.1.2 求均勻電場的電位分布。求均勻電場的電位分布。第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波xyzL-L( , , ) z z

12、ddlzRz 解解 采用圓柱面坐標(biāo)系，令線電荷與采用圓柱面坐標(biāo)系，令線電荷與 z 軸相重合，中點位于軸相重合，中點位于坐標(biāo)原點。由于軸對稱性，電位與坐標(biāo)原點。由于軸對稱性，電位與 無關(guān)。無關(guān)。在帶電線上位于在帶電線上位于 處的線元處的線元 ，它，它到點到點 的距離的距離 ，那么那么22()Rzzddlz( , , )Pz 02201()d4()LlLrzzz2200ln() 4LlLzzzz220220()()ln4()()lzLzLzLzL 例例3.1.3 求長度為求長度為2L、電荷線密度為、電荷線密度為 的均勻帶電線的電位。的均勻帶電線的電位。0l第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波222

13、2000220002( )lnlnln422lllLLLLLrLL 在上式中若令在上式中若令 ，則可得到無限長直線電荷的電位。當(dāng)，則可得到無限長直線電荷的電位。當(dāng) 時，上式可寫為時，上式可寫為 LRL 當(dāng)當(dāng) 時，上式變?yōu)闊o窮大，這是因為電荷不是分布在有限區(qū)時，上式變?yōu)闊o窮大，這是因為電荷不是分布在有限區(qū)域內(nèi)，而將電位參考點選在無窮遠(yuǎn)點之故。這時可在上式中加上域內(nèi)，而將電位參考點選在無窮遠(yuǎn)點之故。這時可在上式中加上一個任意常數(shù)，則有一個任意常數(shù)，則有L 002( )ln2lLrC并選擇有限遠(yuǎn)處為電位參考點。例如，選擇并選擇有限遠(yuǎn)處為電位參考點。例如，選擇= a 的點為電位參的點為電位參考點，則有

14、考點，則有002ln2lLCa 00( )ln2lar第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 例例3.1.4 兩塊無限大接地導(dǎo)體平板分別置于兩塊無限大接地導(dǎo)體平板分別置于x = 0和和 x = a 處，處，在兩板之間的在兩板之間的 x = b 處有一面密度為處有一面密度為 的均勻電荷分布，如下圖。的均勻電荷分布，如下圖。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場。0S 解解 在兩塊無限大接地導(dǎo)體平板之間，除在兩塊無限大接地導(dǎo)體平板之間，除 x = b 處有均勻面電處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維

15、拉普拉斯方程斯方程212d( )0,(0)dxxbx222d( )0,()dxbxax111222( )( )xC xDxC xD方程的解為方程的解為obaxy兩塊無限大平行板兩塊無限大平行板0S1( )x2( ) x第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波0110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 010020()( ),(0)( )(),()SSabxxxbabxaxbxaa 0110()( )( )Sxa bE xxea1221122021000SDC aDC bDC bDCC 利用邊界條件，有利用邊界條件，有xb12( )( ),bb0210( )( )Sx bxxxx 處

16、，處，最后得最后得0 x 處，處，1(0)0 x a2( )0a 處，處，所以所以0220( )( )SxbE xxea 由此解得由此解得第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電容器廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的電路中：電容器廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的電路中： 在電子電路中，利用電容器來實現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁在電子電路中，利用電容器來實現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁 路、選頻等作用；路、選頻等作用； 通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復(fù)雜通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復(fù)雜 電路；電路； 在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以 減

17、少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率；減少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率； 3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng)電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng) 儲存電荷儲存電荷能力的物理量。能力的物理量。 孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量q與其電位與其電位 的比值，即的比值，即qC 1. 電容電容 孤立導(dǎo)體的電容孤立導(dǎo)體的電容 兩個帶等量異號電荷（兩個帶等量異號電荷（q的導(dǎo)的導(dǎo) 體組成的電容器，其電容為體組成的電容器，其電容為12qqCU 電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì)

18、電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì) 的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無關(guān)。的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無關(guān)。第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 (1) 假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷+q 和和 -q ； (2) 計算兩導(dǎo)體間的電場強(qiáng)度計算兩導(dǎo)體間的電場強(qiáng)度E； 計算電容的步驟：計算電容的步驟：UqC (4) 求比值求比值 ，即得出所求電容。，即得出所求電容。21dlEU (3) 由由 ，求出兩導(dǎo)體間的電位差；，求出兩導(dǎo)體間的電位差；第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為q q，則由高斯定理可求得內(nèi)外導(dǎo)體間

19、，則由高斯定理可求得內(nèi)外導(dǎo)體間的電場的電場44rr22qqDe,EerrababqbaqrEUba004)11(4d同心導(dǎo)體間的電壓同心導(dǎo)體間的電壓ababUqC04球形電容器的電容球形電容器的電容aC04當(dāng)當(dāng) 時，時，babo 例例3.1.4 3.1.4 同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a a、外導(dǎo)體半徑為、外導(dǎo)體半徑為b b，其間填充介電常數(shù)為其間填充介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)。求此球形電容器的電容。的均勻介質(zhì)。求此球形電容器的電容。孤立導(dǎo)體球的電容孤立導(dǎo)體球的電容第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 例例 3.1.5 如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為如圖所示的平行雙

20、線傳輸線，導(dǎo)線半徑為a，兩導(dǎo)線，兩導(dǎo)線的軸線距離為的軸線距離為D，且，且D a，求傳輸線單位長度的電容。，求傳輸線單位長度的電容。l 解解 設(shè)兩導(dǎo)線單位長度帶電量分別為設(shè)兩導(dǎo)線單位長度帶電量分別為 和和 。由。由于于 ，故可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩，故可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用高斯定理和疊加原導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用高斯定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點P P 的電場強(qiáng)度為的電場強(qiáng)度為lDa011( )()2lxE xexDx兩導(dǎo)線間的電位差兩導(dǎo)線間的電位差210011d()dln2D allaDaUElxxDxa故單位長度

21、的電容為故單位長度的電容為001F/mln()ln()lCUDaaD axyzxDa第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 例例3.1.6 同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為為，外導(dǎo)體半徑為為b，內(nèi)外導(dǎo)體，內(nèi)外導(dǎo)體間填充的介電常數(shù)為間填充的介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長度的電容。的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長度的電容。( )2lEe內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差1( )dd2bblaaUEell 解解 設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長度帶電量分別為設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長度帶電量分別為 和和 ，應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點的電場強(qiáng)度為應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一

22、點的電場強(qiáng)度為故得同軸線單位長度的電容為故得同軸線單位長度的電容為12F/mln( / )lCUb aab同軸線同軸線ln( / )2lb a第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波2 部份電容部份電容在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，任何兩個導(dǎo)體間的電壓都要受到其余導(dǎo)體在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，任何兩個導(dǎo)體間的電壓都要受到其余導(dǎo)體 上的電荷的影響。因而，研究多導(dǎo)體系統(tǒng)時，必須把電容的上的電荷的影響。因而，研究多導(dǎo)體系統(tǒng)時，必須把電容的 概念加以推廣，引入部分電容的概念。概念加以推廣，引入部分電容的概念。 在由在由N個導(dǎo)體組成的系統(tǒng)中，由于電位與各導(dǎo)體所帶的電荷個導(dǎo)體組成的系統(tǒng)中，由于電位與各導(dǎo)體所帶的電荷之間成線性關(guān)系，所

23、以，各導(dǎo)體的電位為之間成線性關(guān)系，所以，各導(dǎo)體的電位為1(1, 2 ,)Nii jjjqiN式中：式中：(1 , 2 ,)iiiN 自電位系數(shù)自電位系數(shù)()i jij 互電位系數(shù)互電位系數(shù)（1） 電位系數(shù)電位系數(shù)第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 i j 在數(shù)值上等于第在數(shù)值上等于第i 個導(dǎo)體上的總電量為一個單位、而其余個導(dǎo)體上的總電量為一個單位、而其余 導(dǎo)體上的總電量都為零時，第導(dǎo)體上的總電量都為零時，第 j 個導(dǎo)體上的電位，即個導(dǎo)體上的電位，即i j 只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì) 參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無

24、關(guān)；參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；具有對稱性，即具有對稱性，即i j = j i 。1110( ,1 , 2 ,)jjNii jjqqqqi jNqi j 0 ； 電位系數(shù)的特點：電位系數(shù)的特點：第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波若已知各導(dǎo)體的電位，則各導(dǎo)體的電量可表示為若已知各導(dǎo)體的電位，則各導(dǎo)體的電量可表示為 1(1, 2 ,)Nii jjjqiN 式中：式中：(1 , 2 ,)iiiN 自電容系數(shù)或自感應(yīng)系數(shù)自電容系數(shù)或自感應(yīng)系數(shù) ()i jij 互電容系數(shù)或互感應(yīng)系數(shù)互電容系數(shù)或互感應(yīng)系數(shù) （2） 電容系數(shù)電容系數(shù)第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 i j 在數(shù)值上等于第

25、在數(shù)值上等于第 j個導(dǎo)體上的電位為一個單位、而其余導(dǎo)個導(dǎo)體上的電位為一個單位、而其余導(dǎo) 體接地時，第體接地時，第 i 個導(dǎo)體上的電量，即個導(dǎo)體上的電量，即 i j i j 只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)質(zhì) 參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；具有對稱性，即具有對稱性，即i j = j i 。1110( ,1 , 2 ,)jjNiijjqi jNi i 0 、 ；0()ijij 電容系數(shù)的特點：電容系數(shù)的特點：第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波將各導(dǎo)體的電量表示為將各導(dǎo)體的電量表示為

26、 式中：式中：（3） 部分電容部分電容(1, 2 ,)iN()Nijiji iij iCC111()()NNNNii jjijjijiijiijijijijjj ijq 導(dǎo)體導(dǎo)體 i 與導(dǎo)體與導(dǎo)體 j 之間的部分電容之間的部分電容()ijijCij 導(dǎo)體導(dǎo)體 i 與地之間的部分電容與地之間的部分電容 NjjiiiC1第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 Ci i 在數(shù)值上等于全部導(dǎo)體的電位都為一個單位時，第在數(shù)值上等于全部導(dǎo)體的電位都為一個單位時，第 i 個導(dǎo)個導(dǎo) 體上的電量；體上的電量； Ci j Ci j 只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及

27、導(dǎo)體周圍的介質(zhì)質(zhì) 參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；具有對稱性，即具有對稱性，即Ci j = Cj i 。Ci j 0 ； Ci j 在數(shù)值上等于第在數(shù)值上等于第 j 個導(dǎo)體的電位為一個單位、其個導(dǎo)體的電位為一個單位、其余余 導(dǎo)體都接地時，第導(dǎo)體都接地時，第 i 個導(dǎo)體上的電量；個導(dǎo)體上的電量；()ij 部分電容的特點：部分電容的特點：第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，把其中任意兩個在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，把其中任意兩個導(dǎo)體作為電容器的兩個電極，設(shè)在這導(dǎo)體作為電容器的兩個電極，設(shè)在這兩個電極間加上電壓兩個電極間加上電壓U U，極板上所帶

28、電，極板上所帶電荷分別為荷分別為 ，則比值，則比值 稱為這兩個導(dǎo)體間的等效電容。稱為這兩個導(dǎo)體間的等效電容。q/q U（4等效電容等效電容如下圖，有三個部分電容如下圖，有三個部分電容112212CCC、導(dǎo)線導(dǎo)線 1 和和 2 間的等效電容為間的等效電容為11221121122C CCCCC導(dǎo)線導(dǎo)線 1 和大地間的等效電容為和大地間的等效電容為12222111222C CCCCC導(dǎo)線導(dǎo)線 2 和大地間的等效電容為和大地間的等效電容為12113221211C CCCCC1 12 212C22C11C大地大地大地上空的平行雙導(dǎo)線大地上空的平行雙導(dǎo)線第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 如果充電過程進(jìn)

29、行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過如果充電過程進(jìn)行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過程中外加電源所作的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場能量，或者說電場能程中外加電源所作的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場能量，或者說電場能量就等于外加電源在此電場建立過程中所作的總功。量就等于外加電源在此電場建立過程中所作的總功。靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有 能量。能量。 任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個最終任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有

30、電荷分布到某個最終電荷分布的建立電荷分布的建立(或充電或充電)過程。在此過程中，外加電源必須克服過程。在此過程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而作功。電荷之間的相互作用力而作功。3.1.4 靜電場的能量靜電場的能量 第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波1. 靜電場的能量靜電場的能量 設(shè)系統(tǒng)從零開始充電，最終帶電量為設(shè)系統(tǒng)從零開始充電，最終帶電量為 q 、電位為、電位為 。 充電過程中某一時刻的電荷量為充電過程中某一時刻的電荷量為q、電位為、電位為 。 (01) 當(dāng)當(dāng)增加為增加為(+ d)時，外電源做功為時，外電源做功為: (q d)。 對對從從0 到到 1 積分，即得到外電源所做的總功

31、為積分，即得到外電源所做的總功為101d2qq 根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為 q 的帶電體具有的電的帶電體具有的電場能量場能量We ，即，即12eWq 對于電荷體密度對于電荷體密度為的體分布電荷，體積元為的體分布電荷，體積元dV中的電荷中的電荷dV具有的電場能量為具有的電場能量為1dd2eWV第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波VWVed21SWSSed21故體分布電荷的電場能量為故體分布電荷的電場能量為對于面分布電荷，電場能量為對于面分布電荷，電場能量為111dd222iiiieSiiSiiSSiiiWSSq 對于多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，則有對于多導(dǎo)體組

32、成的帶電系統(tǒng)，則有iq 第第i i個導(dǎo)體所帶的電荷個導(dǎo)體所帶的電荷i 第第i i個導(dǎo)體的電位個導(dǎo)體的電位式中：式中：第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波2. 電場能量密度電場能量密度 從場的觀點來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。從場的觀點來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。EDwe21電場能量密度：電場能量密度：1d2eVWD E V電場的總能量：電場的總能量：積分區(qū)域為電場積分區(qū)域為電場所在的整個空間所在的整個空間2111ddd222eVVVWD E VE E VEV 對于線性、各向同性介質(zhì)，則有對于線性、各向同性介質(zhì)，則有2111222ewD EE EE 第3章 電磁場與

33、電磁波電磁場與電磁波由于體積由于體積V外的電荷密度外的電荷密度0，若將上，若將上式中的積分區(qū)域擴(kuò)大到整個場空間，結(jié)式中的積分區(qū)域擴(kuò)大到整個場空間，結(jié)果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面內(nèi)，當(dāng)閉合面S無限擴(kuò)大時，則有無限擴(kuò)大時，則有211 O( O()DRR)、2111d O(.d ) O()0SSDSSR RR故故11dd22SVDSE D V 推證：推證：()DDD ()ddVSDVDSE D R0S11dd22eVVWVDV1()d2VDDV第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 例例3.1.7 3.1.7 半徑為半徑為a a 的球形空間內(nèi)均勻分布

34、有電荷體密度為的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的電荷，試求靜電場能量。的電荷，試求靜電場能量。5202420622020220154)d49d49(21arrrarrraa10()3rrEera 解：解： 方法一，利用方法一，利用 計算計算 VeVEDWd21 根據(jù)高斯定理求得電場強(qiáng)度根據(jù)高斯定理求得電場強(qiáng)度 3220()3raEerar故故VEVEVEDWVVVed21d21d2121220210第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波)()3(2d3d3dd2202030211arrarrarrrErEaraara 方法二：利用方法二：利用 計算計算 VeVWd21 先求出電位分布先求出電位

35、分布 故故5202022021154d4)3(221d21arrraVWaVe第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫侖定律可以計算帶電體電荷之間已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫侖定律可以計算帶電體電荷之間的電場力。但對于電荷分布復(fù)雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫侖定律計算電場力往往是的電場力。但對于電荷分布復(fù)雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫侖定律計算電場力往往是非常困難的，因此通常采用虛位移法來計算靜電力。非常困難的，因此通常采用虛位移法來計算靜電力。 虛位移法：假設(shè)第虛位移法：假設(shè)第i個帶電導(dǎo)體在電場力個帶電導(dǎo)體在電場力Fi的作用下發(fā)生位移的作用下發(fā)生位移dgi，則電場力做功

36、，則電場力做功dAFidgi，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)?，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)閐We。根。根據(jù)能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關(guān)系為據(jù)能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關(guān)系為dddSiieWF gW其中其中dWS是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。 具體計算中，可假定各帶電導(dǎo)體的電位不變，或假定各帶電導(dǎo)體的電荷不變。3.1.5 靜電力靜電力第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波1. 各帶電導(dǎo)體的電位不變各帶電導(dǎo)體的電位不變 此時，各帶電導(dǎo)體應(yīng)分別與外電壓源連接，外電壓源向系統(tǒng)此時，各帶電導(dǎo)體應(yīng)分別與外電壓源連接，外電壓源向系統(tǒng)提供的能量提供的能量11dd()dNNSiii

37、iiiWqq1111dd()d22NNeiiiiiiWqq系統(tǒng)所改變的靜電能量系統(tǒng)所改變的靜電能量即即d2dSeWW此時，所有帶電體都不和外電源相連接，那么此時，所有帶電體都不和外電源相連接，那么 dWS0，因而，因而2. 各帶電導(dǎo)體的電荷不變各帶電導(dǎo)體的電荷不變ddiieF gW 式中的式中的“”號表示電場力做功是靠減少系統(tǒng)的靜電能量來實現(xiàn)的。號表示電場力做功是靠減少系統(tǒng)的靜電能量來實現(xiàn)的。ddiieF gWeiiWFg 不變不變eiiWFg q不變不變第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波例例3.1.8 有一平行金屬板電容器，有一平行金屬板電容器，極板面積為極板面積為lb，板間距離為，板間距

38、離為d，用一塊，用一塊介質(zhì)片寬度為介質(zhì)片寬度為b、厚度為、厚度為d，介電常數(shù)，介電常數(shù)為為部分填充在兩極板之間，如下圖。部分填充在兩極板之間，如下圖。設(shè)極板間外加電壓為設(shè)極板間外加電壓為U0，忽略邊緣效應(yīng)，忽略邊緣效應(yīng)，求介質(zhì)片所受的靜電力。求介質(zhì)片所受的靜電力。0()lx bbxCdd所以電容器內(nèi)的電場能量為所以電容器內(nèi)的電場能量為220001()22ebUWCUlxxd0200()2exUWbUFxd不變由由 可求得介質(zhì)片受到的靜電力為可求得介質(zhì)片受到的靜電力為eiiWFg不變 解解 平行板電容器的電容為平行板電容器的電容為部分填充介質(zhì)的平行板電容器部分填充介質(zhì)的平行板電容器dbU0lx由

39、于由于0，所以介質(zhì)片所，所以介質(zhì)片所受到的力有將其拉受到的力有將其拉進(jìn)電容器的趨勢進(jìn)電容器的趨勢第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波22022 ()eqdqWCblxx2020()2 ()exqWdqFxblxx 不變000()bUqCUlxxd200()2xbUFd 此題也可用式此題也可用式 來計算來計算eiiWFg q不變設(shè)極板上保持總電荷設(shè)極板上保持總電荷q不變，那么不變，那么由此可得由此可得由于由于同樣得到同樣得到第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波3.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析 由由J JE E 可知，導(dǎo)體中若存在恒定電流，則必有維持該電流可知，導(dǎo)體中若存在

40、恒定電流，則必有維持該電流的電場，雖然導(dǎo)體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運(yùn)動，但導(dǎo)體中的電的電場，雖然導(dǎo)體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運(yùn)動，但導(dǎo)體中的電荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場稱為恒定電場。的電場稱為恒定電場。 恒定電場與靜電場重要區(qū)別：恒定電場與靜電場重要區(qū)別： （1 1恒定電場可以存在導(dǎo)體內(nèi)部。恒定電場可以存在導(dǎo)體內(nèi)部。 （2 2恒定電場中有電場能量的損耗恒定電場中有電場能量的損耗, ,要維持導(dǎo)體中的恒定電要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補(bǔ)充被損耗的電場能量。流，就必須有外加電源來不斷補(bǔ)充被損耗的

41、電場能量。 恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質(zhì)。恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質(zhì)。 第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波EJ0d0dlESJCS00EJE0)(3.2.1 恒定電場的基本方程和邊界條件恒定電場的基本方程和邊界條件1. 1. 基本方程基本方程 恒定電場的基本方程為恒定電場的基本方程為微分形式：微分形式：積分形式：積分形式：0 J)(rJ 恒定電場的基本場矢量是電流密度恒定電場的基本場矢量是電流密度 和電場強(qiáng)度和電場強(qiáng)度)(rE 線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系0)(EEJ0 E 恒定電場的電位函數(shù)恒定電場的電位函數(shù)0E02由由

42、若媒質(zhì)是均勻的，那么若媒質(zhì)是均勻的，那么 均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒有體分布電荷沒有體分布電荷第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波2. 恒定電場的邊界條件恒定電場的邊界條件0dlEC0dSJS媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 121212E1Ene0)(21JJen0)(21EEen 場矢量的邊界條件場矢量的邊界條件nnJJ21即即ttEE21即即 導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度nnnSJJJeDDe)()()(221122211121場矢量的折射關(guān)系場矢量的折射關(guān)系212211221121/tantannnntntJJEEEE第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 電位的

43、邊界條件電位的邊界條件nn221121, 恒定電場同時存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場恒定電場同時存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場 既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導(dǎo)體表面，既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導(dǎo)體表面，因因 而導(dǎo)體表面不是等位面；而導(dǎo)體表面不是等位面；ab11、 說明：說明：第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 12122E1E)(12媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 12012Ene1E)0(1 如如21、且、且290，那么，那么10， 即電場線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。即電場線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。 此時，良導(dǎo)體表面可近似地看作

44、為此時，良導(dǎo)體表面可近似地看作為 等位面；等位面； 若媒質(zhì)若媒質(zhì)1為理想介質(zhì)，即為理想介質(zhì)，即10，那，那么么 J1=0，故，故J2n=0 且且 E2n=0，即導(dǎo)，即導(dǎo)體中體中 的電流和電場與分界面平行。的電流和電場與分界面平行。第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波3.2.2 恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬 如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個數(shù)學(xué)問題。只需求出一種場

45、的解，就可以用對應(yīng)的物理量作替換而得到另一數(shù)學(xué)問題。只需求出一種場的解，就可以用對應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬基本方程基本方程ED,EEJ0202nnttDDEE2121 nnttJJEE2121 靜電場（靜電場（ 區(qū)域）區(qū)域） 00d, 0dlESJCS0, 0EJ,Ed0,d0SCDSEl0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)位函數(shù)邊界條件邊界條件恒定電場電源外）恒定電場電源外）對應(yīng)物理量對應(yīng)物理量靜電場

46、靜電場EEDJqI恒定電場恒定電場GC第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 例例3.2.1一個有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為一個有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為1、1和和2、2，外加電壓，外加電壓U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。 解：極板是理想導(dǎo)體，解：極板是理想導(dǎo)體，為等位面，電流沿為等位面，電流沿z方向。方向。1212nnJJJJJ 由由12121122,JJJJEE 1212121 1221212()()ddddUUUE dE dJJU 12nnSDD 由由121212,SSDJDJ 下下上上21122121212112()SDDJUdd 介介U1d

47、2d11, 22, zo第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 例例3.2.2 填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)，外導(dǎo)體半徑為體半徑為c，介質(zhì)的分界面半徑為，介質(zhì)的分界面半徑為b。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為1和和2 、電導(dǎo)率為、電導(dǎo)率為 1和和2 。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為U0 ，外導(dǎo)體接地。，外導(dǎo)體接地。求：（求：（1兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場強(qiáng)度分布；（兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場強(qiáng)度分布；（2介質(zhì)分介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。界面上的自由電荷面密度。J1212I外導(dǎo)體外導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體介質(zhì)介質(zhì)2 2介質(zhì)介質(zhì)1ab

48、c11、22、0U第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 （1 1設(shè)同軸電纜中單位長度的徑向電流為設(shè)同軸電纜中單位長度的徑向電流為I,I,則由則由 可得電流密度可得電流密度Sd,JSI()2IJeac111()2JIEeab 介質(zhì)中的電場：介質(zhì)中的電場：222()2JIEebc 解解 電流由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，在分界面上只有法向分量，電流由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對稱分布?？上燃僭O(shè)電流為所以電流密度成軸對稱分布?？上燃僭O(shè)電流為I，由求出電流密度，由求出電流密度 的表達(dá)式，然后求出的表達(dá)式，然后求出 和和 ，再由，再由 確定確定出電流出電流 I。J012ddbcab

49、UEE1E2E第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波12021()ln()ln()UJeacb ac b 20121()ln()ln()UEeabb ac b 10221()ln()ln()UEebcb ac b 故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場強(qiáng)度分別為故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場強(qiáng)度分別為120212ln()ln()UIb ac bps sss=+01212ddlnln22bcabIbIcUEEab由于由于于是得到于是得到第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波12011121ln()ln()SaUeEab ac b 21022221ln()ln()ScUeEcb ac b 121122122102

50、1()()ln()ln()SbeEeEUbb ac b Sne D （2由由 可得，介質(zhì)可得，介質(zhì)1內(nèi)表面的電荷面密度為內(nèi)表面的電荷面密度為介質(zhì)介質(zhì)2外表面的電荷面密度為外表面的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為J2112I第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 工程上常在電容器兩極板之間，同軸電纜的芯線與外殼之間，工程上常在電容器兩極板之間，同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于金填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當(dāng)在電極間加上電壓屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零

51、，因而當(dāng)在電極間加上電壓U U 時，時，必定會有微小的漏電流必定會有微小的漏電流 J J 存在。存在。 漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即UIG 其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即IUGR13.2.3 漏電導(dǎo)漏電導(dǎo)第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波(1) 假定兩電極間的電流為假定兩電極間的電流為I； 計算兩電極間的電流密度計算兩電極間的電流密度 矢量矢量J； 由由J = E 得到得到 E ; 由由 ，求出兩導(dǎo)，求出兩導(dǎo) 體間的電位差；體間的電位差；(5) 求比值求比值 ，即得出，即得出 所求電導(dǎo)。所求電導(dǎo)。21dlEUUIG/ 計算電導(dǎo)的方法一：計算電導(dǎo)的方法

52、一： 計算電導(dǎo)的方法二：計算電導(dǎo)的方法二： (1) 假定兩電極間的電位差為假定兩電極間的電位差為U； (2) 計算兩電極間的電位分布計算兩電極間的電位分布 ； (3) 由由 得到得到E; (4) 由由 J = E 得到得到J; (5) 由由 ，求出兩導(dǎo)體間，求出兩導(dǎo)體間 電流；電流； (6) 求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求電導(dǎo)。求電導(dǎo)。ESSJIdUIG/ 計算電導(dǎo)的方法三：計算電導(dǎo)的方法三：靜電比擬法：靜電比擬法：CG第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 例例3.2.3 求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為a、b，長度為長度為l ，其間媒質(zhì)

53、的電導(dǎo)率為，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為、介電常數(shù)為、介電常數(shù)為。解：直接用恒定電場的計算方法解：直接用恒定電場的計算方法電導(dǎo)電導(dǎo))/ln(2ablUIG絕緣電阻絕緣電阻ablGRln211baablIlIlEUln2d2dlba那那么么IlIJ2lIJE2設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I。第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波012222000, 0U 方程通解為方程通解為21CC 例例3.2.4 在一塊厚度在一塊厚度h 的導(dǎo)電板上，的導(dǎo)電板上， 由兩個半徑為由兩個半徑為r1和和r2的圓的圓弧和夾角為弧和夾角為 0的兩半徑割出的一段環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)，如下圖。計的兩半徑割出的一段環(huán)形

54、導(dǎo)電媒質(zhì)，如下圖。計算沿算沿方向的兩電極之間的電阻。設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率為方向的兩電極之間的電阻。設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率為。 解：解： 設(shè)在沿設(shè)在沿方向的兩電極之間外加電壓方向的兩電極之間外加電壓U0，則電流沿，則電流沿 方向流動，而且電流密度是隨方向流動，而且電流密度是隨變化的。但容易判定電位變化的。但容易判定電位 只是只是變量變量 的函數(shù)，因此電位函數(shù)的函數(shù)，因此電位函數(shù) 滿足一維拉普拉斯方程滿足一維拉普拉斯方程代入邊界條件代入邊界條件可以得到可以得到10020/,CUCU環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)塊環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)塊r1hr2 0J第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電流密度電流密度00UJEe兩電極之間的電流

55、兩電極之間的電流21002001ddlnrSrUU hrIJSee hr故沿故沿方向的兩電極之間的電阻為方向的兩電極之間的電阻為0021( )ln(/ )URIhrr000UU所以所以00UEee 第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件恒定磁場的基本方程和邊界條件3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位3.3.3 電感電感3.3.4 恒定磁場的能量恒定磁場的能量3.3.5 磁場力磁場力 3.3 恒定磁場分析第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波0HJB微分形式微分形式: :0dddSSCSBSJlH1. 基本方程基本方程BH2.

56、邊界條件邊界條件本構(gòu)關(guān)系：本構(gòu)關(guān)系：SnnJHHeBBe)(0)(2121SttnnJHHBB21210或或若分界面上不存在面電流，即若分界面上不存在面電流，即JSJS0 0，那么，那么積分形式積分形式: :0)(0)(2121HHeBBenn或或002121ttnnHHBB3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件恒定磁場的基本方程和邊界條件第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 矢量磁位的定義矢量磁位的定義 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個標(biāo)與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個標(biāo)量量 的梯度以后，仍然表示同一個磁場，即的梯度以后，仍

57、然表示同一個磁場，即由由AA 0BBA 即恒定磁場可以用一個矢量函數(shù)的旋度來表示。即恒定磁場可以用一個矢量函數(shù)的旋度來表示。 磁矢位的任意性是因為只規(guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度磁矢位的任意性是因為只規(guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的造成的。為了得到確定的A，可以對，可以對A的散度加以限制，在恒定磁的散度加以限制，在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。0A()AAA 1. 恒定磁場的矢量磁位恒定磁場的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位矢量磁位或稱磁矢位 3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 磁矢位的微分方程磁矢位的

58、微分方程在無源區(qū)：在無源區(qū)：ABHJ0A 0J JA202 A矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程AJ2()AAJ 磁矢位的表達(dá)式磁矢位的表達(dá)式3( )1( )d( )()d44VVJ rRB rVJ rVRR 1( )()d4VJ rVR ()111()()()()()()J rJ rJ rJ rRRRR 31()RRR 第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 磁矢位的邊界條件磁矢位的邊界條件dddSSCBSASAl( )( )d4VJ rA rVR由此可得出由此可得出（可以證明滿足（可以證明滿足 ） 0A對于面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路，磁矢位分別為對于面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路，

59、磁矢位分別為( )( )d4SSJrA rSR面電流：面電流：細(xì)線電流：細(xì)線電流：d( )4CIlA rR 利用磁矢位計算磁通量：利用磁矢位計算磁通量：ddCSAlBS12ttAA0A d0SAS12nnAA12AA12()nSeHHJ/HA 121211()nSeAAJ第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 例例 3.3.1 求小圓環(huán)電流回路的遠(yuǎn)區(qū)矢量磁位與磁場。小圓形回求小圓環(huán)電流回路的遠(yuǎn)區(qū)矢量磁位與磁場。小圓形回路的半徑為路的半徑為a，回路中的電流為，回路中的電流為I 。 解解 如下圖，由于具有軸對稱性，矢如下圖，由于具有軸對稱性，矢量磁位和磁場均與量磁位和磁場均與無關(guān)，計算無關(guān)，計算xz

60、平面平面上的矢量磁位與磁場將不失一般性。上的矢量磁位與磁場將不失一般性。(sincos )rxzre rr ee(cossin)rxzre aa eedd(sincos) dxyle aeea 222221 2( sincos)sincos)rrraar221 22sincosraar小圓環(huán)電流小圓環(huán)電流aIxzyrRdlrIP第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波對于遠(yuǎn)區(qū)，有對于遠(yuǎn)區(qū)，有r a ，所以，所以21 21 2112121( )sincos1sincosaaarrrrrrr1(1sincos)arr2001( )(1sincos)(sincos)d4xyIaaA reerrrrrr2